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    偽噪聲碼承載衛(wèi)星導航電文的潛行器——GNSS衛(wèi)星的運行軌道之二

    2013-11-26 05:26:10武漢大學測繪學院劉基余
    數(shù)字通信世界 2013年2期
    關(guān)鍵詞:碼元觸發(fā)器寄存器

    武漢大學測繪學院 劉基余

    20世紀40年代末期,信息論的奠基人香農(nóng)(C.E.Shannon)首先指出,白噪聲形式的信號是一種實現(xiàn)有效通信的最佳信號;但因產(chǎn)生、加工、控制和復制白噪聲的困難,香農(nóng)的設(shè)想未能實現(xiàn)。直到20世紀60年代中期,偽隨機噪聲編碼技術(shù)的問世,噪聲通信才獲得了實際的應用,并隨即擴展到了雷達和導航等技術(shù)領(lǐng)域。在GNSS衛(wèi)星導航應用中,偽隨機噪聲碼(簡稱為偽噪聲碼)是衛(wèi)星導航電文(即數(shù)據(jù)碼D(t))的承載體,兩者通過模二和加法器(以⊕示之)而成為一種擴頻碼(如圖1所示),進而對L波段載波進行數(shù)字調(diào)相,形成向廣大用戶發(fā)送的導航定位信號。本文主要論述偽噪聲碼在GNSS衛(wèi)星導航應用中的相關(guān)理論及其實用問題。

    一、偽噪聲碼的運算規(guī)則

    噪聲通信,是采用偽隨機噪聲碼(Pseudo Random Noise Code,簡稱為偽噪聲碼,也稱之為偽碼)。衛(wèi)星導航所用的偽噪聲碼,是噪聲通信的成功實踐。所謂偽噪聲碼,簡而言之,是一個具有一定周期的取值0和1的離散符號串,它具有類似于白噪聲的自相關(guān)函數(shù)。圖2表示一種極簡單的偽噪聲碼,它具有兩種表述形式:信號波形和信號序列。其中,τ0是以秒為單位的碼元寬度;TP是以秒為單位的時間周期,且知TP=LP×τ0,此處LP是長度周期,也即在一個時間周期內(nèi)的碼元數(shù)目;本例LP=7,也有用比特作為長度周期的單位(圖示為7比特的長度周期)。在二進系中,信號序列稱為二進符號序列,記作{x};信號波形叫做二進信號波形,以x(t)表示之。兩者的相應關(guān)系如表1所示。根據(jù)所研究的問題不同,選用不同形式來表述偽噪聲碼。

    圖1 擴頻碼的形成

    圖2 偽噪聲碼的表述形式

    表1 偽噪聲碼的二進表述法

    當對二進符號序列作模二和(不進位加,它以⊕表示)時;遵循下列規(guī)則:

    當對二進信號波形進行相乘運算時,依據(jù)下列規(guī)則:

    上述兩種運算方法是等效的,記作

    值得注意的是,上述運算法則只適應于二進符號序列(波形)。

    圖3 模二加法器框圖

    此處,{x}和{y}分別表示兩個序列,x(t)和y(t)則為兩個相應的波形。圖3表示模二加法器的基本構(gòu)成;它的輸入和輸出高電平均為“0”示之,它的輸入和輸出低電平均以“1”表示,用高低電平兩種工作狀態(tài),實現(xiàn)二進數(shù)字“0”和“1”的模二和運算。

    二、偽噪聲碼的產(chǎn)生

    移位寄存器,是產(chǎn)生偽噪聲碼的基礎(chǔ)電路。移位寄存器不僅具有暫時存放數(shù)據(jù)和指令的功能,而且具有移位功能。所謂“移位功能”,是寄存器中所存放的數(shù)據(jù),可以在移位脈沖的作用下,逐次向左移動或向右移動。

