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    羅爾定理一個(gè)課后習(xí)題的價(jià)值挖掘

    2013-12-03 02:12:32費(fèi)錫仙湖北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院湖北武漢430068
    關(guān)鍵詞:羅爾中值二階

    費(fèi)錫仙 (湖北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,湖北 武漢430068)

    大學(xué)數(shù)學(xué)的微積分中值定理中最基本也最重要的是羅爾 (Rolle)中值定理 (以下簡(jiǎn)稱羅爾定理),很有意思的是它雖然是拉格朗日 (Lagrange)中值定理和柯西 (Cauchy)中值定理的特殊情形,但實(shí)際上這2個(gè)定理的證明確是構(gòu)造出新的函數(shù)滿足羅爾定理的3個(gè)條件并證明出來(lái)的[1-2]。更有意思的是,課后有個(gè)習(xí)題用3次羅爾定理就可證出結(jié)論,該習(xí)題的證明和結(jié)論卻對(duì)于很多看似無(wú)從下手的題有著重要的價(jià)值和指導(dǎo)意義。

    1 羅爾定理

    定理1 (羅爾定理)[1]若f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且f(a)=f(b),則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ使得f′(ξ)=0。

    2 羅爾定理課后習(xí)題及其證明

    習(xí)題1[1]若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),且:

    則在(x1,x3)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ使得f″(ξ)=0。

    證明 若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),a<x1<x2<x3<b,則:

    1)f(x)在[x1,x2]上連續(xù),在(x1,x2)內(nèi)可導(dǎo),且f(x1)=f(x2),則由羅爾定理知,在(x1,x2)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ1使得f′(ξ1)=0。

    2)同理可知,在(x2,x3)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ2使得f′(ξ2)=0。

    3)由函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)可知,f′(x)在[ξ1,ξ2]? (x1,x3)? (a,b)上連續(xù),在(ξ1,ξ2)內(nèi)可導(dǎo),且f′(ξ1)=0=f′(ξ2),則由羅爾定理知,在(x1,x3)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ使得f″(ξ)=0。

    該習(xí)題用了3次羅爾定理,結(jié)論顯然。

    3 習(xí)題1及其證明思想的啟發(fā)與挖掘

    例1 設(shè)函數(shù)f(x)在[-a,a]上連續(xù),在(-a,a)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),且,則在(-a,a)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ使得f″(ξ)=0。

    證明 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[-a,a]上連續(xù),在(-a,a)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),則:

    1)函數(shù)f(x)在[-a,0]上連續(xù),在(-a,0)內(nèi)可導(dǎo),由拉格朗日中值定理知,至少存在ξ1∈(-a,0),使得f(0)-f(-a)=f′(ξ1)[0-(-a)]=a·f′(ξ1)。

    2)同理,至少存在ξ2∈ (0,a),使得f(a)-f(0)=f′(ξ2)[a-0]=a·f′(ξ2)。

    3)又f′(x)在[ξ1,ξ2]? (-a,a)上連續(xù),在(ξ1,ξ2)內(nèi)可導(dǎo),且即2f(0)=f(-a)+f(a),也即f(0)-f(-a)=f(a)-f(0),則有a·f′(ξ1)=a·f′(ξ2),又a≠0,則有f′(ξ1)=f′(ξ2),故對(duì)于函數(shù)f′(x)由羅爾中值定理知,至少存在一點(diǎn)ξ∈ (ξ1,ξ2)? (-a,a)使得f″(ξ)=0。

    例1的證明跟習(xí)題1的證明思想類(lèi)似,例1具體用的是2次拉格朗日中值定理和1次羅爾中值定理。

    例2[3]設(shè)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上具有二階導(dǎo)數(shù),且f(a)=f(b)=0,f′(a)·f′(b)>0,則:

    1)至少存在一點(diǎn)ξ∈ (a,b)使得f(ξ)=0;

    2)至少存在一點(diǎn)η∈ (a,b),使得f″(η)=0。

    如果把例2中的結(jié)論(1)當(dāng)作已知條件,則結(jié)論(2)就是習(xí)題1的結(jié)論,所以例2的重點(diǎn)是如何把結(jié)論(1)證出。如果把結(jié)論(1)去掉,例2就相當(dāng)有難度了,因此結(jié)論(1)的挖掘非常必要。下面簡(jiǎn)單介紹結(jié)論(1)的證明。

    因?yàn)閒′(a)·f′(b)>0,不妨設(shè)f′(a)>0,f′(b)>0(f′(a)<0,f′(b)<0也可以類(lèi)似討論),又f(a)=f(b)=0,f(x)在閉區(qū)間[a,b]上具有二階導(dǎo)數(shù),則由保號(hào)性知,至少存在一點(diǎn)x1∈ (a,a+δ1),(δ1>0)使得f(x1)>f(a)=0;同理,也至少存在一點(diǎn)x2∈ (b-δ2,b)(δ2>0)使得f(x2)>f(b)=0,且x1<x2(否則矛盾),則f(x)在[x1,x2]? (a,b)上連續(xù),由零點(diǎn)定理知,至少存在一點(diǎn)ξ∈ [x1,x2]?(a,b)使得f(ξ)=0。

