平面上線性變換的特征向量的幾何意義＊

紀(jì)永強(qiáng)

（湖州師范學(xué)院 理學(xué)院，浙江 湖州313000）

關(guān)于線性變換的特征向量的定義及有關(guān)性質(zhì)，在文獻(xiàn)［1］、［2］、［3］中都有討論，但對(duì)于平面上線性變換的特征向量的幾何意義還沒(méi)有人具體地研究過(guò).本文給出平面上線性變換的特征向量的幾何意義，提高對(duì)特征向量的直觀認(rèn)識(shí).

1 平面R2 上由非對(duì)稱矩陣對(duì)應(yīng)的線性變換的特征向量的幾何意義

設(shè)R2＝｛x＝（x1，x2）｜x1，x2∈R｝，則R2是二維向量空間，向量x與向量的和及向量x與數(shù)a的乘法是：

其 中：x＝（x1，x2）∈R2.R2中的元素（x1，x2）也是平面上某點(diǎn)的坐標(biāo)，因此我們稱R2是平面.設(shè)F∶R2→R2是平面R2上的線性變換，即

其中：x∈R2；a，b∈R.由參考文獻(xiàn)［1］中的定理1.2.3，我們得如下定理成立：

定理1［1］設(shè)變換F∶R2→R2為F（（x1，x2））＝（y1，y2），則F是平面R2上的線性變換的充要條件是：

即

由此可知，平面R2上的線性變換F與二階實(shí)矩陣A＝（aij）2×2是相互確定的，即給出了線性變換，就可得出矩陣A，反之，給出了矩陣A，就可寫(xiě)出線性變換.

線性變換的幾何意義是：設(shè)A的行列式｜A｜≠0，則線性變換（3）式是平面R2上的非退化的線性變換，它將平面R2上的點(diǎn)（x1，x2）變?yōu)槲ㄒ坏囊稽c(diǎn)（a11x1＋a12x2，a21x1＋a22x2），當(dāng)｜A｜＝0時(shí)，F(xiàn)是退化的線性變換.設(shè)F∶R2→R2是向量空間R2上的線性變換，e1＝（1，0）和e2＝（0，1）是R2的一組基，設(shè)

其中：（a11，a21）和（a12，a22）分別是向量F（e1）和F（e2）關(guān)于基e1，e2的坐標(biāo).（5）式寫(xiě)成矩陣形式是：

設(shè)α＝（x1，x2）∈R2，則α可寫(xiě)成矩陣形式如下：

從而有：

因?yàn)镕是R2上的線性變換，由（7）式、（2）式及（6）式得：

［2］、［3］，我們有特征向量的定義如下：

定義［2］設(shè)F∶R2→R2是向量空間R2上的線性變換，λ∈R，α是R2上的非零向量，若

則稱λ是線性變換F的一個(gè)特征根，α屬于特征根λ的特征向量.

顯然，對(duì)任a∈R，a≠0，有F（aα）＝λ（aα），所以aα是屬于特征根λ的所有特征向量.因?yàn)棣粒剑▁1，x2）∈R2，所以（10）式可以寫(xiě)為：

由此我們得到，平面R2上線性變換F的特征向量α的幾何意義是：特征向量α是平面R2上點(diǎn)M的徑矢量，即α＝，而點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x1，x2），屬于特征根λ的所有特征向量aα都在由點(diǎn)（0，0）和點(diǎn)（x1，x2）確定的直線OM上.因?yàn)镕（α）與α的坐標(biāo)成比例，所以矢量F（α）與矢量α線性相關(guān)，幾何上，F(xiàn)（α）與α在過(guò)原點(diǎn)的直線OM上.

