怎樣探求和圓有關(guān)的陰影部分的面積

孟凡敏

求圖形陰影部分的面積，是中考試題的重要內(nèi)容之一.這些題目除了著重考查基礎(chǔ)知識之外，還可考查同學(xué)們數(shù)學(xué)方法的掌握情況以及對數(shù)學(xué)思想的理解和應(yīng)用，以此提高同學(xué)們分析問題、解決問題的能力.現(xiàn)以2013年中考試題為例，對各類解法加以歸類說明.

一、面積公式法

例1 （2013年重慶）如圖1，是一個圓心角為90°的扇形，半徑OA=2，那么圖中陰影部分的面積為_____.（結(jié)果保留π）

解析：S扇形= = =π，S△AOB= ×2×2=2，

則S陰影=S扇形﹣S△AOB= π-2.

故答案為π-2.

溫馨提示： 本題考查了扇形面積的計算，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握扇形的面積計算公式.求圖形的面積常用到三角形面積公式、平行四邊形面積公式、梯形面積公式、圓面積公式、扇形面積公式等，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些公式.

二、作差法

例2 （2013年廣西南寧）如圖2，在邊長為2的正三角形中，將其內(nèi)切圓和三個角切圓（與角兩邊及三角形內(nèi)切圓都相切的圓）的內(nèi)部挖去，則此三角形剩下部分（陰影部分）的面積為_____.

解析：如圖2，連接OB、OD.

設(shè)小圓的圓心為P，⊙P與⊙O的切點為G.

過G作兩圓的公切線EF，交AB于E，交BC于F，

則∠BEF=∠BFE=90°-30°=60°，所以△BEF是等邊三角形.

在Rt△OBD中，OD=BD·tan30°=1× = ，OB=2OD= ，BG=OB-OG= .

由于⊙P是等邊△BEF的內(nèi)切圓，所以點P是△BEF的內(nèi)心，也是重心，

故PG= BG= .

∴S⊙O=π×（ ）2= π，S⊙P=π×（ ）2= π；

∴S陰影=S△ABC-S⊙O-3S⊙P= - π- π= - π.

故答案為 - π.

溫馨提示：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、相切兩圓的性質(zhì)以及圖形面積的計算方法，解題的關(guān)鍵是理解陰影部分的面積等于三角形ABC的面積減去四個圓的面積.當(dāng)圖形比較復(fù)雜時，可以把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為若干個熟悉的圖形面積的和或差來計算.

三、圖形變換法

例3 （2013年黑龍江大慶）如圖3，三角形ABC是邊長為1的正三角形， 與 所對的圓心角均為120°，則圖中陰影部分的面積為_____.

解析：如圖3，設(shè) 與 相交于點O，連接OA，OB，OC，線段OA將陰影的上方部分分成兩個弓形，將這兩個弓形分別按順時針及逆時針繞點O旋轉(zhuǎn)120°后，陰影部分便合并成△OBC，它的面積等于△ABC面積的 ，

∴S陰影部分= × ×12= .

故答案為 .

溫馨提示：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角.也考查了等邊三角形的面積公式： sin60°×邊長2.根據(jù)題意得出陰影部分的面積恰好為三角形ABC面積的 是解答此題的關(guān)鍵.當(dāng)所求的陰影部分的面積與拋物線、雙曲線、矩形等圖形有關(guān)時，常利用平移、旋轉(zhuǎn)或軸對稱化零為整進(jìn)行思考.

四、割補法

例4 （2013年江蘇宿遷）如圖4，AB是半圓O的直徑，且AB=8，點C為半圓上的一點.將此半圓沿BC所在的直線折疊，若圓弧BC恰好過圓心O，則圖中陰影部分的面積是_____.（結(jié)果保留π）

解析：如圖4，過點O作OD⊥BC于點D，交 于點E，連接OC，

則點E是BEC的中點，由折疊的性質(zhì)可得點O為BOC的中點，

∴OD=OE，S弓形BO=S弓形CO ，

∴S陰影=S扇形AOC .

在Rt△BOD中，OD= r=2，OB=r=4，

∴∠OBD=30°，∴∠AOC=60°，

∴S陰影=S扇形AOC= = .

故答案為 .

溫馨提示：本題考查了扇形面積的計算，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，判斷點O是BOC的中點，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積.割補法可以將不規(guī)則圖形割補成規(guī)則圖形，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為熟悉的圖形面積求解.

五、等積法

例5 （2013年湖北襄陽）如圖5，以AD為直徑的半圓O經(jīng)過Rt△ABC的斜邊AB的兩個端點，交直角邊AC于點E.B、E是半圓弧的三等分點，弧BE的長為 ，則圖中陰影部分的面積為（ ）.

A. B.

C. D. -

解析：連接BD，BE，BO，EO，如圖5.

∵B，E是半圓弧的三等分點，

∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，

∠BAC=30°，

∴ = π，解得R=2 .

∴AB=ADcos30°=2 ， BC= AB= ，AC= =3，

∴S△ABC= ×BC×AC= × ×3= .

∵△BOE和△ABE同底等高，

∴△BOE和△ABE面積相等，

∴圖中陰影部分的面積為S△ABC-S扇形BOE

= - = - .

故選D.

溫馨提示：本題主要考查了扇形的面積計算以及三角形面積的求法等知識，根據(jù)已知得出△BOE和△ABE面積相等是解題的關(guān)鍵.把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為和它面積相等的特殊圖形的面積，是求不規(guī)則圖形的面積常用的方法之一.

六、設(shè)元法

例6 （2013年山東煙臺）如圖6，正方形ABCD的邊長為4，點E在BC上，四邊形EFGB也是正方形，以B為圓心，BA長為半徑畫 ，連接AF，CF，則圖中陰影部分的面積為_____.

解析：設(shè)正方形EFGB的邊長為a，則CE=4-a，AG=4+a，

陰影部分的面積=S扇形ABC+S正方形EFGB+

S△CEF-S△AFG

= +a2+ ×a（4-a）- ×a（4+a）

=4π+a2+2a- -2a- =4π.

故答案為4π.

溫馨提示：本題考查了正方形的性質(zhì)、整式的混合運算、扇形的面積計算，引入小正方形的邊長這一中間量是解題的關(guān)鍵.只要設(shè)出小正方形的邊長，都可以表示出其他線段的長.由于點E的變化，引起陰影圖形形狀的變化，但面積是定值.所以“變”與“不變”是矛盾的統(tǒng)一，這點應(yīng)引起同學(xué)們高度的重視.