從美學(xué)角度賞析帶電粒子在磁場中的運動軌跡

從美學(xué)角度看，帶電粒子在磁場中的運動軌跡具有一定美感。本文旨在通過六個實例賞析帶電粒子在磁場中的運動軌跡。

一、一顆紅心

例1：如圖1所示，MN為兩個勻強磁場的分界面，兩磁場的磁感應(yīng)強度大小的關(guān)系為B1=2B2，一帶電荷量為+q、質(zhì)量為m的粒子從O點垂直MN進(jìn)入B1磁場，則經(jīng)過多長時間它將向下再一次通過O點？

分析：粒子垂直進(jìn)入磁場，作勻速圓周運動，半徑r=，粒子在兩個磁場中半徑之比為1：2，畫出軌跡，如圖2所示。

根據(jù)周期求出時間。

解答：粒子垂直進(jìn)入磁場，由洛倫茲力提供向心力，則根據(jù)牛頓第二定律得，得軌跡半徑r= ，周期。

根據(jù)條件，可知r1：r2=1：2。畫出軌跡，如圖2所示。

粒子在磁場B1中運動時間為T1，在磁場B2中運動時間為T2，粒子向下再一次通過O點所經(jīng)歷的時間為t=T1+ T2=。

點評：由帶電粒子所形成的運動軌跡多像一顆紅心！

二、一片綠葉

例2：如圖3所示，紙面內(nèi)有寬為L水平向右飛行的帶電粒子流，粒子質(zhì)量為m，電量為+q，速率為v0，不考慮粒子的重力及相互間的作用，要使粒子都匯聚到一點，可在粒子流的有側(cè)虛線框內(nèi)設(shè)計一勻強磁場區(qū)域，則磁場區(qū)域的形狀及對應(yīng)的磁感應(yīng)強度可以是哪一種（其中B0=mv0/qL，A、C、D選項中曲線均為半徑是L的1/4圓弧，B選項中曲線為半徑是L/2的圓弧）？

分析：帶電粒子流水平向右飛入勻強磁場做勻速圓周運動，雖然位置不同，但速度大小、方向均相同，所以它們運動軌跡的半徑相同。由于它們的圓弧長度不同，所以飛行時間不同。

解答：如圖4所示，由于帶電粒子流的速度相同，所以A、B、C這三個選項中的磁場的軌跡對應(yīng)的半徑相同。因為D選項的磁場是2B0，所以它的半徑是之前半徑的2倍。當(dāng)粒子射入B、C這兩個選項時，均不可能匯聚于同一點。雖然D選項粒子向上偏轉(zhuǎn)，但仍不能匯聚一點。所以，只有A選項能匯聚于一點。

點評：由兩條弧線所圍成的磁場區(qū)域多像一片青翠欲滴的綠葉！

三、一朵鮮花

例3：如圖5所示，兩個共軸的圓筒形金屬電極，外電極接地，其上均勻分布著平行于軸線的四條狹縫a、b、c和d，外筒的外半徑為r0。在圓筒之外的足夠大區(qū)域中有平行于軸線方向的均勻磁場，磁感應(yīng)強度的大小為B。在兩極間加上電壓，使兩圓筒之間的區(qū)域內(nèi)有沿半徑向外的電場。一質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子，從緊靠內(nèi)筒且正對狹縫a的S點出發(fā)，初速為零。如果該粒子經(jīng)過一段時間的運動之后恰好又回到出發(fā)點S，則兩電極之間的電壓U應(yīng)是多少（不計重力，整個裝置在真空中）？

分析：帶電粒子從S點出發(fā)，在兩筒之間的電場作用下加速，沿徑向穿過狹縫a而進(jìn)入磁場區(qū)，在洛倫茲力作用下作勻速圓周運動。粒子再回到S點的條件是能沿徑向穿過狹縫d。只要穿過d，粒子就會在電場力作用下先減速，再反向加速，經(jīng)d重新進(jìn)入磁場區(qū)，然后粒子以同樣方式經(jīng)過c、b，再回到S點。

解答：帶電粒子的運動軌跡如圖6所示。設(shè)粒子射入磁場區(qū)的速度為v，根據(jù)動能定理，有①。設(shè)粒子在洛倫茲力作用下作勻速圓周運動的半徑為R，由洛倫茲力提供向心力得②。由前面分析可知，要回到S點，粒子從a到b必須經(jīng)過3/4圓周，所以半徑R必定等于筒的外半徑r0，即R=r0③。由①②③，解得。