    例3[3]設(shè)f(x)在[0,2π]上連續(xù),在(0,2π)內(nèi)二階可導(dǎo),且f″(x)≠f(x),則在(0,2π)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ∈ (0,2π),使得

    例3更具隱蔽性,因?yàn)榻Y(jié)論看著挺復(fù)雜的,而且難以猜測(cè)與構(gòu)造。

    但若構(gòu)造函數(shù)G(x)=-sinx·f(x),顯然G(x)在[0,2π]上連續(xù),在(0,2π)內(nèi)二階可導(dǎo),且:

    若此時(shí)將題目結(jié)論改成,G(x)在(0,2π)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ∈(0,2π),使得G″(ξ)=0,即G″(ξ)=sinξ·[f(ξ)-f″(ξ)]-2cosξ·f′(ξ)= 0 再由 f″(ξ)≠ f(ξ),將 G″(ξ)= 0 的結(jié)論變一下形,tanξ =就得到證明。

    例3看似很難,但其實(shí)就是習(xí)題1的一個(gè)具體應(yīng)用而已。

    例4不僅要證在(0,π)內(nèi)有點(diǎn)ξ1,ξ2,使得f(ξ1)=f(ξ2)=0,而且還要說(shuō)明此2點(diǎn)不同。其實(shí)函數(shù)f(x)在[0,π]上連續(xù),且由積分中值定理不難證明至少存在一點(diǎn)ξ∈ (0,π),使得f(ξ)=0,但這與例4的結(jié)論相去甚遠(yuǎn),而且例4結(jié)論要強(qiáng)調(diào)至少存在2個(gè)不同的點(diǎn)。這個(gè)在習(xí)題1的證明中間環(huán)節(jié)中有體現(xiàn),所以例4比例3更復(fù)雜。

    再由積分中值定理知至少存在一點(diǎn)ξ∈ (0,π),使得F(ξ)·sinξ·π=0,而ξ∈ (0,π)時(shí)sinξ≠0,則至少存在一點(diǎn)ξ∈ (0,π)使得F(ξ)=0,所以就有F(0)=F(ξ)=F(π)=0,最后只需在[0,ξ]及[ξ,π]上分別用1次羅爾定理例4就得證了。

    例4若將已知條件加強(qiáng),補(bǔ)充f(x)在(0,π)內(nèi)可導(dǎo),最終證明至少存在一點(diǎn)η∈(0,π),使得f′(η)=0就更難了,而此時(shí)若熟諳習(xí)題1的結(jié)論就可以應(yīng)對(duì)自如了。

    例5 設(shè)f(x),g(x)在[a,b]上二階可導(dǎo),且g″(x)≠0,又f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,則:

    1)在(a,b)內(nèi)g(x)≠0;

    若構(gòu)造函數(shù)F(x)=f′(x)·g(x)-f(x)·g′(x),顯然F(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且F(a)=F(b)=0,則由羅爾定理知至少存在一點(diǎn)ξ∈ (a,b),使得F′(ξ)=0,即F′(ξ)=f″(ξ)·g(ξ)-f(ξ)·g″(ξ)=0,而若要得到結(jié)論就要移項(xiàng)兩邊分別除以g″(ξ)和g(ξ),而由已知條件知g″(ξ)≠0,所以最終就是要討論g(ξ)是否為0了,而這恰好是問(wèn)題(1)要證明的。

    可以用反證法證在(a,b)內(nèi)g(x)≠0。先假設(shè)在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)η∈ (a,b)使得g(η)=0,則對(duì)于函數(shù)g(x)而言滿足習(xí)題1的所有條件,即g(x)在[a,b]上二階可導(dǎo),且g(a)=g(η)=g(b)=0,則至少存在一點(diǎn)ζ∈(a,b)使得g″(ζ)=0,而這與已知條件矛盾,故假設(shè)不成立,因而例5的結(jié)論(1)得證。

    例5看似簡(jiǎn)單,但其細(xì)節(jié)必須討論清楚,不能想當(dāng)然,而且很有意思的是,一個(gè)看似不相關(guān)的結(jié)論,但在使用反證法時(shí)卻用到了習(xí)題1的結(jié)論,最后導(dǎo)出假設(shè)不正確。

    例6 設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且滿足則至少存在一點(diǎn)ξ∈ (0,1),使得f′(ξ)= (1-ξ-1)·f(ξ)。

    例6條件很隱蔽,結(jié)論也不容易猜測(cè),所以要從條件和結(jié)論兩頭挖掘。

    [1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系 .高等數(shù)學(xué) [M].第6版 .北京:高等教育出版社,2007:128-183.

    [2]蔡光興,李德宜 .微積分 (經(jīng)管類(lèi))[M].第2版 .北京:科學(xué)出版社,2004:84-117.

    [3]張凱凡 .高等數(shù)學(xué)習(xí)題集 [M].長(zhǎng)沙:國(guó)防科技大學(xué)出版社,2011:66-68.

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