基于應力關系的巖石壓縮系數(shù)變化分析

高書香

(承德石油高等?？茖W校石油工程系，河北承德 067000)

儲層巖石的壓縮系數(shù)對油氣勘探、儲量計算、油藏工程研究等都具有重要影響。常用的計算巖石壓縮系數(shù)的Hall方法和Newmen方法僅考慮了巖石壓縮系數(shù)隨巖石孔隙度的變化［1］，但是巖石的壓縮系數(shù)還受多個因素的影響［2－10］。另外，被測樣品經(jīng)過大量的處理過程，所受應力被多次改變，導致實驗結果存在不可靠性。本文從油氣生產(chǎn)過程分析入手，基于巖石壓縮系數(shù)的定義式和巖石各應力間的關系式，經(jīng)理論推導得出巖石三個壓縮系數(shù)的理論表達式，并用他人的實驗數(shù)據(jù)進行驗證、分析與對比。

1 地下巖石的應力

巖石孔隙是由巖石骨架及孔隙中的流體共同支撐起來的空間。李培超［11］等在沒有附加任何假設的前提下，得出了描述孔隙空間大小、骨架應力、孔隙壓力之間關系的方程式:

式中σ為巖石上覆應力，σs為巖石骨架應力，p為孔隙壓力，φ為孔隙度。

當孔隙壓力p變化后，首先引起的是巖石的骨架應力發(fā)生變化;而骨架應力的變化會引起巖石骨架的伸縮或變形，從而導致孔隙體積的變化。因此，可以用單位孔隙壓力變化引起的骨架應力變化量的大小來描述巖石在孔隙壓力變化情況下的孔隙度、壓縮系數(shù)等的變化規(guī)律。設:

則λ為巖石的骨架應力隨孔隙壓力的變化量，其大小與與巖石骨架及孔隙壓力變化量有關。本文中為方便而稱λ為骨架應力變化系數(shù)。從上述分析可以看出，λ的大小直接影響巖石的孔隙體積、骨架體積、骨架應力、孔隙度、壓縮系數(shù)等參數(shù)值，但卻受巖石骨架成分、骨架強度、骨架結構等多種因素的影響。

2 壓縮系數(shù)關系式

2.1 三個壓縮系數(shù)及其關系

根據(jù)文獻［12］中的定義，巖石孔隙體積壓縮系數(shù)Cp、骨架體積壓縮系數(shù)Cs、整體體積壓縮系數(shù)Cb分別為:

則通過化簡、變形，可得下列關系式:

設Css為單位骨架應力變化導致的巖石骨架體積的變化率，本文中稱為骨架參數(shù)(為使Css為永正，在式中加負號)。則有:

因此，巖石的Css是巖石骨架的固有參數(shù)。巖石的骨架體積壓縮系數(shù)Cs可表示為λ和Css的函數(shù):

2.2 孔隙度隨孔隙壓力的變化

假設巖石的上覆應力σ不變，對(1)式兩端求全微分并變形得:

將(2)式代入，則變形為:

石油生產(chǎn)過程中，導致巖石孔隙度φ變化的根本原因是孔隙壓力p變化，但直接原因卻是骨架應力σs變化。將方程式(11)繪制在以λ為橫坐標、以dφ/dp為縱坐標的坐標系中，得到如圖1所示的一條單調(diào)遞增的直線。根據(jù)方程式(11)或圖1，可定性判斷當孔隙壓力p降低后，孔隙度φ和骨架應力σs隨之變化的趨勢，如表1所示。由于孔隙度φ隨孔隙壓力p的降低而降低，故λ的理論取值范圍為［－φ/(1－φ)，∞)。

表1 孔隙壓力降低后骨架應力和孔隙度的變化

2.3 壓縮系數(shù)隨孔隙度和孔隙壓力的變化

將式(12)分別代入式(8)和式(9)得:

將式(10)代入式(14)得:

將式(15)代入式(13)得:

從式(10)、(15)、(16)可以看出，三個壓縮系數(shù)都可以表示為σ、φ、p、λ和Css五個參變量的函數(shù)。對于某特定地層中的巖石，上述五個變量的值都是確定的，因此，地層巖石的三個壓縮系數(shù)都有唯一確定的值。

