改進(jìn)的RL正則化圖像復(fù)原算法研究

趙 敏，陳 忠 （長(zhǎng)江大學(xué)一年級(jí)教學(xué)工作部，湖北 荊州434025）

模糊圖像復(fù)原就是根據(jù)觀察到的退化圖像重建理論上清晰圖像的過(guò)程，是模式識(shí)別、圖像理解與分析、計(jì)算機(jī)視覺(jué)的基礎(chǔ)，并被廣泛地應(yīng)用于醫(yī)學(xué)檢測(cè)、軍事探測(cè)、交通監(jiān)控和天文研究等重要領(lǐng)域。目前最重要且最困難的問(wèn)題是無(wú)參數(shù) （Non－Parameter）模糊圖像的盲復(fù)原，即此時(shí)的模糊核對(duì)應(yīng)于成像設(shè)備的運(yùn)動(dòng)軌跡，而不再是用一個(gè)函數(shù)便可簡(jiǎn)單描述的直線運(yùn)動(dòng)情形。

對(duì)于模糊圖像的盲復(fù)原，現(xiàn)在主要采取2種復(fù)原思路：①模糊核的估計(jì)和清晰圖像的復(fù)原同時(shí)進(jìn)行［1－2］；②先估計(jì)出模糊核，然后在已知模糊核的前提下進(jìn)行圖像復(fù)原。第2種思路較第1種思路降低了問(wèn)題求解的不適定性，便于穩(wěn)定和高效地復(fù)原模糊圖像。Fergus等［3］結(jié)合自然圖像的統(tǒng)計(jì)特征，在構(gòu)建MAP（Maximum a Posterior）方程的基礎(chǔ)上，利用集學(xué)習(xí) （Ensemble Learning）理論很好地估計(jì)了運(yùn)動(dòng)模糊核。由于該MAP過(guò)程涉及大量的變量，使得模糊核的估計(jì)速度非常緩慢。在圖像復(fù)原階段，基于最大似然函數(shù)的Richardson－Lucy（RL）算法因其高效和穩(wěn)定性得到廣泛的研究和應(yīng)用［4－6］。針對(duì)RL算法缺乏對(duì)解強(qiáng)加平滑性約束的不足，Tai等［7］基于雙邊正則化 （Bilateral）理論構(gòu)建了改進(jìn)的RL算法。鑒于該算法的復(fù)原結(jié)果依然存在振鈴效應(yīng)的問(wèn)題，劉文等［8］在分析圖像紋理信息幾何特征的基礎(chǔ)上，基于非局部正則化 （Non－Local）理論提出了改進(jìn)的RL算法，顯著提高了圖像復(fù)原的質(zhì)量，但因過(guò)高的計(jì)算復(fù)雜度限制了其進(jìn)一步的應(yīng)用。為此，筆者采用先估計(jì)模糊核后復(fù)原模糊圖像的思路，借鑒Krishnan等［9］構(gòu)建了一種改進(jìn)的Richardson－Lucy正則化算法。

1 運(yùn)動(dòng)模糊核的估計(jì)

筆者所考慮的運(yùn)動(dòng)模糊情形為空間一致 （Uniform）的，即圖像中各點(diǎn)被模糊的程度均相同，此時(shí)模糊圖像的數(shù)學(xué)模型可以利用卷積的形式來(lái)表達(dá)：

式中，g為觀察到的模糊圖像；u為清晰圖像；k為模糊核（或可稱為點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)PSF）；“?”表示卷積運(yùn)算符；ε為服從獨(dú)立同分布的零均值高斯白噪聲。

對(duì)于運(yùn)動(dòng)模糊圖像的盲復(fù)原，筆者先估計(jì)模糊核，然后在估計(jì)模糊核的基礎(chǔ)上構(gòu)建復(fù)原模型。在貝葉斯框架下，使用模糊核的擬合分布函數(shù)、噪聲分布估計(jì)函數(shù)和自然圖像的梯度估計(jì)分布函數(shù)等先驗(yàn)知識(shí)建立MAP方程來(lái)估計(jì)模糊核，雖然能夠很好地得到模糊核的估計(jì)值［3，10］，但由于其過(guò)大的計(jì)算復(fù)雜度限制了其應(yīng)用范圍。