點評：本題中考查了帶電粒子的周期性。粒子的軌跡多像一朵盛開的鮮花！

四、一個啞鈴

例4：如圖7所示，在真空中，半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B，在此區(qū)域外圍空間有垂直紙面向內(nèi)的磁感應(yīng)強度大小也為B的勻強磁場。一個帶電粒子從邊界上的P點沿半徑向外，以速度v0進(jìn)入外圍磁場，已知帶電粒子質(zhì)量m=2×10-10kg，帶電荷量q=+5×10-6C，不計重力，磁感應(yīng)強度B=1T，粒子運動速度v0=5×103m/s，圓形區(qū)域半徑r=0.2m，試畫出粒子的運動軌跡并求粒子第一次回到P點所需的時間（結(jié)果用π表示）。

分析：粒子從P點出發(fā)，在洛倫茲力的作用下作勻速圓周運動，運動3/4周期進(jìn)入圓形磁場區(qū)域。繼續(xù)在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運動，最終將從原方向經(jīng)過P點。

解析：首先，由洛倫茲力提供向心力有：，解得：r=0.2m=R，軌跡如圖8所示。

其次，粒子做圓周運動的周期為T==8π×10-5s粒子的軌跡組合起來，正好為2個圓周，則粒子第一次回到P點所需時間為t=2T=16π×10-5s。

點評：粒子在磁場中的運動軌跡真的很像一個啞鈴！

五、 一顆明星

例5：如圖9所示，一個質(zhì)量為m、電荷量為+q的正離子，從A點正對著圓心O以速度v0射入半徑為R的絕緣圓筒中。圓筒內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度的大小為B。要使帶電粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞多次后仍從A點射出，求正離子在磁場中運動的最短時間t（設(shè)粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞時無能量和電荷量損失，不計粒子的重力）。

分析：由于離子與圓筒內(nèi)壁碰撞時無能量損失和電荷量損失，每次碰撞后離子的速度方向都沿半徑方向指向圓心，并且離子運動的軌跡是對稱的，如圖10所示。設(shè)粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞n次（n≥2），則每相鄰兩次碰撞點之間圓弧所對的圓心角為2π/（n+1）。

由幾何知識可知，離子運動的半徑為，離子運動的周期為，又因為，所以離子在磁場中運動的時間為。

最短時間的運動軌跡如圖10所示，每相鄰兩次碰撞點之間圓弧所對的圓心角為120°，由幾何知識可知，離子運動的半徑為：r=Rtan60°=R，運動的周期為：。又因，所以離子在磁場中運動的時間為。

點評：粒子在磁場中的運動軌跡是閃閃發(fā)光的三角星、四角星、五角星和多角星。

六、一串露珠

例6：在xoy坐標(biāo)系內(nèi)存在周期性變化的電場和磁場，電場沿y軸正方向；磁場垂直紙面（以向里為正），電場和磁場的變化規(guī)律如圖11所示。一帶負(fù)電粒子質(zhì)量m=3.2×10-13kg，電荷量q=1.6×10-10C，在t=0時刻，以V0=8m/s的速度沿x軸正向運動，不計粒子重力。求粒子在磁場中運動的周期；當(dāng)t=24×10-3s時，求粒子在坐標(biāo)系內(nèi)的位置坐標(biāo)。

分析：粒子在電場中由于受到與速度方向垂直的電場力的作用而作類平拋運動，在4×10-3s至8×10-3s的時間內(nèi)，粒子將處在磁場中，受洛倫茲力而作勻速圓周運動，剛好運動一個周期。后以同方向進(jìn)入電場繼續(xù)作類平拋運動，接著進(jìn)入磁場作勻速圓周運動，軌跡如圖12所示。

解析：首先，粒子在磁場中運動時，得，

得軌跡半徑r=，周期，帶入數(shù)據(jù)解得：T=4×10-3s。

其次，t=24×10-3s時，粒子在坐標(biāo)系內(nèi)運動了三段類平拋運動和三個圓周運動。

水平方向的位移x=3v0T=9.6×10-2m，豎直方向的位移y=a（3T）2。

由于在電場中，qE=ma，帶入數(shù)據(jù)的y=3.6×10-2m，所以，當(dāng)t=24×10-3s時，粒子在坐標(biāo)系內(nèi)的位置坐標(biāo)為（9.6×10-2m，-3.6×10-2m）。

點評：粒子在電磁場中的軌跡多像清晨草葉上的一串露珠！

帶電粒子在電磁場中運動的軌跡美是普遍現(xiàn)象，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生善于將物理與生活相聯(lián)系，從美學(xué)角度看待物理問題，以增強學(xué)習(xí)物理的樂趣。

（作者單位：山東省壽光市壽光中學(xué)）

（責(zé)任編輯：梁金）