一類分?jǐn)?shù)階差分方程邊值問(wèn)題遞增正解的存在性

葛 琦, 侯成敏

(延邊大學(xué) 理學(xué)院數(shù)學(xué)系, 吉林 延吉 133002)

0 引 言

分?jǐn)?shù)階微分方程廣泛應(yīng)用于計(jì)算生物、 藥物科學(xué)、 經(jīng)濟(jì)學(xué)、 物理學(xué)和工程學(xué)等領(lǐng)域, 目前已有許多研究結(jié)果. 如: Atici等[1-2]在發(fā)展了關(guān)于離散型分?jǐn)?shù)階微積分初值問(wèn)題的基礎(chǔ)上, 還研究了有限分?jǐn)?shù)階差分方程的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題; Goodrich[3]研究了帶有非局部條件的離散型分?jǐn)?shù)階邊值問(wèn)題解的存在性和唯一性; 文獻(xiàn)[4-8]研究了分?jǐn)?shù)階差分方程的邊值問(wèn)題(簡(jiǎn)稱FBVP). 但目前大多數(shù)研究成果主要利用Green函數(shù)的性質(zhì), 在Banach空間中運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)定理對(duì)FBVP進(jìn)行討論, 而在度量空間中利用不動(dòng)點(diǎn)定理研究FBVP的報(bào)道較少. 本文考慮如下FBVP：

其中: 2<ν≤3; 1<β<2;ν-β>1; 0<α<1;f(t+v-1,·): [ν-1,b+ν+1]Nν-1×R→R是連續(xù)函數(shù);b>3(b∈N). 本文先分析Green函數(shù)的性質(zhì), 然后在度量空間中利用不動(dòng)點(diǎn)定理, 分別建立該方程存在唯一遞增非負(fù)解的充分條件及存在唯一嚴(yán)格遞增正解的充分條件, 并結(jié)合實(shí)例說(shuō)明充分條件的合理性.

本文記

Na∶={a,a+1,a+2,…},

[a,b]Na∶={a,a+1,a+2,…,b}(b-a∈N1).

1 預(yù)備知識(shí)

定義2[3]對(duì)于ν>0, 定義函數(shù)f的ν階分?jǐn)?shù)和如下:

Na+ν.

對(duì)于N∈N, 0≤N-1<ν≤N, 定義函數(shù)f的ν階分?jǐn)?shù)差分如下:

Δνf(t)=ΔNΔν-Nf(t),t∈Na+N-ν.

引理2[3]設(shè)N∈N, 0≤N-1<ν≤N. 則

R, 1≤i≤N.

令

S={β: [0,∞)→[0,1)β(tn)→1(tn→0)}.

(3)

引理4[9]設(shè)(X,≤)是一個(gè)偏序集, 且X中存在一個(gè)度量d, 使得(X,d)是一個(gè)完備的度量空間. 設(shè)T:X→X是遞增的映射, 且存在一個(gè)x0∈X, 使得x0≤Tx0. 假設(shè)存在β∈S, 使得對(duì)于?x,y∈X, 且x≤y, 有

d(Tx,Ty)≤β(d(x,y))d(x,y).

(4)

如果下列二條件之一成立, 則T有唯一的不動(dòng)點(diǎn)：

(i)T:X→X是連續(xù)的映射；

(5)

(ii) 如果{xn}是X中遞增序列, 且在X中有xn→x(n→∞), 則對(duì)于?n∈N, 有

xn≤x,

(6)

且對(duì)于?x,y∈X, 存在z∈X, 使得z和x與z和y有序關(guān)系.

2 Green函數(shù)及其性質(zhì)

下面構(gòu)建帶有邊值條件(2)的FBVP:

-Δνu(t)=h(t+ν-1), 2<ν≤3,t∈[0,b+2]N0

(7)

的Green函數(shù)G(t,s), 其中h: [ν-1,b+ν+1]Nν-1→R是連續(xù)的.

定理1設(shè)2<ν≤3, 則FBVP(7)-(2)的唯一解是

(8)

這里

(9)

證明： 由引理2, 有

將邊值條件u(ν-3)=0代入式(10)得C3=0. 由于

則由邊值條件[Δαu(t)]t=ν-α-2=0, 得C2=0. 再由邊值條件

得

因此

由式(11)知式(8)成立.

