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      混凝土板帶平裂段曲母線沖切錐組合模型

      2013-11-20 03:38:02周朝陽賀學(xué)軍王超峰
      關(guān)鍵詞:錯(cuò)動(dòng)縱筋錐面

      任 達(dá),周朝陽,賀學(xué)軍,王超峰

      (1.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院,長沙 410075;2.廣州大學(xué) 土木工程學(xué)院,廣州 510006)

      受集中荷載作用的混凝土板常有沖切破壞之患,為合理把握其抗沖切能力,各國學(xué)者開展了大量試驗(yàn),并且引入了很多理論方法或模型,如極限平衡法、彈性理論法、塑性理論法及有限元分析法等等[1-8]。有的模型所做假定缺乏試驗(yàn)依據(jù),有的不能反映沖切發(fā)生時(shí)材料的真實(shí)狀態(tài),而數(shù)值模型則無法獲得解析解。相對(duì)而言,塑性極限分析法由于物理概念明確、數(shù)學(xué)推導(dǎo)嚴(yán)謹(jǐn)、能在一定程度上反映材料的非線性特征等特點(diǎn)較多被采用。倘若材料屈服準(zhǔn)則、破壞機(jī)構(gòu)等設(shè)取得當(dāng),塑性理論模型在符合其假定的適用范圍內(nèi)應(yīng)可得到合理解答。所設(shè)機(jī)構(gòu)按構(gòu)件破壞類型的不同大致分為錯(cuò)動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩類。前者一般用于描述普通樓板因混凝土剪壓破壞引起的沖切,后者用來描述沿沖切錐面混凝土應(yīng)力為拉的基礎(chǔ)類板斜拉破壞類型。塑性理論最初被用于分析混凝土構(gòu)件的抗剪問題,Braestrup[6]將其應(yīng)用于軸對(duì)稱板的沖切分析,他按照錯(cuò)動(dòng)機(jī)構(gòu)假設(shè),采用修正的莫爾庫侖材料破壞準(zhǔn)則,從虛功方程導(dǎo)出一個(gè)形式復(fù)雜的上限解;Jiang等[7]基于二次拋物線屈服準(zhǔn)則得到了一個(gè)形式更為簡單的解答;文獻(xiàn)[8]另按平衡條件直接推得任意拋物線屈服準(zhǔn)則上限解;分析并指出了錯(cuò)動(dòng)機(jī)構(gòu)僅適用描述沖切斜錐面剪壓區(qū)混凝土達(dá)到復(fù)合受壓極限狀態(tài)。然而,據(jù)試驗(yàn)觀測[3],沖切破壞板沿縱筋平面的混凝土常存在水平受拉劈裂的情況,這是以往的錯(cuò)動(dòng)機(jī)構(gòu)所沒有考慮的。筆者曾將回轉(zhuǎn)破壞斜錐面母線簡化為[9],起自柱邊止于縱筋水平劈裂面的斜直線(實(shí)際多為類拋物曲線),同時(shí)考慮沖切斜錐面混凝土受壓和縱筋平面內(nèi)混凝土受拉極限并存的臨界狀態(tài),建立了源于縱筋面劈裂的直母線沖切破壞斜錐面帶水平劈裂段模型,它對(duì)工程中配筋率較大,厚度較薄的板具有良好適用性,但對(duì)于更一般的情形離散性仍偏大。作為新嘗試,以下基于更符合實(shí)際的曲母線破壞斜錐面假定,提出曲母線斜錐面帶水平劈裂段(或平裂段)組合錯(cuò)動(dòng)沖切模型。

