用尋找“最小單元”的方法解答2014年江蘇高考第14題

高 尚

（天祝一中，甘肅 天祝 733299）

題目.某裝置用磁場控制帶電粒子的運(yùn)動(dòng)，工作原理如圖1所示，裝置的長為L，上下兩個(gè)相同的矩形區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，方向與紙面垂直且相反，兩磁場的間距為d.裝置右端有一收集板，M、N、P為板上3點(diǎn)，M位于軸線OO′上，N、P分別位于下方磁場的上下邊界上，在紙面內(nèi)，質(zhì)量為m，電荷量為-q的粒子以某一速度從裝置左端中點(diǎn)射入，方向與軸線成30°角，經(jīng)過上方的磁場區(qū)域一次，恰好到達(dá)P點(diǎn)，改變粒子入射速度的大小，可以控制粒子到達(dá)收集板上的位置，不計(jì)粒子的重力.

圖1

（1）求磁場區(qū)域的寬度；

（2）欲使粒子到達(dá)收集板的位置從P點(diǎn)移到N 點(diǎn)，求粒子入射速度的最小變化量Δv；

（3）欲使粒子到達(dá)M點(diǎn)，求粒子入射速度大小的可能值.

解析：帶電粒子在勻強(qiáng)磁場做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，洛倫茲力提供向心力，物理關(guān)系非常簡單，難在幾何構(gòu)圖和幾何圖形的動(dòng)態(tài)變化.

（1）如圖2所示，粒子從左端中點(diǎn)A射入，先沿直線運(yùn)動(dòng)到上方磁場的下邊界B點(diǎn)，進(jìn)入上方磁場后沿圓弧經(jīng)最高點(diǎn)C從D點(diǎn)離開上方磁場，然后又沿直線經(jīng)過與軸線的交點(diǎn)E進(jìn)入下方磁場的上邊界F點(diǎn)，在下方磁場中沿圓弧到達(dá)收集板上的P點(diǎn).由于對稱性，粒子在運(yùn)動(dòng)中表現(xiàn)出“反反復(fù)復(fù)，繞來繞去”的特點(diǎn)，這就啟發(fā)我們?nèi)ふ乙粋€(gè)“最小單元”，把粒子整體的運(yùn)動(dòng)看成是對“最小單元”的多次“復(fù)制”或“循環(huán)”.

圖2

（2）如圖3所示，當(dāng)粒子的速度略微減小時(shí)，它在磁場中的弧長相應(yīng)減少，就能使其到達(dá)收集板的位置從P點(diǎn)移到N 點(diǎn).設(shè)此時(shí)粒子在磁場中軌道半徑為r′，“最小單元”沿軸線方向的長度相應(yīng)變?yōu)椋╠cos30°＋r′sin30°），整體要經(jīng)過3.5個(gè)“最小單元”，據(jù)此列出方程L＝3.5（dcos30°＋r′sin30°）.比較圖2和圖3可知運(yùn)動(dòng)路線的直線部分沒有變化，而圓弧部發(fā)生變化，即圓弧沿軸線方向長度由3rsin30°變?yōu)?r′sin30°，列出更簡單的方程 3rsin30°＝4r′sin30°，解出r′后，結(jié)合和，解得

圖3

（3）當(dāng)粒子的速度進(jìn)一步減小，但仍然能夠到達(dá)M點(diǎn)時(shí)，分為兩種情況：一為粒子從下方磁場射向M，如圖4所示；一為粒子從上方磁場射向M，如圖5所示.將兩種情況合并起來，設(shè)粒子經(jīng)過磁場n次，第n次所對應(yīng)的半徑和速度分別為rn和vn，此時(shí)“最小單元”沿軸線方向的長度變?yōu)椋╠cos30°＋rnsin30°），且每經(jīng)過兩次“最小單元”就一定到達(dá)軸線上，因而幾何關(guān)系變?yōu)長＝n×2（dcos30°＋rnsin30°）.隨著rn越來越小，粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的回合越來越多，由于v＝而粒子不能靜止，因此，r只能大nn于0而不能等于0.當(dāng)rn＞0時(shí)，L＞n×2dcos30°，即n＜.所以入射速度的可能值為，n 取整數(shù) ）.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，粒子離開上方磁場射向M；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，粒子離開下方磁場射向M.

感悟：本題沒有過多的數(shù)學(xué)運(yùn)算，卻有濃郁的物理氣息，意境深遠(yuǎn)，耐人尋味.三問的設(shè)置有一種漸入佳境，曲徑通幽之感.考生只要做到準(zhǔn)確作圖，步步推進(jìn)，是能夠完成的.帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的圓周運(yùn)動(dòng)與多過程和對稱性相結(jié)合的題目，往往存在一個(gè)“最小單元”.通過尋找和確定“最小單元”能將這類題目化整為零，從而以小見大，在有效降低難度的同時(shí)，更能培養(yǎng)學(xué)生解題過程中 “大處著眼，小處著手”的良好習(xí)慣.

圖4

圖5