定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用探討

梁金榮

(滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，安徽 滁州 239000)

定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用探討

梁金榮

(滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，安徽 滁州 239000)

“微元、定積分”的應(yīng)用幾乎貫穿了《普通物理學(xué)》的整個(gè)教學(xué)過程，其在物理學(xué)中有著極為廣泛而重要的應(yīng)用.利用”數(shù)學(xué)微元"的思想將變力做功、液體壓力、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等存在的物理問題做了分析、研究，建成微元定積分模型，通過舉例分析，總結(jié)解決物理學(xué)問題的“微元積分”法.

微元法；定積分；物理學(xué)應(yīng)用

0 引言

物理學(xué)中應(yīng)用定積分法去解決實(shí)際問題是非常廣泛而重要的，運(yùn)用“數(shù)學(xué)微元”的思想抽象成定積分去求解物理學(xué)相關(guān)的問題，是大學(xué)物理學(xué)教學(xué)的重難點(diǎn)，不容易被學(xué)生理解和掌握.大學(xué)物理學(xué)中，無論是質(zhì)點(diǎn)力學(xué)部分的變力做功，還是剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、液體的壓力及電磁學(xué)部分線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等等，都要用到定積分去解決問題.學(xué)生在中學(xué)階段只會(huì)運(yùn)用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)運(yùn)算去分析物理問題，可進(jìn)入大學(xué)物理學(xué)習(xí)階段后，學(xué)生如何由簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)運(yùn)算轉(zhuǎn)變到用定積分方法去解決復(fù)雜的物理問題就顯得非常重要了，也成為擺在物理教師面前的一個(gè)重要研究課題.

1 定積分在大學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用分析、研究

“微元、定積分”法是一種辨證的思想方法，它包含了有限與無限的對(duì)立統(tǒng)一，近似與精確的對(duì)立統(tǒng)一.[1]它把復(fù)雜的物理問題進(jìn)行時(shí)間、空間上的有限次分割，在有限小的范圍內(nèi)進(jìn)行近似處理，然后讓分割無限的進(jìn)行下去，局部范圍無限變小，那么近似處理也就越來越精確，從而在理論上得到精確的結(jié)果.而微元、定積分的方法就是把物理學(xué)中的復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，利用分割法分許多無窮小段，把無限個(gè)小微元之和求出來，再用定積分求結(jié)果.在《普通物理學(xué)》中一些實(shí)際問題都需要用定積分來解決.如物理學(xué)力學(xué)部分“變力沿曲線軌道做功”問題，就要考慮怎樣轉(zhuǎn)化為恒力在直線上所做功的問題，即“化曲線為直線，將變力做功轉(zhuǎn)化為恒力做功”.[2]首先設(shè)想把軌道曲線分割成許多足夠小的無窮小段，畫一簡(jiǎn)圖找出位移元dr，在位移元dr上，在無窮小段上力的大小和方向可近似看作不變.其次，把所有無窮小段所做功的微元之和，用定積分的方法再求得總功.可以說，這主要是深化學(xué)生對(duì)定積分概念、性質(zhì)的認(rèn)識(shí)并能靈活運(yùn)用這一工具去解決物理學(xué)實(shí)際問題.化整為零的“數(shù)學(xué)微元”思想不僅貫穿于整個(gè)大學(xué)物理的實(shí)際應(yīng)用，也豐富了我們處理問題的手段，拓展了我們的思維.

2 定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用例證

下面舉例說明“微元、定積分法”在物理學(xué)中的一些應(yīng)用，重點(diǎn)說明在處理物理學(xué)方面的問題可以應(yīng)用定積分來解決.

2.1變力做功

學(xué)習(xí)物理學(xué)這門公共基礎(chǔ)課程，我們知道：物體(可看作質(zhì)點(diǎn))在恒力F的作用下，沿力的方向做直線運(yùn)動(dòng)，發(fā)生了一段位移S，這時(shí)恒力對(duì)物體所做的功是A=FScosθ (θ 是力與位移之間的夾角)，但在實(shí)際問題中，物體在發(fā)生位移的過程中所受到的力常常是變化的，這就需要考慮變力做功的問題.