定理2對(duì)于(t,s)∈[ν-1,b+ν+1]Nν-1×[0,b+2]N0, Green函數(shù)G(t,s)>0, 且G(t,s)關(guān)于第一個(gè)變量t嚴(yán)格遞增.

證明： 當(dāng)0≤t-ν+1≤s≤b+2時(shí), 顯然有G(t,s)>0. 由

可知G(t,s)關(guān)于t遞增, 且G(t,s)

令

由于ΔβF(t,s,β)>0, 所以F(t,s,β)關(guān)于β(1<β<2)是遞增的, 因此, 有

綜上所述, 對(duì)于(t,s)∈[ν-1,b+ν+1]Nν-1×[0,b+2]N0, 有G(t,s)>0, 且G(t,s)關(guān)于第一個(gè)變量t嚴(yán)格遞增.

注1由定理2知, 如果定理1中h(t)≥0,t∈[ν-1,b+ν+1]Nν-1, 則有解u(t)≥0,t∈[ν-1,b+ν+1]Nν-1.

由于G(t,s)關(guān)于第一個(gè)變量t嚴(yán)格遞增, 因此記

(12)

3 主要結(jié)果

由定理1知, 求FBVP(1)-(2)的解, 等價(jià)于在條件(2)下求方程

(13)

的解. 為此先定義度量空間B如下：

B={x: [ν-1,b+ν+1]Nν-1→R},

(14)

其中距離為

(15)

在B中定義偏序≤：

x≤y?x(t)≤y(t),x,y∈B,t∈[ν-1,b+ν+1]Nν-1.

(16)

顯然(B,≤)滿足式(6), 如果對(duì)于x,y∈B, 取函數(shù)z=max{x,y}∈B, 則(B,≤)滿足z和x與z和y有序關(guān)系.

為方便, 用A表示一類函數(shù)族:φ∈A,φ: [0,∞)→[0,∞), 且滿足：

1)φ是遞增的函數(shù);

2) 對(duì)于?x>0,φ(x)

3)φ(x)/x∈S, 其中S定義如式(3).

滿足上述條件的函數(shù)φ存在, 如：φ(x)=x/(1+x);φ(x)=ln(1+x).

定理3如果下列條件成立, 則FBVP(1)-(2)存在唯一遞增的非負(fù)解:

(H1)f(t,·): [ν-1,b+ν+1]Nν-1×[0,∞)→[0,∞)是非負(fù)連續(xù)函數(shù)；

(H2) 對(duì)于?t∈[ν-1,b+ν+1]Nν-1,f(t,u)關(guān)于第二個(gè)變量u遞增；

(H3) 存在0<λ≤1/L和φ∈A, 使得對(duì)于x,y∈[0,∞), 且x≤y和t∈[ν-1,b+ν+1]Nν-1, 有f(t,y)-f(t,x)≤λφ(y-x).

證明： 首先構(gòu)造B上的錐：

Π={y∈By(t)≥0,t∈[ν-1,b+ν+1]Nν-1}.

易知Π為B上的閉集, 并且Π按式(15)中的距離成為完備的度量空間, 顯然按式(16)中的偏序≤,Π滿足引理4中的條件(ii). 對(duì)于u∈Π, 定義算子T：

其中G(t,s)定義如式(9). 由定理2和條件(H1)知T是Π到Π上的算子.

下面證明引理4的條件成立. 首先算子T是遞增的, 事實(shí)上, 由條件(H2)知, 對(duì)于u2≤u1, 有

另一方面, 對(duì)于u2≤u1且u1≠u2, 由條件(H3)有

由于φ是遞增函數(shù), 所以由式(12)和條件(H3)得

因此, 對(duì)于u2≤u1且u1≠u2, 有

d(Tu1,Tu2)≤β(d(u1,u2))d(u1,u2),

(17)

其中β(x)=φ(x)/x∈S. 顯然, 當(dāng)u1=u2時(shí)式(17)也成立. 于是式(4)成立. 又由于f(t,u)和G(t,s)是非負(fù)函數(shù), 所以, 當(dāng)u=0時(shí), 有

從而引理4的條件成立. 由引理4知, FBVP(1)-(2)存在唯一的非負(fù)解u(t).

最后證明FBVP(1)-(2)的唯一非負(fù)解u(t)是遞增的. 事實(shí)上, 由于u(t)是算子T的不動(dòng)點(diǎn), 所以有

由G(t,s)的嚴(yán)格遞增性和f(t,u)的非負(fù)性知u(t)是遞增的.