為提高模糊核的估計(jì)精度，筆者在圖像的梯度空間構(gòu)建相關(guān)的正則化模型。令x與y方向的梯度算子分別為 ▽x＝［1，－1］和▽y＝［1，－1］－1，對(duì)應(yīng)的變量分別為x＝［▽xu，▽yu］1和y＝［▽xg，▽yg］1，并假設(shè)此時(shí)的加性高斯白噪聲為ω，則像素空間中的數(shù)學(xué)模型（1）在梯度空間中轉(zhuǎn)換成：

按照文獻(xiàn)［9］估計(jì)運(yùn)動(dòng)模糊核的思路，得到相對(duì)應(yīng)的正則化模型：

因求解模型（3）是一個(gè)典型的非凸優(yōu)化問(wèn)題，此時(shí)將其轉(zhuǎn)化成2個(gè)子問(wèn)題的求解，即：

并分別利用收縮閾值迭代算法和加權(quán)迭代最小二乘算法求解子問(wèn)題，即可穩(wěn)定有效地得到運(yùn)動(dòng)模糊核，接下來(lái)的工作便在估計(jì)模糊核的基礎(chǔ)上構(gòu)建圖像復(fù)原模型。

2 改進(jìn)的Richardson－Lucy正則化方法

模糊圖像的復(fù)原可看作是模糊成像 （1）的逆過(guò)程，即由觀測(cè)的模糊圖像g、模糊核k和圖像先驗(yàn)信息估計(jì)清晰圖像u的過(guò)程。模糊圖像的復(fù)原是一個(gè)典型的不適定性問(wèn)題，因模糊核的測(cè)量誤差或觀察圖像存在的污染噪聲都會(huì)對(duì)最終的復(fù)原結(jié)果產(chǎn)生較大的影響。在估計(jì)運(yùn)動(dòng)模糊核的基礎(chǔ)上，筆者在貝葉斯框架下來(lái)對(duì)模糊圖像進(jìn)行復(fù)原，此時(shí)模糊圖像復(fù)原的過(guò)程可表示為［8］：

由條件概率公式可知：

聯(lián)立式（6）與式（7）得到：

式（8）即為改進(jìn)的Richardson－Lucy正則化算法（MRL）。下面重點(diǎn)研究P（g，k｜u）和P（u）。為抑制復(fù)原圖像中的振鈴效應(yīng)，充分利用圖像像素空間和梯度空間的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，令P（g，k｜u）＝Pu（g，k｜u）P▽u（▽g，k｜▽u），此時(shí)式（8）轉(zhuǎn)換成：

因ε和ω均為服從獨(dú)立同分布的零均值高斯白噪聲，假設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)差分別為σε和σω，則依據(jù)噪聲的分布特征有：

接下來(lái)考慮對(duì)自然圖像的梯度約束R（u）。該問(wèn)題在本質(zhì)上反映了對(duì)自然圖像梯度概率分布函數(shù)的擬合，筆者采用較為簡(jiǎn)潔的Hyper－Laplacian函數(shù)作為先驗(yàn)信息P（u）的逼近，即對(duì)應(yīng)的R（u）＝｜▽u｜p。依Krishnan對(duì)自然圖像Hyper－Laplacian分布的研究，廣義系數(shù)p取0.8較為合適［11］，則模糊圖像復(fù)原對(duì)應(yīng)的能量泛函為：

利用梯度下降法，可得到能量泛函（10）對(duì)應(yīng)的迭代求解公式，即改進(jìn)的Richardson－Lucy正則化算法：

式中，λ，γ＞0均為正則化參數(shù)。式（11）后2項(xiàng)為正則化項(xiàng)，用來(lái)克服原有RL算法易產(chǎn)生振鈴現(xiàn)象的缺點(diǎn)。為增強(qiáng)MRL在復(fù)原模糊圖像中的反擴(kuò)散能力，以銳化復(fù)原圖像的邊緣與輪廓，筆者在局部坐標(biāo)系下對(duì)式（11）的最后1項(xiàng)進(jìn)行離散，即：

