寒區(qū)隧道氣溫對隧道溫度場的影響分析

李鐵根

（蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

0 引言

我國已建的寒冷地區(qū)隧道很多都發(fā)生襯砌開裂、路面冒水、結(jié)冰等病害，這大大弱化了隧道的使用功能，嚴(yán)重威脅著行車安全。寒冷地區(qū)的公路、鐵路隧道和歐美日等國寒冷地區(qū)的公路、鐵路隧道的使用情況看，凍害現(xiàn)象十分嚴(yán)重，甚至出現(xiàn)因嚴(yán)重凍害而導(dǎo)致隧道主體結(jié)構(gòu)報(bào)廢和運(yùn)營期間發(fā)生重大交通安全事故。隨著我國交通事業(yè)的快速發(fā)展，在西部的高海拔和北部的高緯度寒冷地區(qū)將陸續(xù)有大量的隧道建成，與以往寒冷地區(qū)的隧道相比，這些隧道的規(guī)模會(huì)更大、技術(shù)要求更高，而氣候條件卻更加惡劣。在與一般地區(qū)相比，寒冷地區(qū)修建隧道工程，技術(shù)性問題要復(fù)雜得多，最主要的問題是寒區(qū)隧道一般要受到季節(jié)性凍融、凍脹作用影響，這種周期性的加載卸載作用將對隧道主體結(jié)構(gòu)尤其是洞口帶的結(jié)構(gòu)造成破壞，進(jìn)而影響運(yùn)營期間的安全性及結(jié)構(gòu)的壽命。

1 控制微分方程及其有限元公式

由地殼溫度場的知識可知，一般隧道均處于年恒溫帶或增溫帶中，即處于穩(wěn)定溫度場中。在隧道開挖后，由于隧道內(nèi)流動(dòng)空氣與外界交換，使得隧道外周一定范圍內(nèi)圍巖溫度受隧道環(huán)境大氣溫度的影響，由原來的恒溫帶或增溫帶（穩(wěn)定溫度場）轉(zhuǎn)換為變溫帶（非穩(wěn)定溫度場），如圖1[1]所示。

圖1 隧道圍巖溫度場示意圖

根據(jù)巖體的熱傳導(dǎo)微分方程：

由于隧道腔體的半徑較大，可以當(dāng)作平壁的導(dǎo)熱問題來考慮，溫度的分布為深度和時(shí)間的函數(shù)，即為T（z，t），那么此問題的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

隧道施工后，圍巖與外界的熱交換過程已持續(xù)了很長時(shí)間，原有的溫度分布已失去了對當(dāng)前圍巖熱過程的影響，同時(shí)，也無法準(zhǔn)確地確定圍巖初始狀態(tài)的溫度場，故在討論的問題中，初始狀態(tài)失去了它的意義。該問題屬于準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)的熱波問題，邊界條件為：

因?yàn)樗淼劳獾拇髿鉁囟仁浅手芷谛宰兓?，那么邊界條件式（2）中的襯砌表面溫度受外界氣溫影響也按周期性變化，則f（t）可以表示為傅里葉級數(shù)形式，即：

式中：t0——表面溫度變化周期；

θ0——t0期間的平均溫度；

θn、 θm——分波的振幅，

求解（5）的微分方程，可得以下解：

式（8）即為微分方程（1）在邊界條件（2）情況下的解，即隧道圍巖受隧道內(nèi)周期變化的氣溫影響時(shí)，任意點(diǎn)z在任意時(shí)刻t的溫度分布。由于該解為級數(shù)形式，實(shí)際運(yùn)用很不方便，且不易直觀地看出隧道圍巖溫度場分布的規(guī)律，因此有必要對隧道圍巖溫度分布解進(jìn)行簡化。

如果對隧道內(nèi)氣溫變化規(guī)律進(jìn)行簡化，認(rèn)為其以簡諧函數(shù)周期性變化，且假設(shè)隧道襯砌表面平均溫度與該位置洞內(nèi)氣溫近似相等，不考慮相位影響，則襯砌表面的溫度可以表示為：

式中：T0——襯砌表面的平均溫度；

A——襯砌表面的振幅；

t0——振動(dòng)的周期，可按晝夜，也可按年計(jì)算。

在式（2）～（4）的條件下，求解式（1）所示的偏微分方程，根據(jù)所討論的問題物理意義去掉不合適的解，最終求得對應(yīng)于上述邊界條件的解為：

由式（10）可知隧道圍巖的溫度場分布規(guī)律如下：

b）溫度波向z的正方向行進(jìn)，則波的前進(jìn)速度u和波長l分別由下式計(jì)算：

由式（11）可以看出，溫度波的傳播速度u正比于a的平方根，說明溫度波的傳播速度與組成圍巖的巖石或土壤的導(dǎo)溫系數(shù)a有密切關(guān)系：導(dǎo)溫系數(shù)a越大，則傳播速度越快，a越小，則傳播速度越慢。

由式（12）可以看出，溫度波的波長除與導(dǎo)溫系數(shù)有關(guān)外，還與周期的平方根成正比，長周期性的溫度變化比短周期的溫度變化影響深度要大一些。