由（8）式、（9）式和（10）式，我們得特征向量的充要條件如下：

設(shè)α＝（x1，x2）是線性變換F∶R2→R2的屬于特征根λ的一個(gè)特征向量，即

其中：ξ＝αT是α的轉(zhuǎn)置，它是二行一列矩陣，也是一個(gè)列向量，α＝ξT.A＝（aij）2×2是線性變換F的矩陣，E2是二階單位方陣.因?yàn)樘卣飨蛄喀巍?，所以關(guān)于x1，x2的二元一次齊次方程組（14）式有非零解x1與x2的充要條件是：它的系數(shù)行列式為零，即

其中：（15）式稱為線性變換F或二階方陣A的特征方程.F的特征多項(xiàng)式是：

其中：I1＝a11＋a22＝trA是矩陣A＝（aij）2×2的跡，I2＝a11a22－a12a21＝是矩陣A的行列式.由此可知，線性變換的特征方程（15）式為：

這是關(guān)于λ的一元二次方程，現(xiàn)在討論方程（17）式的根.

（1）當(dāng)方程（17）式的判別式△＝－4I2＜0時(shí)，方程（17）式無(wú)實(shí)根，從而線性變換F無(wú)實(shí)的特征向量ξ或α.

（2）當(dāng)方程（17）式的判別式△＝－4I2＞0時(shí)，由（17）式得到兩個(gè)不同的特征根：

再將λ1和λ2分別代入（14）式，可求得對(duì)應(yīng)的特征向量分別是：

因?yàn)棣?與α2的坐標(biāo)不成比例，所以α1與α2線性無(wú)關(guān).由此得，線性變換F的不同特征根（λ1≠λ2）對(duì)應(yīng)的特征向量α1與α2線性無(wú)關(guān).幾何意義是：α1與α2是平面R2上經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的兩個(gè)不在一條直線上的非零矢量.又F（α1）＝λ1α1，F(xiàn)（α2）＝λ2α2，所以F（α1）與α1在一條直線上，F(xiàn)（α2）與α2在一條直線上，并且F（α1）與F（α2）不在同一條直線上.

（3）當(dāng)方程（17）式的判別式△＝－4I2＝0時(shí)，即

由（17）式得兩個(gè)相同的特征根：

或

由（19）式可知，（21）式與（21）′式的坐標(biāo)成比例，即（21）式與（21）′式表示同一個(gè)特征向量.設(shè)a12≠a21，此時(shí)，矩陣A是非對(duì)稱的二階矩陣.由此得到：對(duì)于非對(duì)稱矩陣對(duì)應(yīng)的線性變換，當(dāng)特征根是二重根時(shí)，它的特征向量（21）式是平面上經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一個(gè)非零矢量，即α＝（2a12，a22－a11）.這就是重根對(duì)應(yīng)的特征向量的幾何意義.

由上面的討論，我們得到如下平面上特征向量的幾何意義的定理成立：

定理1 設(shè)F∶R2→R2是平面R2上由二階非對(duì)稱實(shí)矩陣A＝（aij）2×2對(duì)應(yīng)的線性變換，即

設(shè)λ1＝和是線性變換F的特征根，其中I1＝（a11＋a22），I2＝a11a22－a12a21，△＝－4I2，則

（1）當(dāng)λ1與λ2是共軛復(fù)數(shù)根時(shí)，即－4I2＜0時(shí)，則線性變換F是無(wú)實(shí)的特征向量.

（2）當(dāng)λ1與λ2是不同的實(shí)根時(shí)，即－4I2＞0時(shí)，α1＝（2a12，a22－a11＋）和α2＝（2a12，a22－a11－）分別是λ1與λ2對(duì)應(yīng)的特征向量，即F（α1）＝λ1α1，F(xiàn)（α2）＝λ2α2，則線性變換F對(duì)應(yīng)的特征向量α1與α2是平面R2上自原點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)不共線的矢量，并且直線（a22－a11＋）x1－2a12x2＝0上的一切非零矢量都是特征根λ1對(duì)應(yīng)的特征向量，直線（a22－a11－）x1－2a12x2＝0上的一切非零矢量都是特征根λ2對(duì)應(yīng)的特征向量.

（3）當(dāng)λ1與λ2是相同的實(shí)根時(shí)，即λ1＝λ2＝（a11＋a22）時(shí)，即－4I2＝0時(shí)，則線性變換F對(duì)應(yīng)的特征向量只有一個(gè)，即α＝（2a12，a22－a11），α是平面R2上自原點(diǎn)出發(fā)的非零矢量，直線（a22－a11）x1－2a12x2＝0上的一切非零矢量都是重根對(duì)應(yīng)的特征向量.