    移位寄存器的寄存器單元,一般采用D型觸發(fā)器(如圖4所示),其工作特點是,輸出狀態(tài)等于現(xiàn)時刻的輸入狀態(tài)。圖4中的D=1表示輸入高電位,D=0表示輸入低電位;輸入電位為工作狀態(tài)的建立創(chuàng)造條件,而建立狀態(tài)的具體時刻則由時鐘脈沖CP來決定;即,時鐘脈沖CP是用來控制工作狀態(tài)轉(zhuǎn)移的發(fā)生時刻。在時鐘脈沖CP的作用下,D型觸發(fā)器可以將它的輸入狀態(tài)轉(zhuǎn)移到輸出狀態(tài),而實現(xiàn)數(shù)據(jù)移位。

    如果將若干級(個)D型觸發(fā)器按一定方式聯(lián)接起來,便構(gòu)成一個移位寄存器,圖5是一個由4個D型觸發(fā)器構(gòu)成的四級移位寄存器。若在其輸入端輸入某一個數(shù)碼(電位狀態(tài)),當時鐘脈沖(移位脈沖)串的第一個脈沖(常叫做第一拍)來到時,該數(shù)碼便從觸發(fā)器TR1的輸入端轉(zhuǎn)移到TR1的輸出端(即觸發(fā)器TR2的輸入端);同理,在第二、三、四個時鐘脈沖的作用下,這個數(shù)碼將從觸發(fā)器TR2的輸入端依次轉(zhuǎn)移到觸發(fā)器TR3的輸入端、觸發(fā)器TR4的輸入端和輸出端,而將一個四位數(shù)碼全部移入寄存器。

    圖4 D觸發(fā)器

    圖5 四級移位寄存器框圖

    偽噪聲碼的產(chǎn)生,不能用一般的移位寄存器,而必須采用一種具有特殊反饋電路的移位寄存器,叫做最長線性移位寄存器(其反饋電路是線性的),或叫做抽頭式反饋移位寄存器(它的英文名稱為:”tapped feedback shift register’and/or’maximal-length linear shift register”),它所產(chǎn)生的偽噪聲碼也叫做m序列。圖6表示一個四級最長線性移位寄存器,或稱四級m序列發(fā)生器。它包括四個D型觸發(fā)器(D1D2D3D4)、模二和反饋電路和時鐘脈沖產(chǎn)生器;圖中的置“1”脈沖,將使m序列發(fā)生器的各個觸發(fā)器之初始狀態(tài)均為“1”,稱之為全“1”狀態(tài)。{xf}表示反饋到觸發(fā)器D4的序列,該反饋序列是觸發(fā)器D1D2輸出脈沖串的模二和。所需要的m序列{x0}是從觸發(fā)器D1輸出的。

    圖6 m序列發(fā)生器的方框圖

    m序列{x0}的產(chǎn)生過程如下述。當時鐘脈沖的第一拍(脈沖)來到時,Di的“1”狀態(tài),將轉(zhuǎn)移到Di-1(此處i=4,3,2,1)。因為D1D2兩個觸發(fā)器均處于“1”狀態(tài),它們的輸出脈沖之模二和為“0”;它被反饋到觸發(fā)器D4的輸入端(見圖6所示);故表1中狀態(tài)欄內(nèi)的第二列D4處于“0”狀態(tài)。當?shù)诙臅r鐘脈沖來到時,D4的“0”狀態(tài)被轉(zhuǎn)移到觸發(fā)器D3,致使后者從“1”狀態(tài)變成“0”狀態(tài);D1D2輸出脈沖的模二和仍為“0”,它依舊被反饋到D4的輸入端,致使D4D3D2D1的狀態(tài)分別為0011。在第三拍時鐘脈沖的作用下,D3的“0”狀態(tài)轉(zhuǎn)移到D2觸發(fā)器,D1D2輸出脈沖的模二和還為“0”,致使D4仍處在“0”狀態(tài),故知D4D3D2D1分別處在0001狀態(tài)。在第四拍時鐘脈沖的作用下,觸發(fā)器D4D3D2D1便分別處在1000狀態(tài)。如此類推,直到第十五拍時鐘脈沖來到時,移存器的各級又處在“全1”狀態(tài)(見表2)。在時鐘脈沖的作用下,周而復始地重復著上述狀態(tài)過程;因此,觸發(fā)器D1的輸出端便輸出一個長度周期為15比特的m序列:

