淺析中考數(shù)學(xué)中的最值問(wèn)題

劉英梅

最值問(wèn)題是中考考查的一個(gè)重點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。通過(guò)研究近年的中考試題，我總結(jié)了一些解決最值問(wèn)題的方法。

一、利用“三角形任意兩邊之和大于第三邊”求最值

例：如圖1所示，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，若AE=2，求：EM+CM

的最小值。

解析：如圖，M點(diǎn)是線段AD上的任意一點(diǎn)，由等邊三角形的軸對(duì)稱性知，M點(diǎn)到點(diǎn)E、C的距離之和ME+MC=ME+MB。而M′到點(diǎn)E、C的距離之和是M′E+M′C=M′E+M′B=BE.根據(jù)三角形任意兩邊的和都大于第三邊，BE

小值。

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二、利用“弦心距最短”求最值

例：如圖2，是一條水平鋪設(shè)的直徑為2米的通水管道橫截

面，其水面寬為1.6米，則這條管道中此時(shí)水最深為多少米。

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解析：圓心與弦上的點(diǎn)的所有連線中，弦心距最短。所以，半徑AC減去最短的弦心距AO就是水的最大深度。

三、利用一次函數(shù)的增減性求最值

例：在一次函數(shù)y=2x+3中，當(dāng)0≤x≤5時(shí)，求y的最小值.

解析：根據(jù)一次函數(shù)y=kx+b的性質(zhì)，當(dāng)k值大于零時(shí)，y的值隨x值的增大而增大，這里k=2>0，所以，y的值隨x值的增大而增大，當(dāng)x取得最小值0的時(shí)候，y取得最小值3。

四、利用二次函數(shù)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)求最值

例：已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2+3x+y-3=0，求x+y的最大值。

解析：根據(jù)已知條件，y=-x2-3x+3，所以，x+y=x-x2-3x+3=-x2-2x+3。根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，在二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，二次項(xiàng)系數(shù)a小于零的時(shí)候，二次函數(shù)有最大值，最大值就是二次函數(shù)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo).在這里，a=-1<0，所以x+y的最大值為4。

五、利用二次函數(shù)的判別式法求最值

例：已知關(guān)于x的一元二次方程x2=2（1-m）x-m2的兩實(shí)數(shù)根為x1，x2.設(shè)y=x1+x2，當(dāng)y取得最小值時(shí)，求相應(yīng)m的值，并求出最小值。

解析：根據(jù)題意，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以Δ≥0，解得m≤■，又∵y=x1+x2=2（1-m），整理得m=-■+1，所以-■+1≤■，解得y≥1，所以y的最小值是1，此時(shí)，m的值是■。

總之，求最值的方法很多，如果同學(xué)們積極研究，一定會(huì)有更多更新的發(fā)現(xiàn)。

（作者單位 山東省海陽(yáng)市小紀(jì)鎮(zhèn)第一初級(jí)中學(xué)）