式(15)和式(16)分別對φ求偏導得:

因此，當λ在不同的范圍內(nèi)取值時，孔隙度φ對孔隙體積壓縮系數(shù)Cp和整體體積壓縮系數(shù)Cb的影響也不同。

根據(jù)式(10)，巖石的骨架體積壓縮系數(shù)只與λ和Css兩個參數(shù)有關，與孔隙度φ無直接關系。當λ＜0時，骨架體積壓縮系數(shù)Cs為正，骨架體積隨孔隙壓力的降低而減小;當λ＞0時，骨架體積壓縮系數(shù)Cs為負，骨架體積隨孔隙壓力的降低而增加;當λ=0時，骨架體積壓縮系數(shù)Cs為0，即孔隙壓力變化過程中骨架體積不變。

設peff=σ－p，則peff即為巖石的有效上覆應力。根據(jù)式和式，其它參數(shù)不變時，巖石的孔隙體積壓縮系數(shù)Cp和整體體積壓縮系數(shù)Cb均隨有效上覆應力的增大而減小。因此，其它參數(shù)不變時，孔隙壓力越低，Cp和Cb越小;地層壓力系數(shù)越大，Cp和Cb越大;巖石埋藏越淺，Cp和Cb越大。

2.4 Cs對Cp大小的影響

根據(jù)式(15)，假設:

化簡得，

則當 φ、peff、Css同時取高值時，m 值較小。假若 φ =50%，peff=100 MPa，Css=1 ×10－3MPa－1，則 m=10;若φ=40%，peff=100 MPa，Css=1×10－4MPa－1，則m=150。因此，巖石的骨架體積壓縮系數(shù)Cs遠小于孔隙體積壓縮系數(shù)Cp。故在室內(nèi)實驗測定中，完全可以忽略Cs。

當忽略Cs時，式(9)和(14)可分別改寫為:

3 變化與分析

根據(jù)文獻［7］中測定的不同凈有效上覆應力增量下的孔隙體積Vp值，通過轉(zhuǎn)換橫坐標，可以得到不同孔隙壓力下的孔隙體積Vp，如圖2所示;然后進行二階多項式曲線擬合后即可得到形如下式的關系式:

式中，a、b、c為擬合常數(shù)，p為孔隙壓力。這樣可利用下式求其孔隙體積壓縮系數(shù)Cp:

計算結果如表2和圖3所示。結果顯示，相同有效上覆應力條件下，不同巖石的孔隙體積壓縮系數(shù)Cp隨孔隙度φ的增加而降低。

根據(jù)方程式(20)，利用Cp、φ、peff可反算λ的大小，如表3所示。結果顯示，所有巖石的λ值均小于0，且多是接近于λ邊界值。圖4是文獻［7］中巖心1-93/106的實驗數(shù)據(jù)擬合值和用本文關系式計算值的對比。

表2 不同孔隙壓力下各巖樣的孔隙體積壓縮系數(shù)

表3 根據(jù)實驗結果計算的λ值

續(xù)表

4 結論

1)定義了巖石的骨架應力變化系數(shù)λ，其大小與巖石骨架及孔隙壓力變化量有關，巖石骨架的成分、強度、結構等會影響λ的大小。

2)巖石的孔隙體積、骨架體積、骨架應力、孔隙度、壓縮系數(shù)(Cp、Cs、Cb)等均受骨架應力變化系數(shù)λ的影響。

3)隨孔隙壓力降低，巖石的孔隙度降低。

4)巖石的骨架體積壓縮系數(shù)可表示為λ和Css的函數(shù)。

5)數(shù)據(jù)證明巖石的骨架體積壓縮系數(shù)Cs遠小于孔隙體積壓縮系數(shù)Cp，在室內(nèi)實驗測定中，可完全可以忽略Cs。

6)相同有效上覆應力條件下，不同巖石的孔隙體積壓縮系數(shù)Cp隨孔隙度φ的增加而降低。

7)巖石的骨架應力變化系數(shù)λ的取值范圍不同，σs、φ、Cp、Cs、Cb的變化趨勢也會不同。

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