    表2 m序列發(fā)生器的狀態(tài)表

    上述序列是用觸發(fā)器D1D2輸出脈沖的模二和構(gòu)成的反饋序列,故圖6所示的線性反饋移位寄存器的特征多項式記作

    式中,x的肩標(1,2)表示從那一級(D1D2)抽頭。

    圖7 變換輸出的序列發(fā)生器

    表3 幾種不同的輸出序列

    如果圖6的反饋電路和m序列輸出予以變化,便得如圖7所示的序列發(fā)生器。在圖7的情況下,該發(fā)生器的特征多項式為

    表3列出了圖7所示移存器的各級狀態(tài);由該表可見,圖6和7兩個發(fā)生器的反饋序列雖相同,但在圖7的發(fā)生器中,輸出序列是從觸發(fā)器D1D4引出而經(jīng)一個與門輸出的,故其輸出序列為

    如果圖7所示的發(fā)生器不是從D1D4通過與門輸出序列,而是從D2D4通過與門輸出序列,則有新的輸出序列

    圖7中的反饋序列若不是取自DE1D4,而是用D1D4,此時反饋序列和輸出序列分別為

    當用D1D4獲取反饋序列時,輸出序列不是觸發(fā)器D1D4引出,而是從D2D4引出而經(jīng)過一個與門輸出,則有

    如果取消圖7中的與門,而從D1觸發(fā)器直接輸出序列,則得到和圖6從D1觸發(fā)器直接輸出的相同序列,即一個長度周期為15比特的m序列

    圖6所示的四級m序列發(fā)生器,若僅改變它的反饋聯(lián)接方式(如圖8所示),則可得到不同結(jié)構(gòu)的m序列。比較圖6和圖8所輸出的m序列可見,兩個輸出序列具有相同的周期,但兩者的結(jié)構(gòu)不同。由此可見,m序列的結(jié)構(gòu)僅取決于m序列發(fā)生器的反饋聯(lián)接方式。不同的反饋聯(lián)接方式,產(chǎn)生不同的m序列。若用移位算符X的j次方表示從m序列發(fā)生器第j級的輸出,且以Cj=0或Cj=1表示第j級的輸出沒有連接到或連接到模二加法器,以C0=0,或C0=1表示模二加法器的輸出沒有連接到或連接到第一級輸入端;這樣,線性反饋聯(lián)接方式由下列多項式f(x)表述

    公式(4)被稱作m序列發(fā)生器的特征多項式。圖8所示m序列發(fā)生器的特征多項式為

    依據(jù)圖6和圖8所產(chǎn)生的m序列,可見其具有下列特性:

    (1)n級移位寄存器所產(chǎn)生的m序列之碼元寬度等于時鐘脈沖的周期τ0;m序列的長度周期LP=2n-1(此處n為移位寄存器的級數(shù)),時間周期TP=LP×τ0=(2n-1)τ0;圖6和圖8所產(chǎn)生的m序列之LP=(24-1)=15bits。

    (2)在m序列一個周期中,“1”的個數(shù)比“0”的個數(shù)多1,即“0”元素出現(xiàn)(2n-1-1)次,“1”元素出現(xiàn)2n-1次,而具有平衡性。

    (3)對一個周期的m序列,能夠得到一個結(jié)構(gòu)不變的另一個等價平移m序列;例如,m序列{x}=111101011001000和該序列的平移序列{xτ0}=011110101100100之模二和,得到下列等價平移m序列{x4τ0}:

    如果平移序列從原來的向前移變成向后移,則有

    從上述兩例可見,不論是向前移的平移序列,還是向后移的平移序列,它們與原序列的模二和,其結(jié)果都是一個結(jié)構(gòu)不變的等價平移m序列。

    (4)m序列具有良好的相關(guān)性。在一般情況下,若有兩個相同時間周期T的序列x1(t)和x2(t),則兩者之間的互相關(guān)系數(shù)定義為

    式中,τ是x2(t)相對于x1(t)的時間延遲。當x1(t)=x2(t)時,ρ(τ)就是自相關(guān)系數(shù);通俗地說,相關(guān)系數(shù)ρ(τ)表示序列x1(t)和x2(t)之間的“相似”程度。對于時元tK的離散采樣的自相關(guān)系數(shù)為

