非局域暗孤子及其穩(wěn)定性分析*

高星輝 張承云 唐冬 鄭暉 陸大全 胡巍?

1)(廣州大學(xué)電子信息工程系,廣州 510006)

2)(華南師范大學(xué),光子信息技術(shù)廣東省高校重點實驗室,廣州 510631)

(2012年7月4日收到;2012年8月13日收到修改稿)

1 引言

近些年來,非局域空間孤子一直是研究的熱點,人們對它們的各種特性例如相互作用、穩(wěn)定性進行了大量研究.體介質(zhì)中非局域亮孤子間的相互作用取決于它們間的相位差、相干程度、材料的非線性非局域程度[1?3];非局域基態(tài)和二階體亮孤子總是穩(wěn)定的,而高階亮孤子是震蕩不穩(wěn)的[4],但如果樣品的寬度超過一臨界值,三階、四階體亮孤子在其存在區(qū)域也總是穩(wěn)定的[5].非局域表面亮孤子的穩(wěn)定性與體亮孤子的穩(wěn)定性相似:基態(tài)和二階表面亮孤子總是穩(wěn)定的,高階表面亮孤子是震蕩不穩(wěn)的[6?9].非局域基態(tài)界面亮孤子總是穩(wěn)定的,二階及以上高階界面亮孤子是震蕩不穩(wěn)的[10?12].

與非局域亮孤子相比,由于其邊界的特殊性,對非局域暗孤子相互作用及其穩(wěn)定性的研究甚少.非局域暗孤子間的相互作用取決于孤子間距離以及介質(zhì)的非局域程度[13?16],并存在著一個相互作用的臨界點[17].1+2維非局域暗孤子由于橫向不穩(wěn)定性容易分裂并演變成渦旋孤子[18],1+1維非局域暗孤子的穩(wěn)定性如何,目前還沒有文章對其進行過具體研究.本文從1+1維非局域非線性薛定諤方程出發(fā),通過數(shù)值模擬得到非局域暗孤子解,然后提出了暗孤子穩(wěn)定性分析理論,并對其數(shù)值求解得到了非局域暗孤子的穩(wěn)定性分析圖,最后利用加噪聲的傳輸驗證了穩(wěn)定性分析理論的正確性.

2 非局域非線性薛定諤方程的數(shù)值解

2.1 理論模型

在傍軸近似下,1+1維光束在熱非線性體介質(zhì)(比如液晶)中的傳輸由非局域非線性薛定諤方程確定(NNLSE):[19]

其中u(x,z)是光束的復(fù)振幅包絡(luò);x,z分別為橫坐標和縱坐標;是實對稱的非局域響應(yīng)函數(shù),是光束引起熱非線性體介質(zhì)的折射率變化.

當σ→0時,該耦合方程就變成局域非線性薛定諤方程.

2.2 非局域暗孤子數(shù)值解

耦合方程(2)有暗孤子和灰孤子解,這里考慮暗孤子解.設(shè)耦合方程(2)的解為u(x,z)=W(x)exp(iβz),n(x,z)=N(x),其中W(x),N(x)為實數(shù),β為傳播常數(shù)且為負數(shù).將它們代入耦合方程(2)得到

對耦合方程(3)利用牛頓迭代法進行數(shù)值模擬得到基態(tài)暗孤子和二階暗孤子解(見圖1),邊界上我們令振幅、折射率的導(dǎo)數(shù)為零,離散化方程時邊界條件利用三點微分公式.

3 非局域暗孤子穩(wěn)定性分析

3.1 穩(wěn)定性分析理論

下面分析非局域暗孤子對橫向擾動的穩(wěn)定性.對耦合方程(2)引入擾動解

其中a(x,z),b(x,z)(a?W,b?N)分別為振幅和折射率微擾且都為實數(shù).將方程(4)代入(2)式并圍繞(3)式線性化且忽略高階項得到關(guān)于a,b的線性方程

方程(5)有如下形式的解:

把(6)式代入方程(5)得

圖1 非局域暗孤子數(shù)值解 (a)不同σ對應(yīng)的基暗孤子;(b)不同σ對應(yīng)的二階暗孤子

從方程(7)可以得到

對(9)式取共軛得到

這樣由(8),(10)兩式組成的方程組就變成了求本征值方程(本征值為λ)的問題

其中

本征函數(shù)

在邊界上我們令振幅、折射率的導(dǎo)數(shù)為零,離散化方程時對邊界條件用三點微分公式.非局域暗孤子的不穩(wěn)定性來源于本征值虛部的負數(shù)(見(6)式),即擾動隨著本征值虛部的負數(shù)g=?Im(λ)指數(shù)增長,從而導(dǎo)致暗孤子不穩(wěn)定.