例1 彈簧在拉伸過程中，所需要的力與彈簧的伸長(zhǎng)量成正比，即F=kx(k是比例系數(shù)).已知當(dāng)彈簧拉長(zhǎng)0.02m時(shí)，需力20N，要使彈簧伸長(zhǎng)0.05m，求外力所做的功.

解:分析思路：(1) 由于x=0.02m時(shí),F=20N.代入F=kx,得k=1000N/m.從而彈性力為F=1000x是一個(gè)連續(xù)變力，所求的功是區(qū)間[0,0.05]上非均勻分布的整體量，所以可以用定積分來求解.

(2)利用微元法，由于彈性力F=kx是連續(xù)變化的，我們可以設(shè)想在微小區(qū)間[x,x+dx〗上彈性力F=kx保持不變，按恒力(力的大小和方向不變)做功公式A=FScosθ 得出這一小段上變力做功的近似值dA.物體沿Ox軸正方向運(yùn)動(dòng)，其位移dxgt;0，θ=0° .如圖1所示：建立坐標(biāo)系，變力使物體從微小區(qū)間的左端點(diǎn)x處移動(dòng)到右端點(diǎn)x+dx處，所做功的近似值，即功微元為：dA=F(x)dx.

(3)將微功dA從0到0.05求定積分，得F(x)在整個(gè)區(qū)間上所做的功為：

圖1

由例1我們可以看出，想把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，就要把物理學(xué)問題中出現(xiàn)變力做功問題轉(zhuǎn)化成恒力做功問題，先求出微元量即恒力在直線段上所做的微功，再利用積分的方法求和，從而求出變力在整個(gè)物理過程中所做的總功.

2.2液體的壓力

我們學(xué)習(xí)物理學(xué)知道,在液面下深度為h處的壓強(qiáng)為P=ρgh(其中ρ是液體的密度,g是重力加速度).如果有一面積為S的薄板水平地置于深度為h處,那么薄板一側(cè)所受的液體壓力計(jì)算F=PS，但在實(shí)際問題中,常常碰到計(jì)算薄板豎直地放置在液體中時(shí)，其一側(cè)所受到的壓力如何如何？由于壓強(qiáng)P隨液體的深度h變化而變化,所以薄板一側(cè)所受的液體壓力就不能簡(jiǎn)單地應(yīng)用公式F=PS=ρghS來計(jì)算了,可以考慮用定積分的“微元法”去求解.

例2 修建一道形狀是等腰梯形的閘門，它的兩條底邊各長(zhǎng)6m和4m，高為6m,較長(zhǎng)的底邊與水面平齊，要計(jì)算閘門一側(cè)所受水的壓力.[3]

圖2

⑵取近似，找出微元.在x∈[0,6]上任意取一微小區(qū)間[x,x+dx]，該區(qū)間上小曲邊平板所受的壓力可近似地看作長(zhǎng)為y,寬為dx的小矩形水平地放在距液體表面深度為x的位置上時(shí)，壓力微元為

⑶找出整量，取積分.從而求出閘門一側(cè)所受水的壓力為：

≈8.23×105N.

一般來說，液體壓力的計(jì)算公式為：

2.3轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

例3 求質(zhì)量為m、長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒對(duì)轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并與棒垂直的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量？

圖3

從以上幾個(gè)例題用定積分的微元法在解決物理學(xué)的實(shí)際問題時(shí)，我們通常按以下幾個(gè)說明步驟來進(jìn)行：

(1)根據(jù)實(shí)際問題確定積分變量，恰當(dāng)?shù)剡x取坐標(biāo)系，畫一個(gè)草圖，求出相應(yīng)的積分變化區(qū)間；

(2)根據(jù)物理學(xué)實(shí)際問題的性質(zhì)和要求構(gòu)造出積分元素，選擇好變量.如何做到在具體問題中選取的微元："如微功、微壓力、微轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等能近似處理成最簡(jiǎn)單、最基本的物理模型，有利于對(duì)實(shí)際問題的分析和計(jì)算.