    圖8 變換反饋的m序列發(fā)生器

    上式中的x(tK)x(tK-τ),按前述二進信號波形乘積法則進行運算求得。對于m序列而言,它的自相關(guān)系數(shù)是

    上式中,j等于除j不為0和LP的整倍數(shù)以外的任何數(shù)。上式的圖解如圖9所示,從該圖可知,當τ從0趨近于碼元寬度τ0時,自相關(guān)系數(shù)ρ(τ)從1趨近于-1/LP;當τ從(LP-1)τ0趨近于時間周期TP時,ρ(τ)則從-1/LP趨近于1;這種變化是具有周期性的。這和隨機序列(無周期序列)的自相關(guān)系數(shù)δ(t)之形狀是相似的;僅后者的δ(t)趨近于無窮大,其余各處均為0,且不具備周期性。因此,m序列又被稱為“偽隨機序列”,它具有雙值自相關(guān)特性。

    圖9 m序列的自相關(guān)系數(shù)

    m序列的互相關(guān)系數(shù)是不同結(jié)構(gòu)m序列之間的相關(guān)系數(shù),它是這樣計算:先用模二和(或波形積)求出兩個m序列{xn}和{yn-τ}的新序列;將后者中“0”的個數(shù)(表示{xn}和{yn-τ}相一致的碼元數(shù))減去“1”的個數(shù)(表示{xn}和{yn-τ}}相異的碼元數(shù)),除以新序列的碼元總數(shù),便得到m序列的互相關(guān)系數(shù)

    例如,現(xiàn)有兩個m序列{x15}=111100010011010和{y15-τ}=111101011001000,求它們的互相關(guān)系數(shù)

    (a)當τ=0時

    在新序列中,有11個“0”,有4個“1”,故知

    (b)當τ=τ0,即{y15-τ}的首位移到最后一位時,求兩者的互相關(guān)系數(shù)

    (c)當τ=-2τ0,即{y15-t}的末兩位數(shù)次移到首兩位時,求兩者的互相關(guān)系數(shù):

    用上述計算方法不難證明,即使兩個結(jié)構(gòu)相同的m序列,如果兩者之間存在時延τ,它們的互相關(guān)系數(shù)總是小于1的;只有調(diào)整其中一個m序列,致使它們之間時延τ等于零,即兩個m序列的碼元“對齊”,此時它們的互相關(guān)系數(shù)方才等于1;這是一個極為重要的實用特性。GPS信號接收機恰好利用互相關(guān)系數(shù)為最大值的特性,捕獲、跟蹤和識別來自不同GPS衛(wèi)星的偽噪聲碼,解譯出它們所傳送的導航電文。

    (5)根據(jù)m序列的自相關(guān)系數(shù),可以求得它的功率譜為

    式中,τ0為每個碼元的持續(xù)時間;LP為m序列的長度周期。

    從上式可見,m序列和隨機序列一樣具有(sinx/x)2型的頻譜包絡(luò);但因m序列是周期性的,其頻譜不再是連續(xù)的,而是以(2π/LPτ0)為間隔的離散狀頻譜。

    三、幾種特殊偽噪聲碼

    正如前文所述,n級線性移位寄存器能夠產(chǎn)生長度周期LP=2n-1的m序列。在實際應用中,有時要求所用m序列的長度周期短于LP;有時要求所用m序列的長度周期長于甚至遠長于LP。這就是下面要論述的截短偽噪聲碼和復合偽噪聲碼。