利用傅里葉變換及其逆變換得到正則化項(xiàng)Φ（·）的表達(dá)式為：

式中，f和f－1分別表示傅里葉變換和傅里葉逆變換，且為f（·）的復(fù)共軛矩陣，設(shè)迭代初始值為u0＝g。

3 試驗(yàn)結(jié)果及分析

為驗(yàn)證MRL算法在模糊圖像復(fù)原中的有效性，現(xiàn)以未知模糊核的Girl圖像為例進(jìn)行試驗(yàn)，并與Fergus［3］和 Krishnan［9］的圖像復(fù)原結(jié)果 （見(jiàn)圖1）進(jìn)行比較分析。試驗(yàn)在 CPU Intel（R）2.0GHz、1G內(nèi)存、Matlab 7.0的環(huán)境下進(jìn)行。正則化參數(shù)分別為λ＝1和γ＝0.5，且該迭代算法滿足如下的停機(jī)準(zhǔn)則：

由圖1可以看出，F(xiàn)ergus的復(fù)原結(jié)果不能很好地再現(xiàn)目標(biāo)圖像的紋理細(xì)節(jié)結(jié)構(gòu)，且存在一定的振鈴效應(yīng)；Krishnan方法雖在一定程度上能克服振鈴效應(yīng)的產(chǎn)生，但由于所選取的超拉普拉斯先驗(yàn)信息不能很好地?cái)M合自然圖像的梯度分布，使得復(fù)原圖像存在過(guò)平滑的問(wèn)題，這在局部放大圖像中可清晰地觀察到這一不足；筆者提出的改進(jìn)的RL正則化算法對(duì)圖像復(fù)原的結(jié)果施加更強(qiáng)的約束性，即使模糊核估計(jì)存在一定的誤差，該算法依然能夠有效地復(fù)原模糊圖像，再現(xiàn)圖像中的紋理細(xì)節(jié)信息，并能有效地抑制復(fù)原圖像中產(chǎn)生振鈴效應(yīng)。

圖1 模糊圖像Girl的復(fù)原結(jié)果比較

［1］Chan T F，Wong C K.Total variation blind deconvolution ［J］.IEEE Transactions on Image Processing，1998，7 （3）：370－375.

［2］Shan Q，Jia J Y，Agarwala A.High－quality motion deblurring from a single image ［J］ .ACM Transactions on Graphics，2008，27 （3）：73：1－10.

［3］Fergus R，Singh B ，Hertzmann A，et al.Removing camera shake from a single photograph ［J］ .ACM Transactions on Graphics，2006，25 （3）：787－794.

［4］Richardson W H.Bayesian－based iterative method of image restoration ［J］.Journal of the Optical Society of America，1972，62 （1）：55－59.

［5］Lucy L.An iterative technique for the rectification of observed distributions ［J］ .Astronomy Journal，1974，79 （6）：745－753.

［6］閆河，閆衛(wèi)軍，李唯唯 .基于Lucy－Richardson算法的圖像復(fù)原 ［J］.計(jì)算機(jī)工程，2010，36（15）：204－205.

［7］Tai Y W，Tan P，Brown M S.Richardson－Lucy deblurring for scenes under a projective motion path ［J］ .IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence，2011，33 （8）：1603－1618.

［8］劉文，吳傳生，呂琪 .含噪徑向模糊圖像的復(fù)原算法研究 ［J］.武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，33（4）：139－143.

［9］Krishnan D，Tay T，F(xiàn)ergus R.Blind deconvolution using a normalized sparsity measure ［C］.IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition.Colorado Springs：IEEE Computer Society，2011：233－240.

［10］Levin A，Weiss Y，Durand F，et al.Understanding and evaluating blind deconvolution algorithms ［C］ .IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition.Miami：IEEE Computer Society，2009：1964－1971.

［11］Krishnan D，F(xiàn)ergus R.Fast image deconvolution using Hyper－Laplacian priors ［C］ .Advances in Neural Information Processing Systems.Vancouver：MIT Press，2009：1－9.

［12］Aubert G，Kornprobst P.Mathematical problems in image processing：partial differential equations and the calculus of variations ［M］ .New York：Springer，2006.