質(zhì)數(shù)傳奇

陳重威

數(shù)學家的“帽子戲法”

假如你覺得身份證號碼、手機號碼太長，記憶起來費勁的話，那么今年初由美國科學家發(fā)現(xiàn)的最大質(zhì)數(shù)，會讓你更頭疼。該質(zhì)數(shù)一共有17425170位。這個1700多萬位的數(shù)字有多大呢？如果以每天寫12個小時，每秒1位的速度手寫，全部寫完需要一年多的時間。如果用普通的五號字將它連續(xù)打印下來，它的長度可超過65千米。

經(jīng)過了四年的空檔期之后，數(shù)學家終于發(fā)現(xiàn)了這個新的，同時也是已知的最大的質(zhì)數(shù)。這一發(fā)現(xiàn)要歸功于美國中央密蘇里大學的柯蒂斯·庫珀教授的工作，用足球迷的話來說，這位數(shù)學家也完成了“帽子戲法”，因為前兩個最大的質(zhì)數(shù)也是他發(fā)現(xiàn)的。

數(shù)海明珠

質(zhì)數(shù)，又叫素數(shù)，指的是只有1和它本身兩個約數(shù)的大于1的自然數(shù)。例如，2、3、5、7、11等都是質(zhì)數(shù)。因為它們不能被除了l和它本身之外的任何數(shù)整除。

質(zhì)數(shù)有無限個。人類在公元前300年的時候就知道了這～點，是古希臘數(shù)學家歐幾里得首次證明了這一結(jié)論。此次發(fā)現(xiàn)的質(zhì)數(shù)，不僅是目前已知的最大的質(zhì)數(shù)，而且還是很少見的梅森質(zhì)數(shù)。所謂梅森質(zhì)數(shù)，是指能夠?qū)懗伞?^p-1”即2的P次方減l形式的質(zhì)數(shù)，其中的P也是質(zhì)數(shù)。以此次發(fā)現(xiàn)的最大質(zhì)數(shù)為例，它可以寫成2的57885161次方減1，其中57885161本身也是一個質(zhì)數(shù)。

這種特殊形式的質(zhì)數(shù)，具有獨特的性質(zhì)和無窮的魅力，千百年來一直吸引著包括費馬、笛卡兒、萊布尼茲、哥德巴赫、歐拉、高斯、哈代、圖靈等眾多數(shù)學家和無數(shù)數(shù)學愛好者對它進行探究。其中17世紀的法國數(shù)學家馬林·梅森是成果較為卓著的一位，因此數(shù)學界將能夠?qū)懗伞?^p-1”形式的質(zhì)數(shù)稱為“梅森質(zhì)數(shù)”。迄今為止，人們僅發(fā)現(xiàn)了48個梅森質(zhì)數(shù)。例如，在從l到2的25964951次方減1之間的所有自然數(shù)中，有1622441個質(zhì)數(shù)，其中只有42個是梅森質(zhì)數(shù)。正因為梅森質(zhì)數(shù)稀少而又迷人，所以被人們稱為“數(shù)海明珠”。

互聯(lián)網(wǎng)梅森質(zhì)數(shù)大搜索

雖然質(zhì)數(shù)的個數(shù)有無窮多，但并沒有公式來產(chǎn)生這些數(shù)值，因此發(fā)現(xiàn)新的質(zhì)數(shù)需要大量的計算。雖然梅森質(zhì)數(shù)貌似簡單，但當指數(shù)P值較大時。其探究難度就會很大。特別值得一提的是，1772年，人稱“數(shù)學英雄”的瑞士數(shù)學家歐拉在雙目失明的情況下，靠心算證明了2的31次方減1，即2147483647是第8個梅森質(zhì)數(shù)。這個具有10位的質(zhì)數(shù)，堪稱當時世界上已知的最大質(zhì)數(shù)。在整個“手算筆錄”的年代，人們僅找到12個梅森質(zhì)數(shù)。

為了加速梅森質(zhì)數(shù)探究的進程，1996年初，一位美國數(shù)學家編制了一個尋找梅森質(zhì)數(shù)的計算機程序，并把它放到了互聯(lián)網(wǎng)上，供全球數(shù)學家和數(shù)學愛好者免費使用。它就是舉世聞名的“互聯(lián)網(wǎng)梅森質(zhì)數(shù)大搜索”項目。任何人都可以從www.mersenne.org網(wǎng)站上下載這一軟件，并利用自己的計算機來尋找更人的質(zhì)數(shù)。

目前，世界上共有180多個國家和地區(qū)，近27萬人參加了這一國際合作項目；該項目利用志愿者的電腦對每一個質(zhì)數(shù)候選值按順序進行篩選，直到某個幸運者發(fā)現(xiàn)新的質(zhì)數(shù)。迄今為止，該項目已找到了14個梅森質(zhì)數(shù)，其發(fā)現(xiàn)者來自美國、英國、法同、德國、挪威和加拿大。這次由庫珀領(lǐng)導的研究小組，在大約1000臺大學里的計算機上運行“互聯(lián)網(wǎng)梅森質(zhì)數(shù)大搜索”的軟件，每臺計算機都不j間斷地用了39天時間來證明這個有1700多萬位的數(shù)值是個梅森質(zhì)數(shù)。隨后，運行其他不同軟件的高級計算機證實了他的發(fā)現(xiàn)。