具體例子如下：

由（19）式，我們可得下面的例題：

2 平面R2 上由對(duì)稱矩陣對(duì)應(yīng)的線性變換的特征向量的幾何意義

矩陣A的特征方程是：

因?yàn)樘卣鞣匠痰呐袆e式：

所以特征方程（23）式的根都是實(shí)數(shù).

（1）當(dāng)判別式△＞0時(shí)，由（23）式得兩個(gè)不同的特征根：

其中：△＝（a11－a12）2＋，易得λ1與λ2對(duì)應(yīng)的特征向量分別是：

因?yàn)棣?與α2的內(nèi)積（點(diǎn)積）是：

所以α1與α2正交（垂直），或由參考文獻(xiàn)［4］知，α1與α2正交，并且F（α1）＝λ1α1，F(xiàn)（α2）＝λ2α2.由此可得，二階實(shí)對(duì)稱矩陣A對(duì)應(yīng)的線性變換的不同特征根λ1與λ2對(duì)應(yīng)的特征向量α1與α2垂直，這就是特征向量的幾何意義.

（2）當(dāng)判別式△＝0時(shí)，即△＝（a11－a12）2＋＝0，得a11＝a22≠0，a12＝0.此時(shí)對(duì)稱矩陣A為，對(duì)應(yīng)的線性變換是：

這是伸縮變換，矩陣A的特征方程是：

得到λ1＝λ2＝a11≠0，易得對(duì)應(yīng)的特征向量是：

其中：X，Y是不全為零的任意實(shí)數(shù).幾何意義是：經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的任一非零矢量α＝（X，Y）都是重根λ1＝λ2＝a11≠0對(duì)應(yīng)的特征向量，并且F（α）＝a11α.由此可得下面的定理成立：

定理2 設(shè)F∶R2→R2是平面R2上由二階實(shí)對(duì)稱矩陣A＝（aij）2×2對(duì)應(yīng)的線性變換，即

（1）當(dāng)λ1與λ2是不同是實(shí)根時(shí)，即－4I1＞0時(shí)，則線性變換F對(duì)應(yīng)的特征向量α1＝（2a12，a22－a11＋）與α2＝（2a12，a22－a11－）是平面R2上自原點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)互相垂直的矢量，并且直線（a22－a11＋）x－2a12y＝0上的一切非零矢量都是特征根λ1對(duì)應(yīng)的特征向量，直線（a22－a11－）x－2a12y＝0上的一切非零矢量都是特征根λ2對(duì)應(yīng)的特征向量.F（α1）＝λ1α1，F(xiàn)（α2）＝λ2α2.

（2）當(dāng)λ1與λ2是相同的實(shí)根λ1＝λ2＝a11時(shí)，即－4I1＝0時(shí)，則線性變換F對(duì)應(yīng)的特征向量有無(wú)窮多個(gè)，即α＝（X，Y），其中X，Y是不全為零的任意實(shí)數(shù)，α是平面R2上自原點(diǎn)出發(fā)的任意非零矢量.

具體例子如下：

易得矩陣A的特征根λ1＝3，λ2＝－2，對(duì)應(yīng)的特征向量分別是α1＝（2，－1）和α2＝（1，2）.幾何意義是：α1＝（2，－1）和α2＝（1，2）是平面上自原點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)互相垂直的矢量.直線x＋2y＝0上的一切非零矢量都是特征根λ1＝3對(duì)應(yīng)的特征向量，直線y＝2x上的一切非零矢量都是特征根λ2＝－2對(duì)應(yīng)的特征向量，并且F（α1）＝3α1，F(xiàn)（α2）＝－2α2.F（α1）與F（α2）垂直，F(xiàn)（α1）與α1＝（2，－1）在直線x＋2y＝0上，F(xiàn)（α2）與α2＝（1，2）在直線y＝2x上.

參考文獻(xiàn)：

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［2］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)［M］.北京：高等教育出版社，1988：296－304.

［3］張禾瑞，郝炳新.高等代數(shù)［M］.北京：人民教育出版社，1980：248－254.

［4］紀(jì)永強(qiáng).空間解析幾何［M］.北京：高等教育出版社，2013：238－240.