彰顯“退化”本質(zhì)魅力 攻克“動(dòng)點(diǎn)距離”難題

摘 要：針對(duì)高中數(shù)學(xué)中普遍存在的涉及二次曲線上動(dòng)點(diǎn)的距離極值問(wèn)題，本文從理論基礎(chǔ)、思維實(shí)踐和方法特色三個(gè)方面論述運(yùn)用“二次曲線及其相交情形的退化”處理動(dòng)點(diǎn)距離最值問(wèn)題，使方法系統(tǒng)化，理論與思維實(shí)踐緊密融合，讓高中數(shù)學(xué)教師體會(huì)到運(yùn)用通法解決問(wèn)題時(shí)，比通常所謂“巧解”、“特解”更簡(jiǎn)潔流暢，更具有數(shù)學(xué)美.

關(guān)鍵詞：二次曲線；動(dòng)點(diǎn)；同心圓系；距離；最值；相交；相切；退化

高中數(shù)學(xué)教學(xué)與高考中普遍涉及二次曲線上動(dòng)點(diǎn)的距離類(lèi)極值問(wèn)題. 試看下述問(wèn)題：

在某恒星周?chē)臻g建立坐標(biāo)系，宇航員和飛船位置坐標(biāo)為（5，0），星際空間一顆小行星沿拋物線軌道y2=8x而來(lái)，恒星恰好處于拋物線焦點(diǎn)上，若不考慮其他星球的影響，試求此小行星距離宇航員最近為多少單位？

此類(lèi)問(wèn)題一般由題設(shè)背景條件限制出一個(gè)定點(diǎn)A，另有一動(dòng)點(diǎn)B在已知直線上或圓上、橢圓上、雙曲線上，求AB之間距離的最小值或最大值. 許多高中數(shù)學(xué)教師對(duì)此缺少系統(tǒng)解決方法與教學(xué)分析、處理，通常一題一法，學(xué)生感到變化復(fù)雜、較難掌握. 究其原因，在涉及動(dòng)點(diǎn)的距離極值類(lèi)問(wèn)題中，若動(dòng)點(diǎn)在二次曲線上，求解涉及眾多二次方程組、高次方程或復(fù)雜的根式方程，高等數(shù)學(xué)常用高階導(dǎo)數(shù)處理，在初等數(shù)學(xué)范圍通常貌似棘手. 通過(guò)教學(xué)反思，筆者認(rèn)為不妨回歸到問(wèn)題的本源上思考.

掀起一類(lèi)題的“蓋頭”，引出一套理論的“奧妙”

首先，二次曲線方程一般式中二次項(xiàng)系數(shù)為零后就得到一次方程，直線常可視為二次曲線退化形式. 也可從幾何角度理解. 誠(chéng)如數(shù)千年前阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)的，所有圓錐曲線可統(tǒng)一視為空間的一個(gè)平面從不同方向截共軸共頂點(diǎn)雙錐面所得截線：平面垂直于雙錐面對(duì)稱(chēng)軸時(shí)，截線為一圓，此平面過(guò)錐面頂點(diǎn)時(shí)，圓退化為點(diǎn)；若平面斜交于雙錐面對(duì)稱(chēng)軸，截線為橢圓或拋物線，若平面恰過(guò)錐面頂點(diǎn)，橢圓或拋物線退化為一對(duì)直線或一點(diǎn)；若平面平行于雙錐面對(duì)稱(chēng)軸，截線為雙曲線，若此平面恰過(guò)錐面頂點(diǎn)，雙曲線退化為一對(duì)直線. 值得注意的是，以上各例直線與點(diǎn)都可視為二次曲線的特殊退化情況.

其次，兩個(gè)二次曲線相交點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)為對(duì)應(yīng)的兩個(gè)二元二次方程構(gòu)成的方程組的實(shí)數(shù)解. 將純粹代數(shù)方程解的討論與對(duì)應(yīng)的幾何意義結(jié)合起來(lái)，存在下表各類(lèi)情形，值得注意的是，有且只有某兩對(duì)實(shí)數(shù)解因相同而退化為一組實(shí)數(shù)解時(shí)，兩個(gè)二次曲線有兩個(gè)交點(diǎn)退化為一個(gè)切點(diǎn).

再次，最為特殊的二次曲線是圓：方程在二次曲線中最簡(jiǎn)潔，二次項(xiàng)系數(shù)同為1；平面圖形中對(duì)稱(chēng)度最高，旋轉(zhuǎn)變換中圓作為一個(gè)整體不動(dòng)，在平移變換中，只需抓住圓心的平移變換特征，整個(gè)圓上的點(diǎn)就確定；從點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)看，圓作為歐氏空間中的特殊凸集，具有一系列寶貴特征，圓周上所有點(diǎn)到圓心的距離都相等，圓內(nèi)任一點(diǎn)到圓心的距離都小于圓周上的點(diǎn)到圓心的距離，圓外任一點(diǎn)到圓心的距離都大于圓周上的點(diǎn)到圓心的距離. 特別是平面上所有的點(diǎn)可以視為以一個(gè)定點(diǎn)為圓心而半徑不定的同心圓系的并集.若此定點(diǎn)為（x0，y0），則同心圓系可表為（x-x0）2+（y-y0）2=r2，r視為參數(shù)，其實(shí)就是動(dòng)點(diǎn)到（x0，y0）的距離.