    1.截短偽噪聲碼

    在一個長度周期為LP的m序列中,若截取它的一部分碼元組成長度周期為LP'的新序列(LP'<LP),該序列叫做m序列的截短序列,或稱截短偽噪聲碼(簡稱為截短碼)。例如,為了獲得一個長度周期LP'=11的新序列,可以從長度周期LP=15的m序列中截除一個子序列而獲得該新序列;其具體方法是,在產(chǎn)生15bits m序列的四位線性移位寄存器中,增加一個狀態(tài)檢測器(0011),使其輸出脈沖饋送到模二加法器(如圖10所示);只有當移位寄存器處于0011狀態(tài)時,狀態(tài)檢測器的輸出才為“1”,移位寄存器處于0011以外的任何狀態(tài),檢測器的輸出均為“0”。這個“0”輸出加到模二加法器后,不會導致它的輸出變化,只有狀態(tài)檢測器輸出為“1”時,才導致模二加法器的輸出由“0”變?yōu)椤?”;即,一個4級m序列發(fā)生器,附加上一個0011狀態(tài)檢測器以后,導致該m序列發(fā)生器從0011狀態(tài)躍變到1001狀態(tài)(如表4所示),這相當于在原輸出序列中“截除了”1000子序列,故從觸發(fā)器D4輸出的截短碼為

    綜上所述,截短偽噪聲碼是在一個m序列中截除一個子序列而形成的,其關(guān)鍵在于選取適宜的檢測狀態(tài)(如上例中的0011狀態(tài));在《偽噪聲編碼通信》一書(鐘義信編著,人民郵電出版社出版)中的表4~17列述了幾比特至二千余比特的檢測狀態(tài),可供使用參考。

    圖10 11bits截短碼發(fā)生器

    表4 截短序列狀態(tài)

    2.復合偽噪聲碼

    在實際應用中,往往需要長度周期很大的m序列,而采用二個或二個以上的m序列構(gòu)成復合偽噪聲碼。例如,一個長度周期為15bits的偽噪聲碼,若其碼元寬度為τ0=1×10-7s,則該偽噪聲碼的一個時間周期TP相應于長為450m的距離。當用它作距離測量時,只能單值地測得450m以內(nèi)的距離。為了單值的測得遠于甚至遠遠于450m以上的距離,一般采用增大偽噪聲碼長度周期的方法;也即用復合偽噪聲碼作測距信號。復合偽噪聲碼(簡稱為復合碼),是由二個或二個以上的周期較短的偽噪聲碼(叫做子碼)構(gòu)成的。若n個子碼的周期分別為P1,P2,…Pn,且Pi≠Pj時,由它們構(gòu)成的復合碼之周期為

    上式表明,復合碼的周期比子碼的周期要長得多。例如,由長度周期分別為11bits和15bits的兩個子碼構(gòu)成一個復合碼,其長度周期為165bits;當其碼元寬度τ0仍為1×10-7s時,該復合碼的時間周期相應距離長達4950m,它較15bits子碼增大了11倍。因此,復合碼獲得了較廣泛的應用。

    現(xiàn)以兩個子碼為例,說明如何獲得復合碼。為了節(jié)省篇幅,此處僅用兩個極簡單的子碼,即,子碼{x}=1110100和子碼{y}=110,試求由它們構(gòu)成的復合碼{z}。其方法如下述:

    (1)按式(11)求出復合碼的周期Pz,即

    (2)求出復合碼的序列{z};其方法是,將子碼{x}重復書寫3次,而子碼{y}重復書寫7次,兩者依次排列而進行模二和運算,其結(jié)果便是所需求的復合碼{z}:

    圖11和圖12分別表示21bits復合碼的波形和生成。從圖示可見,若用兩個子碼構(gòu)成一個復合碼時,可將子碼{x}重復Pz/PX次,再將子碼{y}重復PZ/PY次,然后逐一地求對應碼元的模二和,便得到復合碼

    圖11 復合碼的波形

    涉及復合碼的另一個實用問題是,從已知的復合碼及其中的一個子碼,解譯出另一子碼,稱之“解碼”;其方法是按下式求得另一個子碼:

    式中,{z}為已知的復合碼;{y}為已知的子碼;{x}為待求出的子碼。

    圖12 復合碼發(fā)生器之例

    為了驗證上式,現(xiàn)以一個最簡單的復合碼{z}=001100101011111000010及其子碼{y}=110為例,解譯出構(gòu)成該復合碼的另一個子碼{x},其方法如下