梅森質(zhì)數(shù)有什么用

很多人都會問，費這么大的勁尋找質(zhì)數(shù)，找到的質(zhì)數(shù)究竟有什么用呢？或許就其本身而言，質(zhì)數(shù)對數(shù)學家并沒有什么價值，但它們因為難找而出了名。用一位美國科學家的話來說：“這有點像發(fā)現(xiàn)鉆石。出于某種原因人們認為它就像鉆石，因此它們就有了價值?！笔聦嵣?，搜尋梅森質(zhì)數(shù)并非一種神秘的消遣，也不是一場網(wǎng)絡(luò)游戲；對它的探究直接推動了人稱“數(shù)學皇后”的數(shù)論的研究。并促進了計算技術(shù)、密碼技術(shù)、網(wǎng)絡(luò)技術(shù)、程序設(shè)計技術(shù)的發(fā)展。

人們都習慣地相信計算機運算的結(jié)果一定是可靠的準確無誤的，但很少有人知道科學家經(jīng)常在用梅森質(zhì)數(shù)來測試計算機硬件的運算是否正確。既然梅森質(zhì)數(shù)如此難以尋找，因此也理所當然地在加密技術(shù)中起著支撐作用，成為密碼專家編碼的“鑰匙”，用以編制那些關(guān)乎國家重要機密的密碼，或確保網(wǎng)上重大交易安全的密碼。

由于梅森質(zhì)數(shù)的探究需要多種學科和技術(shù)的支持，所以許多科學家認為，梅森質(zhì)數(shù)的研究成果，在一定程度上反映了一個國家的科技水平。一位英國頂尖科學家甚至認為，梅森質(zhì)數(shù)的研究進展標志著科學發(fā)展的里程碑。

不是為了獎金

為了激勵人們尋找梅森質(zhì)數(shù)和促進網(wǎng)絡(luò)技術(shù)發(fā)展，總部設(shè)在美國的電子新領(lǐng)域基金會，于1999年設(shè)立了專項獎金，懸賞參與“互聯(lián)網(wǎng)梅森質(zhì)數(shù)大搜索”項目的梅森質(zhì)數(shù)發(fā)現(xiàn)者。它規(guī)定向第一個找到超過100萬位數(shù)的梅森質(zhì)數(shù)的個人或機構(gòu)頒發(fā)5萬美元。后面的獎金依次為：超過1000萬位數(shù)，10萬美元；超過1億位數(shù)，15萬美元；超過10億位數(shù)，25萬美元。庫珀教授因為發(fā)現(xiàn)了這個最大的梅森質(zhì)數(shù)而獲得了3000美元的獎金。不過，絕大多數(shù)人參與該項目并不足為了獎金，而是出于好奇心、求知欲和榮譽感?！?/p>

歐拉的故事

在本文提到的著名數(shù)學家中，歐拉是一位了不起的英雄。1707年4月15日，歐拉出生于瑞士的巴塞爾，父親是一位鄉(xiāng)村窮牧師，一心想讓聰穎的歐拉學習神學，以承父業(yè)。而歐拉最喜愛的卻是數(shù)學。為了不使父親傷心，小歐拉經(jīng)常等到父親熟睡后，再偷偷地起來做數(shù)學題，或者在數(shù)學書外面套一張圣經(jīng)的書皮，以逃避父親的注意。

但父命難違。1720年，13歲的歐拉還是按照父親的意愿，考入了巴塞爾大學學神學。當時，杰出的數(shù)學家、物理學家伯努里正在該校執(zhí)教。他的講課旁征博引、生動風趣、極富魅力，吸引了許多外系學生來旁聽。歐拉便是其中最忠實的一個。有一次，伯努里教授在講課時，無意中提到一個當時數(shù)學家還沒能解決的難題。沒有想到，這個13歲的孩子課后交來了一份關(guān)于該難題的解答，盡管還有不嚴謹之處，但構(gòu)思非常精巧，論述恢宏大氣。伯努里教授非常驚喜，當即決定，每星期在家里單獨為歐拉授課一次。

1723年，16歲的歐拉成了這所古老的大學有史以來最年輕的碩士。但父親執(zhí)意要歐拉放棄數(shù)學，把精力用在神學上。在這決定人生方向的關(guān)鍵時刻，伯努里教授動情地對固執(zhí)的父親說：“親愛的神甫，您知道我遇到過不少才氣洋溢的青年，但是要和您的兒子相比，他們都相形見絀。假如我的眼力不錯，他無疑是瑞士未來最了不起的數(shù)學家。為了數(shù)學，為了孩子，我請求您重新考慮您的決定?！备赣H被打動了。從此，歐拉和數(shù)學終身相伴。