下面給出FBVP(1)-(2)存在唯一嚴(yán)格遞增正解u(t)的充分條件.

定理4在定理3的假設(shè)下, 如果下列條件成立, 則FBVP(1)-(2)存在唯一嚴(yán)格遞增的正解:

(H4) 存在t0∈[ν-1,b+ν+1]Nν-1, 使得f(t0,0)≠0成立.

證明： 由定理3知, FBVP(1)-(2)存在唯一遞增的非負(fù)解, 設(shè)為x(t), 則

先證明x(t)>0,t∈[ν-1,b+ν+1]Nν-1. 事實(shí)上, 假設(shè)存在t*∈[ν-1,b+ν+1]Nν-1, 使得x(t*)=0, 則

由x(t)≥0,G(t,s)>0及條件(H1),(H2)得

G(t*,s)f(s+ν-1,0)=0,s∈[0,b+2]N0,

即f(s+ν-1,0)=0,s∈[0,b+2]N0, 這與條件(H4)矛盾, 因此x(t)>0,t∈[ν-1,b+ν+1]Nν-1.

其次, 證明x(t)是嚴(yán)格遞增的. 事實(shí)上, 設(shè)t1,t2∈[ν-1,b+ν+1]Nν-1, 且t1

由于G(t1,s)-G(t2,s)<0, 則f(s+ν-1,x(s+ν-1))=0,s∈[0,b+2]N0. 又因?yàn)?/p>

0=f(s+ν-1,x(s+ν-1))≥f(s+ν-1,0)≥0,

所以f(s+ν-1,0)=0,s∈[0,b+2]N0. 這與條件(H4)矛盾, 因此x(t1)

注2條件(H4)似乎是FBVP(1)-(2)存在唯一嚴(yán)格遞增正解的較強(qiáng)條件, 但當(dāng)FBVP(1)-(2)存在唯一非負(fù)解時(shí), 這個(gè)條件非常恰當(dāng). 事實(shí)上, 假設(shè)FBVP(1)-(2)存在唯一非負(fù)解x(t), 則對(duì)?t∈[ν-1,b+ν+1]Nν-1, 有f(t,0)=0當(dāng)且僅當(dāng)x(t)=0. 實(shí)際上, 若?t∈[ν-1,b+ν+1]Nν-1, 有f(t,0)=0, 則由式(13)知x(t)=0是FBVP(1)-(2)的唯一非負(fù)解. 反之亦然.

4 應(yīng)用實(shí)例

考慮如下FBVP：

[1] Atici F M, Eloe P W. Initial Value Problems in Discrete Fractional Calculus [J]. Proc Amer Math Soc, 2009, 137(3): 981-989.

[2] Atici F M, Eloe P W. Two-Point Boundary Value Problems for Finite Fractional Difference Equations [J]. Journal of Difference Equations and Applications, 2011, 17(4): 445-456.

[3] Goodrich C S. Existence and Uniqueness of Solutions to a Fractional Difference Equation with Nonlocal Conditions [J]. Comput & Math with Appl, 2011, 61(2): 191-202.

[4] Goodrich C S. On a Fractional Boundary Value Problem with Fractional Boundary Conditions [J]. Appl Math Lett, 2012, 25(8): 1101-1105.

[5] Goodrich C S. Solutions to a Discrete Right-Focal Fractional Boundary Value Problem [J]. Int J of Difference Equa, 2010, 5(2): 195-216.

[6] CHEN Fu-lai, LUO Xian-nan, ZHOU Yong. Existence Results for Nonlinear Fractional Difference Equation [J]. Advances in Difference Equations, 2011, 2011(1): 713201.

[7] Goodrich C S. On Discrete Sequential Fractional Boundary Value Problems [J]. J of Math Anal and Appl, 2012, 385(1): 111-124.

[8] Goodrich C S. Existence of a Positive Solution to a System of Discrete Fractional Boundary Value Problems [J]. Applied Mathematics and Computation, 2011, 217(9): 4740-4753.

[9] Cabrera I J, Harjani J, Sadarangani K B. Positive and Nondecreasing Solutions to am-Point Boundary Value Problem for Nonlinear Fractional Differential Equation [J]. Abstract and Applied Analysis, 2012, 2012: 826580.