    從上可見,解碼的過程是,將已知子碼{y}重復書寫Pz/Py次,且與復合碼的碼元一一對齊,而求出它們的模二和。另一個待求子碼{x}的周期為Pz/Py,故知模二和的結(jié)果中有Py個待求子碼{x};即在上列的模二和結(jié)果中具有三個周期的子碼{x},且知{x}=1110100,這是圖11中的第一個子碼。由此可見,即使機密隱藏在某一個子碼中,也可通過“解碼”求得該子碼,進而破譯出隱藏的機密。

    3.Gold組合碼

    1967年10月,美國學者R.Gold提出了一種組合碼,并被命名為Gold碼。它是由兩個周期和速率相同而碼元結(jié)構(gòu)不同的m序列組合而成的。例如,現(xiàn)有具有相同周期LP=2n-1的兩個m序列:{X}和{Y},則由它們構(gòu)成的Gold序列為

    式中,{Yj}為向左移動了j個碼元的{Y}序列,而j=0,1,2,… (2n-2)。

    從式(14)可見,由兩個m序列{X}和{Y}以及左移j個碼元的{Yj},可以構(gòu)成({X}⊕{Y}),({X}⊕{Y1}),({X}⊕{Y2}),…({X}⊕{Y2n-1})共(2n-1)個Gold序列,連同原序列{X}和{Y},總共有(2n+1)個序列,叫做Gold序列族。

    從上可見,Gold碼具有下列特點:

    (1)Gold碼的速率和周期與構(gòu)成它的m序列相同(如式(14)所示)。

    (2)Gold碼不是m序列,它的互相關(guān)值可用Anderson導出的下述公式進行估算

    式中,LP為Gold碼的長度周期。

    (3)Gold碼的結(jié)構(gòu)簡單,調(diào)整方便,具有大量的可用碼型,適宜于碼分多址的大量用戶需求。n級移位寄存器能夠產(chǎn)生獨立的m序列數(shù)目為

    式中,ψ(2n-1)為尤拉函數(shù),其數(shù)值等于1,2,3,…2n-2數(shù)值中與(2n-1)為互素的正整數(shù)之個數(shù);例如ψ(6),在1,2,3,4,5諸數(shù)中,只有1,5兩個數(shù)與6為互素。表5列出了2~15級線性移位寄存器產(chǎn)生獨立的m序列數(shù)目。由表列數(shù)據(jù)可知,10級線性移位寄存器只能產(chǎn)生60個獨立的m序列;然而,兩個10級線性移位寄存器卻能產(chǎn)生1025個Gold碼,可供1025個用戶作碼分多址應用。因此,GPS衛(wèi)星采用了Gold碼作為易捕碼(C/A碼)。

    表5 n級線性移位寄存器產(chǎn)生的m序列數(shù)目

    圖13 C/A碼承載衛(wèi)星導航電文的形成

    四、結(jié)束語

    偽噪聲碼,是一個具有一定周期的取值0和1的離散符號串,它具有類似于白噪聲的自相關(guān)函數(shù)。偽噪聲碼是利用一種抽頭式反饋移位寄存器而產(chǎn)生的,這種移位寄存器所產(chǎn)生的偽噪聲碼也叫做m序列。在后者的基礎(chǔ)上,研發(fā)成功了Gold碼,它被GPS衛(wèi)星用作易捕碼(C/A碼);C/A碼承載衛(wèi)星導航電文形成過程如圖13所示。由圖可知,GPS衛(wèi)星向廣大用戶發(fā)送的導航信號,是經(jīng)過了兩級“調(diào)制”的調(diào)相波。這也是現(xiàn)代GNSS衛(wèi)星借鑒的導航信號形成方法,而被廣泛采用。

    綜觀GNSS衛(wèi)星導航所用,偽噪聲碼的主要用途可概括為下述三方面:一是偽噪聲碼在模二和加法器的作用下,與GNSS衛(wèi)星導航電文形成擴頻碼,進而發(fā)送給廣大用戶;二是偽噪聲碼是GNSS用戶用來測量站星距離的信號,人們常稱之為“測距碼”;三是在碼分多址(CDMA)信號體制下,偽噪聲碼是區(qū)別不同GNSS衛(wèi)星的依據(jù),用以實現(xiàn)多顆在視衛(wèi)星的有效接收和跟蹤測量。

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