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    淺談物體速度的變化對位移是均勻的變速運動

    2014-01-08 07:09:38
    物理教師 2014年8期
    關(guān)鍵詞:成正比金屬棒初速度

    張 軍

    (江蘇省鎮(zhèn)江市丹徒區(qū)教育局教研室,江蘇 鎮(zhèn)江 212001)

    1 問題提出

    伽利略對變速運動問題研究時,堅信自然界的規(guī)律是簡潔明了的.他從這個信念出發(fā),猜想落體一定是一種最簡單的變速運動,而最簡單的變速運動,它的速度應該是均勻變化的.但是,速度的變化怎樣才算“均勻”呢?他考慮了兩種可能;一種是速度的變化對時間來說是均勻的,即v與t成正比,另一種是速度的變化對位移來說是均勻的,即v與x成正比.后來發(fā)現(xiàn),如果v與x成正比,將會推導出十分復雜的結(jié)論.所以,伽利略開始以實驗來檢驗v與t成正比的猜想是否是真實的…….

    以上文字是人教版高中物理必修1第2章第6節(jié)——“伽利略對自由落體運動的研究”中一些內(nèi)容.伽利略指出:如果v與x成正比,將會推導出十分復雜的結(jié)論.那么,十分復雜的結(jié)論究竟是什么呢?

    2 理論推導

    設(shè)某一物體做速度的變化對位移是均勻的運動.則(1)物體的位移如何隨時間變化?(2)物體的速度如何隨時間變化?(3)此物體受力的特點如何?

    解析:(1)由題意可得,v與x成正比,寫成等式

    積分可得

    將t=0時,x=x0代入得c2=x0,所以物體的位移隨時間變化的表達式為

    (2)對(1)式進行求導

    其中v0=kx0是t=0時物體的速度,物體的速度隨時間變化的表達式為

    (3)由v=kx得

    即物體所受合外力與物體的速度成正比.

    由(2)式得物體所受力隨時間變化的表達式為

    由(4)式可知t=0時物體所受力F0=kmv0.因為(3)式可知物體所受合外力與物體的速度成正比,如果t=0時物體的初速度為v0=0,則F0=0,導致加速度a0=0,物體就不能運動,所以t=0時,初速度和初位移都不能為0,這時加一合外力與物體的速度成正比,這樣物體就做“速度的變化對位移是均勻的”運動了.

    3 實際應用

    (1)物體所受合外力的大小與物體的速度成正比,方向和速度方向一致.

    日常生活中很難見到物體所受合外力與物體的速度成正比的動力,現(xiàn)舉一例.

    例1.一汽車額定功率為100kW,質(zhì)量為5000kg,設(shè)汽車的功率與速度之間的關(guān)系為P=62.5v2,阻力不計.求:

    ①汽車保持這樣功率與速度關(guān)系運動所能達到的速度;

    ② 上述過程中汽車所做的功;

    ③ 汽車保持這樣功率與速度關(guān)系運動的距離.

    解析:① 將P=100kW代入P=62.5v2,得維持P=62.5v2所達到的最大速度v=40m/s.

    ② 忽略汽車啟動的速度,即取v0=0,則由v0=kx0得,啟動的位移x0=0.汽車所做的功

    ③ 由P=62.5v2,P=Fv得F=62.5v,即物體所受合外力與物體的速度成正比.

    再由牛頓第二定律得

    當然,應用理論推導中得到的公式(1)或(2),還可以求出上述過程所經(jīng)過的時間.

    (2)物體所受力的大小與物體的速度成正比,方向和速度方向相反.

    物體所受力的大小與物體的速度成正比的阻力,這類例子較多,如① 一小球在以一初速度在水平光滑的平面上運動,設(shè)所受阻力滿足F=-kv;② 一小球以一初速度豎直進入某油液中,設(shè)小球的密度與油液密度相等,所受阻力滿足F=-kv;③ 一金屬棒垂直水平導軌放置,以一初速度做切割磁感線運動,所受的安培力也滿足F=-kv.

    下面以金屬棒受安培力為例舉一例說明.

    圖1

    例2.如圖1所示,水平光滑的平行金屬導軌,左端接有電阻R,勻強磁場B豎直向下分布在導軌所在的空間內(nèi),質(zhì)量一定的金屬棒PQ垂直導軌放置.今使棒以一定的初速度v0向右運動,當其通過位置a、b時,速度分別為va、vb,到位置c時棒剛好靜止.設(shè)導軌與棒的電阻均不計,a、b與b、c的間距相等,則金屬棒在由a→b和b→c的兩個過程中

    (A)棒都做勻減速運動,且加速度相等.

    (B)通過棒截面的電荷量相等.

    (C)回路中產(chǎn)生的電能Eab=3Ebc.

    (D)棒通過a、b兩位置時va>2vb.

    解析:對于(A)、(B)兩選項,由于學生平時練的較多,容易判斷出(A)錯、(B)對,這里就不做解答.

    對于(C)、(D)兩選項,就要具體算一下了.對棒進行受力分析,由牛頓第二定律得

    即v與x成正比.同理可得

    由能量轉(zhuǎn)化與守恒定律得,由a→b和b→c的兩個過程中,回路中產(chǎn)生的電能Eab=3Ebc.可得選項(C)正確、(D)錯誤.

    拓展分析:

    即速度隨時間做指數(shù)衰減.圖像如圖2所示.由

    解得

    即位移隨時間變化關(guān)系,圖像如圖3所示.

    圖2

    圖3

    由(4)式可求出最大位移

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