巧用三角函數(shù)求解與圓相關(guān)的最值問(wèn)題

摘 要：在處理圓或扇形內(nèi)接矩形的面積問(wèn)題中，常常采用角度作為刻畫(huà)面積的變量，如何找到合適的角表示內(nèi)接矩形的面積就是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。圓的參數(shù)方程又給出了角度和位置的關(guān)系，所以借助三角函數(shù)強(qiáng)大的變形力量可以巧解圓的最值問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；圓；最值；變量

求解與圓相關(guān)的最值問(wèn)題是平面幾何中的常見(jiàn)問(wèn)題，常常需要利用基本不等式線性規(guī)劃等解決，這個(gè)時(shí)候基本上要面臨兩個(gè)變量的問(wèn)題。而圓又與角息息相關(guān)，如果找到合適的角，利用三角函數(shù)強(qiáng)大的變形力量有時(shí)會(huì)為我們帶來(lái)意想不到的效果。

一、關(guān)于內(nèi)接圖形的面積最值問(wèn)題

1.圓的內(nèi)接矩形問(wèn)題

例1.如圖所示，半徑為R的⊙O的內(nèi)接矩形為ABCD，求矩形 ABCD面積的最大值。

分析：圓的內(nèi)接矩形并不是固定的，但是其對(duì)角線一定經(jīng)過(guò)圓心，所以可以用對(duì)角線與一邊所成的角來(lái)刻畫(huà)矩形的變動(dòng)。

2.推廣至半圓的內(nèi)接矩形問(wèn)題

變式1.如圖所示，半徑為R的半圓O的內(nèi)接矩形為ABCD，求矩形ABCD面積的最大值。

3.再推廣至扇形的內(nèi)接矩形

例2.如圖，求圓心角為60°，半徑為1的扇形AOB內(nèi)接矩形 PQMN面積的最大值。

另外，扇形的內(nèi)接矩形還有其他形式，如圖，使矩形的一邊平行于弦AB作出內(nèi)接矩形PQMN。而這樣的內(nèi)接矩形，我們以扇形的角平分線為分界將這個(gè)扇形分成兩個(gè)相等小的扇形。

S矩形PQMN=2S矩形PEDN

接下來(lái)小扇形的內(nèi)接矩形就可以類(lèi)比第一種方法了。

另外如果圓心角為鈍角，可以參考第二種做法分成兩個(gè)全等的小扇形，即轉(zhuǎn)換為圓心角為銳角來(lái)解決。

總結(jié)分析這幾種情況都有一個(gè)中心思想，就是找出哪個(gè)量哪

個(gè)點(diǎn)的變化導(dǎo)致我們所求的量變化。那么如何抓住這個(gè)原始動(dòng)點(diǎn)呢，可以找到一個(gè)參數(shù)，讓它的變化代替原始動(dòng)點(diǎn)的變化，最終將所求變成關(guān)于這個(gè)參數(shù)的函數(shù)形式，進(jìn)而利用函數(shù)來(lái)解決最值問(wèn)題。

二、與圓相關(guān)的最值問(wèn)題

三、反思總結(jié)

用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題是解決與圓相關(guān)的最值問(wèn)題的一種常見(jiàn)方法，其難點(diǎn)是找到合適的變量。角度可以準(zhǔn)確地表示圓中的邊長(zhǎng)、位置等關(guān)系，所以我們利用三角函數(shù)求解圓中的最值問(wèn)題，借助三角函數(shù)的豐富變形形式，順利解決問(wèn)題。

（作者單位 江蘇省徐州市第七中學(xué)）

編輯 謝尾合