(3)求出所求量的積分表達(dá)式，最后再計(jì)算出它的值.

2.4線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

我們知道，物理學(xué)為了定量描述某種物理現(xiàn)象和規(guī)律而引入每個(gè)物理量，并且這些物理量都有明確的物理意義.在物理學(xué)中出現(xiàn)的物理公式的微分形式也不能簡(jiǎn)單地從數(shù)學(xué)角度去分析掌握，最重要的是要求學(xué)生理解其物理含義，注意區(qū)分.因?yàn)樵谖锢韺W(xué)中同一個(gè)微分形式所表示的物理含義卻是不同的.現(xiàn)舉例說明如下：

例4 如圖4所示，通電長(zhǎng)直導(dǎo)線與矩形線圈共面，且線圈的一邊與長(zhǎng)直導(dǎo)線平行.當(dāng)長(zhǎng)直導(dǎo)線中通有電流I=I0sinωt時(shí)，求t=0時(shí)線圈中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì).

圖4

①

接著求得通過矩形線圈的磁通量：

②

②式中dφ表示的是一微小量，微元面ds上的磁通量.最后由法拉第電磁感應(yīng)定律分析磁通量的變化率，從而得出線圈中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小為：

③

③式中dφ表示的是一個(gè)微小變化量，微小時(shí)間段dt內(nèi)磁通量的變化.

3 結(jié)束語

本文通過借助定積分法來解決物理學(xué)中常見的棘手問題，進(jìn)而分析了怎樣應(yīng)用定積分的“數(shù)學(xué)微元”思想來解決物理學(xué)問題的新思路.定積分在大學(xué)物理學(xué)中的應(yīng)用，體現(xiàn)的不僅僅是運(yùn)用數(shù)學(xué)工具去解決中學(xué)階段難以解決的物理學(xué)問題，更重要的是幫助學(xué)生正確地從高等數(shù)學(xué)的角度去理解物理概念、規(guī)律，形成物理觀念及物理量中“數(shù)學(xué)微分”定積分形式的物理意義，進(jìn)而提高了興趣，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)信心，使物理學(xué)的教學(xué)由“無形到有形”，更加具體、靈活、深刻.

[1] 黎定國(guó),鄧玲娜,劉義保,等.大學(xué)物理中微積分思想和方法教學(xué)淺談[J].大學(xué)物理,2005(12)：52-54.

[2] 張廣龍 ,胡 浩.高等數(shù)學(xué)應(yīng)用教程[M].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社,2012:63-64.

[3] 李遒伯.物理學(xué)[M].北京：高等教育出版社,2004:113.

[4] 李 玲. 高等數(shù)學(xué)在不同學(xué)科領(lǐng)域中的應(yīng)用[J].四川文理學(xué)院學(xué)報(bào)，2011(2):149-151.

[5] 王新民,王富英.高效教學(xué)中的知識(shí)、方式與評(píng)價(jià)[J].內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報(bào),2011(6)：76-83.

[責(zé)任編輯鄧杰]

ApplicationoftheDefiniteIntegralinPhysics

LIANG JIN-rong

(Chuzhou Vocational and Technical College,Chuzhou Anhui 239000,China)

“Infinitesimal” and “the definite integral” are almost concerned of the whole process of ordinary physics teaching,which has a very extensive and important application in physics. In the article, the physical problems of “the variable force power”,“l(fā)iquid pressure”,“moment of inertia” and “induced electromotive force” are researched and built into infinitesimal model of definite integral. Then the “infinitesimal integral” method is argued to solve the physical problems by examples and analysis.

differential method;integral;physics applications

2013-03-13

梁金榮(1980—)，女，安徽靈璧人.碩士研究生，主要從事物理學(xué)研究.

G642

A

1674-5248(2013)05-0129-04