橢圓曲線的Bézier多項(xiàng)式逼近

王 珺

（巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)系，安徽 巢湖 238000）

引言

橢圓曲線是一種在繪圖、機(jī)械加工中常用的圓錐曲線.因?yàn)镃AD/CAM系統(tǒng)只能處理有理多項(xiàng)式或多項(xiàng)式曲線，所以橢圓曲線在該系統(tǒng)中無法精確表示.因此對橢圓進(jìn)行有理逼近就顯得十分重要。文獻(xiàn)[1-3]用低次的Bézier曲線逼近圓弧，文獻(xiàn)[4]利用在最小二乘法范數(shù)下所定義的距離函數(shù)取最小值來得到圓弧的Bézier多項(xiàng)式曲線。本文給出了橢圓曲線的Bézier多項(xiàng)式逼近，首先利用Tchbyshev多項(xiàng)式去逼近橢圓，再利用Tchebyshev基與Bernstein基的基轉(zhuǎn)換公式得到橢圓的n次Bézier多項(xiàng)式逼近。該算法同樣適合圓弧的逼近。

1 橢圓曲線的Bézier多項(xiàng)式逼近及其逼近的誤差函數(shù)

1.1 預(yù)備知識

中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，主軸為x軸方向的橢圓，其標(biāo)準(zhǔn)形式為：

其中，θ為參數(shù)，a和b分別表示橢圓的長、短軸的長度。非標(biāo)準(zhǔn)形式的橢圓曲線都可通過仿射變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式。因此，本文只考慮標(biāo)準(zhǔn)形式的橢圓曲線的Bézier多項(xiàng)式逼近。

引理 1[5]如果函數(shù) f（x）在區(qū)間［-1， 1］上連續(xù)；f′（x）在區(qū)間［-1， 1］上分段連續(xù)，則 f（x）在［-1，1］上可展開為一致收斂的Tchebyshev級數(shù)，其形式為：

其中， Ti（x）=cos（iarccosx）為第一類 Tchebyshev 多項(xiàng)式。

引理 2[6]Tchebyshev 基轉(zhuǎn)化成 Bernstein 基的基轉(zhuǎn)化矩陣為 M：｛Mij｝，i，j=1，2，…，n 其中

1.2 橢圓曲線的Bézier多項(xiàng)式逼近

對（1）式作參數(shù)變換 θ=α+（β-α）t，則當(dāng) θ∈［α，β］ 時，t∈［0，1］，式（1）變?yōu)椋?/p>

下面先討論 x（t）的逼近。

尋求一個 n（n＞3）次多項(xiàng)式

逼近 x（t），并且滿足插值條件：

根據(jù)引理，將自變量區(qū)間［-1，1］變到區(qū)間［0，1］，可以對x=（t）分別進(jìn)行 Tchebyshev 展開：

其中：

由引理2可得：

綜上所述，得到插值C（t）首、末端點(diǎn)的n次Bézier多項(xiàng)式逼近：

1.3 圓弧逼近的誤差函數(shù)

定義1 橢圓曲線的Bézier多項(xiàng)式逼近的誤差函數(shù)為：

2 實(shí)例

圖1 橢圓的9次Bézier多項(xiàng)式逼近曲線， ε=6.31×10-4

圖2 橢圓的 12次 Bézier多項(xiàng)式逼近曲線，ε=7.39×10-7

結(jié)論

本文提出的逼近橢圓的方法，可以用任意次數(shù)的Bézier多項(xiàng)式去近似的表示橢圓，而且可以插值橢圓的首末端點(diǎn)。通過例1可以看出用這種方法逼近橢圓，逼近誤差小，逼近效果較好。

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