非線性方程數(shù)值解法的研究

譚振江，肖春英

(吉林師范大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，吉林四平136000)

0 引言

隨著現(xiàn)代計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，一些非線性方程模型在實(shí)際問題中頻頻出現(xiàn).經(jīng)常要求非線性方程f(x)=0的根，方程f(x)=0的根叫做函數(shù)f(x)的零點(diǎn).很多我們非常熟悉的線性模型都是一定條件下的非線性問題簡(jiǎn)化得到的.由于非線性方程在各個(gè)科學(xué)領(lǐng)域與工程計(jì)算等領(lǐng)域中地位越來越重要，因此我們有必要就有關(guān)非線性方程的解法做一些探討和研究.

由于非線性方程有其自身的復(fù)雜性，在除了少數(shù)特殊的非線性方程外，直接法求得結(jié)果的情況是不可能的，這時(shí)我們需要借助于牛頓迭代法、二分法和弦截法進(jìn)行近似求解.本文簡(jiǎn)要的分析了這些數(shù)值算法的計(jì)算效果，適用范圍以及優(yōu)劣性等特點(diǎn)，運(yùn)用實(shí)例化進(jìn)行系統(tǒng)分析［1-3］.

(1)引入一個(gè)非線性方程的例子，運(yùn)用三種思想分別進(jìn)行分析，得到三種解法的根本思想;

(2)把數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想提取出來，同時(shí)對(duì)該數(shù)學(xué)方法進(jìn)行一定程度上的理解;

(3)給出各種算法的循環(huán)思想以及相應(yīng)的程序?qū)崿F(xiàn)流程圖，展現(xiàn)出一個(gè)清晰明了的框架;

(4)基于c語言的基礎(chǔ)上，寫出可執(zhí)行的程序.

1 三種解法的簡(jiǎn)單概述

牛頓迭代法(Newton’s method)(又稱為牛頓—拉夫遜方法(Newton-Raphson method))，它是牛頓提出的關(guān)于實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上近似求解方程的一種方法.多數(shù)方程不存在直接的求根公式，想要求出其精確根非常困難，甚至不可能，從而尋找方程的近似根就顯得格外重要.牛頓迭代法是一種重要和常用的迭代法，使用函數(shù)f(x)的泰勒級(jí)數(shù)的前面幾項(xiàng)來尋找f(x)=0方程的根.其基本思想為將非線性函數(shù)f(x)逐步線性化，繼而將非線性方程f(x)=0的求解近似地轉(zhuǎn)化為線性方程求解.此方法廣泛用于計(jì)算機(jī)編程中.

二分法(或稱對(duì)分法、二分區(qū)間法)，是求方程f(x)=0近似解的一種常用的簡(jiǎn)單直觀的方法.設(shè)函數(shù) f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，且 f(a)f(b)＜0，則根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知，f(x)=0在(a，b)內(nèi)務(wù)必有實(shí)根，稱區(qū)間［a，b］為有根區(qū)間，這是高等數(shù)學(xué)微積分中的介值定理，也是二分法可以使用的前題條件［4-5］.

弦截法也是一種求方程根的基本方法，在計(jì)算機(jī)編程中有廣泛應(yīng)用.它的基本思想是:任取兩個(gè)數(shù)x1、x2，求得其所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 f(x1)、f(x2).如果兩函數(shù)值同號(hào)，則重新取數(shù)，直到這兩個(gè)函數(shù)值異號(hào)為止.連接(x1，f(x1))與(x2，f(x2))這兩點(diǎn)形成的直線與x軸相交于一點(diǎn)x，求得對(duì)應(yīng)的f(x)，判斷其與f(x1)、f(x2)中的哪個(gè)值同號(hào).如f(x)與f(x1)同號(hào)，則f(x)為新的f(x1).將新的f(x1)與f(x2)連接，如此進(jìn)行循環(huán).這里體現(xiàn)的是極限的思想［6］.

