定時截尾情形下指數(shù)分布參數(shù)的估計(jì)

劉銀萍，張雨嫡，秦 青

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 四平 136000)

定時截尾情形下指數(shù)分布參數(shù)的估計(jì)

劉銀萍，張雨嫡，秦 青

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 四平 136000)

本文討論了定時截尾情形下指數(shù)分布參數(shù)的極大似然估計(jì)問題，證明了估計(jì)的強(qiáng)相合性和漸近正態(tài)性,給出了估計(jì)的進(jìn)一步的漸近性質(zhì).其結(jié)果對于其它的總體分布的參數(shù)估計(jì)具有普遍的現(xiàn)實(shí)意義．

定時截尾;極大似然估計(jì)；極限分布

指數(shù)分布是可靠性壽命試驗(yàn)中的基本分布之一.關(guān)于指數(shù)分布總體的統(tǒng)計(jì)推斷問題,無論是完全數(shù)據(jù)還是缺失數(shù)據(jù),一直都吸引著統(tǒng)計(jì)工作者對其進(jìn)行廣泛的研究[1-2].文獻(xiàn)[3]給出了定數(shù)截尾缺失數(shù)據(jù)場合指數(shù)分布參數(shù)的Bayes估計(jì)；文獻(xiàn)[4]討論了具有部分缺失數(shù)據(jù)下兩個指數(shù)總體參數(shù)的估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn);文獻(xiàn)[5]討論了指數(shù)總體定時截尾壽命試驗(yàn)在數(shù)據(jù)缺失場合下參數(shù)的近似極大似然估計(jì).本文對于定時截尾情形指數(shù)總體的參數(shù)極大似然估計(jì)及其性質(zhì)做了進(jìn)一步的討論,給出了指數(shù)總體參數(shù)的極大似然估計(jì),證明了極大似然估計(jì)的強(qiáng)相合性質(zhì)及漸近正態(tài)性質(zhì).

1 參數(shù)的極大似然估計(jì)

設(shè)指數(shù)總體X，其概率密度函數(shù)為

其中λ>0為未知參數(shù).

對總體X進(jìn)行n次獨(dú)立的觀測,直到時刻K0停止.設(shè)總體的樣本觀測量為Y1,Y2，…,Yn,其中Yi=XiΛK0，這里aΛb=min(a,b)，Xi為來自總體X的第i個樣本的壽命,K0>0為給定的常數(shù),稱為閾值.則Y1,Y2，…，Yn獨(dú)立同分布.且

當(dāng)Xi0

當(dāng)Xi≥K0時，Yi=K0，概率函數(shù)為p(x)=P(Yi=K0)=P(Xi≥K0)=e-λK0

似然函數(shù)為

對數(shù)似然

解得λ的極大似然估計(jì)為

2 極大似然估計(jì)的漸近性質(zhì)

證明由于Eδ1=P(Y1=K0)=P(X1≥K0)=e-λK0

由Slutsky定理，

證明令Wi=(δi，Yi)T

則{Wi,i=1,2,…，n}是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列

令

∑ =E[(W1-EW1)(W1-EW1)T]

由多元中心極限定理可得

由引理知

[1]X.Sun,X.Zhou,J.Wang.Confidence Intervals for the Scale Parameter of Exponential Distribution Based on Type Doubly Censored Samples [J].Journal of Statistical Planning and Inference,2008,138(7):2045～2058.

[2]翟偉麗,茆詩松.定時截尾場合下雙參數(shù)指數(shù)分布的參數(shù)估計(jì)[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì),2002,18(2):197～204.

[3]劉 函．定數(shù)截尾數(shù)據(jù)缺失場合下雙參數(shù)指數(shù)分布參數(shù)的 Bayes 估計(jì)[J].武漢大學(xué)學(xué)報，2006，52(3)：286～290.

[4]劉銀萍.具部分缺失數(shù)據(jù)兩個指數(shù)總體的估計(jì)和檢驗(yàn)[J].吉林大學(xué)學(xué)報:理學(xué)版,2002,40(3):255-257.

[5]田 霆,劉次華.定時截尾缺失數(shù)據(jù)下指數(shù)分布的參數(shù)AMLE[J].華僑大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2006,27(4):351～353.

[6]茆詩松,王靜龍,濮小龍.高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2000:116-118.

EstimationofExponentialDistributionUnderType-ΠCensoring

LIUYin-ping,ZHANGYu-di,QINQing

(College of Mathematics,Jilin Normal University,Siping 136000,China)

This paper deals with the MLE of exponential distribution under type-Π censoring.The asymptotic normality and its strong consistency are proved,and the further asymptotic properties of estimation are given.These results have a universal significance about the parameter estimation of other population distributions.

Type-Π censoring;maximum likelihood;asymptotic properties

梁懷學(xué))

2014-05-24

國家外國專家局項(xiàng)目(L20122200048)

劉銀萍(1962-)，女，吉林省扶余縣人，現(xiàn)為吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院教授．研究方向:數(shù)理統(tǒng)計(jì).

O212.7

A

1674-3873-(2014)03-0068-03