3.2 穩(wěn)定性分析圖

對上述本征值方程進行數(shù)值求解并得到穩(wěn)定性分析圖.從穩(wěn)定性分析圖發(fā)現(xiàn),與基態(tài)非局域亮孤子一樣,基態(tài)非局域暗孤子在它存在區(qū)域內(nèi)總是穩(wěn)定的(見圖2),二階非局域暗孤子是區(qū)間不穩(wěn)定的(見圖3),而二階非局域亮孤子在其存在區(qū)域總是穩(wěn)定的[9].為了驗證穩(wěn)定性分析結(jié)果的正確性,我們令耦合方程(2)的加噪聲初始輸入為u(x,z=0)=W(x)[1+ρ(x)],其中ρ(x)為高斯分布的隨機噪聲且方差δ2=0.03.將上述初始輸入代入方程(2)并利用菱形差分法進行數(shù)值模擬得到加噪的孤子傳輸圖,邊界上令振幅、折射率的導(dǎo)數(shù)為零.

圖2 基態(tài)暗孤子波形圖 (a)相同β,不同σ的波形;(b)相同σ,不同β的波形,基態(tài)暗孤子的加噪傳輸圖;(c)σ=1,β=?1時的傳輸圖;(d)σ=3,β=?1.5時的傳輸圖

圖2 (c),(d)(σ,β為基態(tài)暗孤子存在區(qū)域內(nèi)的任意值)為加噪后基態(tài)暗孤子傳輸圖,其中圖2(c)中介質(zhì)的非局域程度為σ=1且傳播常數(shù)β=?1,圖2(d)中σ=3且β=?1.5.從圖2中可以看出,加了微擾的基態(tài)暗孤子傳輸3000個瑞利距離后波形仍然保持不變,并且無論非局域程度和傳播常數(shù)為任何值,這說明基態(tài)暗孤子在其存在領(lǐng)域內(nèi)總是穩(wěn)定的.

圖3 二階暗孤子波形圖 (a)相同β,不同σ的二階暗孤子波形;(b)擾動增長率虛部的負數(shù)-傳播常數(shù)圖(穩(wěn)定性分析圖),σ=3,5;(c)本征值實部-傳播常數(shù)圖;二階暗孤子的加噪傳輸圖;(d)σ=3,β=?1;(e)σ=3,β=?0.3;(f)σ=5,β=?1;(g)σ=5,β=?0.5

圖3 (b)為二階非局域暗孤子穩(wěn)定性分析圖,其中橫坐標為傳播常數(shù)的負數(shù),縱坐標為本征方程中本征值虛部的負數(shù).從圖3(b)可以看出,二階非局域暗孤子是區(qū)域不穩(wěn)定的,在曲線內(nèi)暗孤子不穩(wěn),曲線外穩(wěn)定,圖3(d)—(g)驗證了穩(wěn)定性分析圖的正確性.圖3(d),(e)分別為σ=3而β為在不穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)、外取一任意值時加噪二階暗孤子傳輸圖,圖3(d)(穩(wěn)定區(qū)取β=?1)表明在加噪傳輸3000個瑞利距離后二階暗孤子波形仍然保持不變,圖3(e)(不穩(wěn)定區(qū)取β=?0.3)表明在加噪傳輸1500個瑞利距離后二階暗孤子波形已經(jīng)嚴重變形;圖3(f),(g)分別為σ=5而β在不穩(wěn)定區(qū)內(nèi)、外取一任意值時加噪二階暗孤子的傳輸圖.從圖3可以得出結(jié)論:二階非局域暗孤子的穩(wěn)定性與亮孤子的不一樣,它是區(qū)間不穩(wěn)定的,并且不穩(wěn)定區(qū)間的大小與體介質(zhì)非局域程度σ以及傳播常數(shù)β有關(guān)系,更高階的非局域暗孤子也有類似性質(zhì).另外,不穩(wěn)定區(qū)間的大小與暗孤子的階數(shù)也有關(guān)系,這些我們將在以后討論.

局域暗孤子間總是排斥的,非局域暗孤子間可以表現(xiàn)為相互吸引,高階非局域暗孤子可以看成是幾個基態(tài)暗孤子的束縛態(tài),只有當非局域程度、孤子寬度以及非線性(傳播常數(shù)和背景強度)等條件合適時才可以形成穩(wěn)定的高階非局域暗孤子,否則形成的暗孤子是不穩(wěn)定的.

4 結(jié)論

與基態(tài)、二階亮孤子一樣,基態(tài)非局域暗孤子在其存在領(lǐng)域內(nèi)總是穩(wěn)定的,而二階非局域暗孤子是區(qū)間不穩(wěn)定的,其不穩(wěn)定區(qū)間的大小與介質(zhì)的非局域程度以及傳播常數(shù)有關(guān)系,另外還與暗孤子的階數(shù)有關(guān)系.這一結(jié)論對非局域暗孤子的實際應(yīng)用和相互作用的研究有一定的參考價值,特別是對高階暗孤子穩(wěn)定性的研究有重要的指導(dǎo)和參考意義.

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