2 三種解法的實(shí)例化分析過程

2.1 牛頓迭代法

實(shí)現(xiàn)牛頓迭代法的數(shù)學(xué)思想的基本步驟如下:

(1)給出初始近似根x0及其精度e;

牛頓迭代法對(duì)于初值的選取尤其重要，初值要求必須足夠接近精確值才能保證局部收斂.

(2)計(jì)算x1=x0-f(x0)/f'(x0);

(3)若|x1-x0|＜0，轉(zhuǎn)向(4);否則 x0=x1，轉(zhuǎn)向(2);

(4)輸出滿足精度的根x1，結(jié)束.

算法流程圖如圖1所示.

實(shí)例:用牛頓迭代法求方程在1.5附近的根:

程序輸出結(jié)果，如圖2所示.

圖2 牛頓迭代法的程序輸出結(jié)果

2.2 二分法

二分法是求方程近似根的方法中行之有效的最簡(jiǎn)單的方法，它的遞推過程簡(jiǎn)單易行，便于計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn).

實(shí)現(xiàn)二分法的數(shù)學(xué)思想的基本步驟如下:

(1)輸入有根區(qū)間的端點(diǎn)a，b及預(yù)先給定的精度e;

二分法確定有根區(qū)間的一般方法:為了確定方程根的初值，必須圈定根所在的范圍，即圈定根(或稱根的隔離);在此基礎(chǔ)上，采用恰當(dāng)?shù)臄?shù)值方法確定有一定精度要求的初值;關(guān)于代數(shù)方程，根的個(gè)數(shù)(實(shí)根或復(fù)根)與其次數(shù)相同.對(duì)于超越方程，其根的個(gè)數(shù)可能是一個(gè)、幾個(gè)或者無解，沒有固定的圈根方法［7-8］.

(2)計(jì)算x=(a+b)/2;

(3)若 f(a)f(x)＜0，則b=x;否則a=x;

(4)若 |b-a|＜e，則輸出方程滿足精度要求的根x，則計(jì)算結(jié)束;否則轉(zhuǎn)(2).

二分法算法流程圖如圖3所示.

圖3 二分法算法實(shí)現(xiàn)流程圖

實(shí)例:用二分法求方程在(-10，10)之間的根:2x3-4x2+3x-6=0.

程序輸出結(jié)果如圖4所示.

圖4 二分法程序輸出結(jié)果

2.3 弦截法

實(shí)現(xiàn)弦截法的數(shù)學(xué)思想的基本步驟如下:

(1)選擇迭代的初始值x0，x1及其精度e;

(2)計(jì)算x2=x1-(f(x1)(x1-0)/f(x1)-f(x0));

(3)若|x2-x1|＜0，轉(zhuǎn)向(4);否則 x0=x1，x1=x2，轉(zhuǎn)向(2);

(4)輸出滿足精度的根x2，結(jié)束.

弦截法算法流程圖如圖5所示.

圖5 弦截法算法實(shí)現(xiàn)流程圖

實(shí)例:用弦截法求方程2x3-4x2+3x-6=0的根.

程序輸出結(jié)果如圖6所示.

圖6 弦截法程序輸出結(jié)果

3 結(jié)語

通常非線性方程根的數(shù)值解法大致分為3個(gè)步驟進(jìn)行:首先判定根的存在性.即方程有沒有根存在，如果有根，有幾個(gè)根;其次確定根的分布范圍.即將每一個(gè)根用區(qū)間隔離開來;獲得方程各根的初始近似值;最后進(jìn)行根的精確化，根的初始近似值按某種方法逐步精確化，直到滿足預(yù)先要求的精度為止.迭代法具有計(jì)算精度高收斂速度快的優(yōu)點(diǎn)，但是需要計(jì)算導(dǎo)數(shù)或者矩陣逆的情況，具有一定程度的局限性.針對(duì)不同特點(diǎn)的非線性方程選擇不同的解法或者不同解法的綜合使用，探討出一種高效率解法，以便使方程達(dá)到快速準(zhǔn)確求解［9-12］.

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