2 工程概況及理論分析

吐庫二線中天山隧道位于托克遜、和碩間中天山東段的嶺脊地區(qū)，全長22.449km，隧道進(jìn)口標(biāo)高1 105m，隧道范圍內(nèi)地層巖性及地下水情況復(fù)雜，且為全線的控制工程。進(jìn)口端根據(jù)托克遜氣象站多年資料，年平均氣溫14.5℃，極端最高氣溫49℃，極端最低氣溫-25℃，隧道巖層主要為未風(fēng)化的大理巖。

根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到圍巖的導(dǎo)熱系數(shù)λ＝3.13（W·（m·℃）-1），圍巖密度ρ＝2900（kg·m-3），圍巖的比熱C＝1（kJ·（kg·℃）-1）。 本次只考慮裸巖中溫度的傳播情況，未考慮初期支護(hù)及二次襯砌在溫度傳播中的影響。

將溫度初始邊界條件設(shè)置如下：

a）在未考慮洞內(nèi)溫度對模型影響的條件下，將地表溫度函數(shù)設(shè)置為T＝4.5＋37sin（2×3.14／365×I），模型下邊屆溫度按照低溫梯度增溫率為3℃／100m，計(jì)算下邊界溫度為5.45℃，地表溫度函數(shù)由中天山隧道凍土圍巖的初始地溫（通過實(shí)地地溫觀測取值）擬合得到，其中I為計(jì)算天數(shù)；

b）在考慮洞內(nèi)溫度對模型影響的條件下，將地表及開挖的裸巖溫度均設(shè)置為T＝4.5＋37sin（2×3.14／365×I），下邊界溫度仍設(shè)置為5.45℃。

下面根據(jù)圍巖的導(dǎo)溫系數(shù)，計(jì)算洞身開挖后14個(gè)月后的溫度影響情況。

根據(jù)計(jì)算結(jié)果可知，以隧道幾何中心為圓心，距離開挖輪廓線22.31m范圍內(nèi)的巖體均會(huì)受到洞內(nèi)溫度的影響。

3 數(shù)值計(jì)算結(jié)果分析

在選取模型邊界時(shí)，經(jīng)驗(yàn)表明若取計(jì)算邊界為隧道等效直徑的3～5倍，則邊界誤差在10%以內(nèi)。依據(jù)以上經(jīng)驗(yàn)，本次的溫度場計(jì)算模型中，整個(gè)斷面取136.52×115.94m2，隧道頂至地面為65.022m，隧道輪廊線到模型邊界線的兩側(cè)距離為40.02m，下面距離為39.998m[1]，如圖2所示。本次的溫度場采用plane55單元進(jìn)行計(jì)算。本計(jì)算模型在計(jì)算隧道凍土圍巖溫度場時(shí)取DK141＋624處這一特征斷面，距離洞口51m。在分析中，考慮了水文地質(zhì)條件、大氣溫度和地溫隨時(shí)間變化的影響。2010年1月布置測溫?cái)嗝妫鶕?jù)所選特征斷面的施工情況，做ANSYS模擬，如圖3所示。

4 氣溫持續(xù)影響14個(gè)月溫度場（2011年3月）

軟件模擬從2010年1月至2011年3月時(shí)間段內(nèi)在忽略洞內(nèi)溫度影響與在洞內(nèi)施加氣溫兩種情況下，巖體溫度的影響范圍（見圖4）。根據(jù)模擬結(jié)果顯示，巖體的溫度影響范圍為21.74m。

圖4 氣溫持續(xù)影響14個(gè)月溫度場（2011年3月）

總結(jié)以上實(shí)測值與理論計(jì)算值的比較，溫度的總體趨勢都符合實(shí)際溫度的變化規(guī)律，但是考慮到實(shí)際量測工程中，可能存在特殊的一段時(shí)間溫度以及現(xiàn)場量測的誤差的存在，同時(shí)理論計(jì)算是沒有考慮巖體裂隙的存在以及地下水的存在，認(rèn)為圍巖是均質(zhì)各向同性介質(zhì)等，理論計(jì)算溫度的施加是根據(jù)現(xiàn)場實(shí)測的溫度擬合施加在裸巖表面，這些都會(huì)影響兩者的吻合性，但是從總體趨勢上分析，計(jì)算數(shù)據(jù)與實(shí)測數(shù)據(jù)還是能反應(yīng)基本符合關(guān)系，由此推斷，擬合數(shù)據(jù)具有一定的科學(xué)性，可以指導(dǎo)后續(xù)的繼續(xù)計(jì)算及溫度的預(yù)測。

5 結(jié)論

5.1 對于中天山隧道，理論計(jì)算影響范圍洞周22.31m，有限元計(jì)算影響范圍洞周21.74m，相差0.57m，誤差為2.55%，符合工程計(jì)算的誤差允許。

5.2 影響范圍大小的確定也可以為進(jìn)一步確定本隧道保溫層厚度提供依據(jù)。

5.3 有限元分析與理論計(jì)算的結(jié)果基本一致，可以為后續(xù)此類計(jì)算的參數(shù)選取、計(jì)算方式提供參考，進(jìn)一步將兩者合理結(jié)合，相互驗(yàn)證。

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