      1 沖切破壞的機(jī)構(gòu)特征與建模

      可靠度理論將破壞機(jī)構(gòu)分為串聯(lián)和并聯(lián)兩類。沖切破壞截錐面本質(zhì)上屬并聯(lián)機(jī)構(gòu),但帶有一定的串聯(lián)特征。沖切斜錐面上的剪壓區(qū)混凝土、骨料咬合、縱筋銷栓三者中,任何部分失效后都會(huì)瞬即卸荷給其它部分,這些部分則因不堪重負(fù)而在瞬間相繼破壞,使破壞錐從母體沖出。故構(gòu)建沖切模型應(yīng)將連鎖破壞起始時(shí)刻的狀態(tài)視為臨界狀態(tài);塑性分析中,錯(cuò)動(dòng)機(jī)構(gòu)假定破壞斜錐面分割的兩個(gè)剛性體部分沿豎向平移錯(cuò)動(dòng)。其破壞面上的正應(yīng)力恒不為拉[8],描述的是混凝土剪壓(非剪拉)破壞引起的沖切,本質(zhì)是剪壓區(qū)的混凝土達(dá)到復(fù)合受力極限狀態(tài),這等于認(rèn)為:試件的破壞源于剪壓區(qū)未裂混凝土部分的失效。然而,由試驗(yàn)現(xiàn)象來看,從距柱周約2h0(h0為有效板厚)的沖切破壞錐擴(kuò)底起,向外沿縱于外部剛域產(chǎn)生豎向位移;3)材料屈服準(zhǔn)則:巖土力學(xué)中對(duì)混凝土一般采用莫爾庫侖準(zhǔn)則,它是由關(guān)于σ軸對(duì)稱的兩條直線構(gòu)成,即τ=c-σtanφ,其中φ為內(nèi)摩角,c與φ相關(guān),表示粘聚力,二者均為常數(shù)。由于臨近破壞時(shí)(即臨界狀態(tài))破壞界面上的應(yīng)力分布較復(fù)雜,各點(diǎn)應(yīng)力并非處處屈服,最可能情形是,有的點(diǎn)尚未屈服,有的恰好達(dá)到極限狀態(tài),還有的則已進(jìn)入軟化階段,為更好的反映沖切面上的實(shí)際應(yīng)力分布,從莫爾-庫侖準(zhǔn)則出發(fā),不妨假定屈服包絡(luò)線可用如下單根曲線(圖2)表示。筋平面常存在水平劈裂段ae(圖1),文獻(xiàn)[3]對(duì)此做了細(xì)致的報(bào)道。由此推斷,上部縱筋平面某環(huán)向區(qū)域內(nèi),混凝土因達(dá)到極限抗拉強(qiáng)度而被水平劈裂,可能致使縱筋銷栓失效而引起連鎖破壞,破壞源并不一定是剪壓區(qū)混凝土的開裂軟化,建模必須同時(shí)考慮縱筋平面內(nèi),混凝土即將開裂而未裂時(shí)的受拉極限狀態(tài)。鑒于實(shí)際破壞斜錐面母線通常不是直線,現(xiàn)提出曲母線帶平裂段組合模型,假定如下:1)破壞面幾何構(gòu)成:沖切破壞面是由與柱邊相連的曲母線帶水平段(即圖1中oa帶ae段)以柱邊為流動(dòng)準(zhǔn)線(圖1點(diǎn)o的軌跡)回轉(zhuǎn)而成的周界面;2)運(yùn)動(dòng)特征:以此破壞面為界,將板分成沖切破壞錐和外部剛域兩部分,錯(cuò)動(dòng)發(fā)生時(shí),破壞錐沿與板面垂直方向相對(duì)

      圖1 帶水平劈裂段組合錯(cuò)動(dòng)模型

      圖2 屈服包絡(luò)線

      式中:φ為變量;c隨φ變化,稱似粘聚力[8]。

      2 沖切抗力上限解

      圖3(a)破壞面oa段上的應(yīng)力狀態(tài)隨各處對(duì)豎軸的夾角而改變,由式(1),其應(yīng)力可以等效成圖3(b)中相應(yīng)段的切向剪應(yīng)力和徑向應(yīng)力,根據(jù)構(gòu)件在豎向內(nèi)外力相互平衡這一條件,可建立平衡方程得極限破壞荷載如下:

      式中:u0為柱周長,ft′為混凝土塑性抗拉強(qiáng)度(=ftνt,νt抗拉強(qiáng)度折減系數(shù)),b為水平劈裂段寬度,x1為構(gòu)件有效厚度,y1=y(tǒng)(x1),為沖切錐面與縱筋面相交處(即點(diǎn)a)到柱邊的距離。從與屈服條件相關(guān)聯(lián)的流動(dòng)法則可知,圖3中σ、τ及似粘聚力c應(yīng)按照角度φ和圖2中屈服包絡(luò)線上各點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),即

      由式(1)知c=c(y′)=τ(y′)+σ(y′)y′,于是沖切抗力成為一個(gè)關(guān)于沖切破壞錐母線的帶終端函數(shù)的泛函。因?qū)嶋H破壞錐面一端通過柱周邊,相當(dāng)于圖中破壞錐母線左端固定于坐標(biāo)原點(diǎn),即有本質(zhì)邊界條件

      同時(shí),u0、ft′、b均為常量,原泛函最小上限解的確定實(shí)際可轉(zhuǎn)化為求解如下新目標(biāo)泛函極值問題

      式中,F(xiàn)(y,y′)=(u0+2πy)(τ+σy′)+2πbft′y′。

      對(duì)p′求一階變分并注意到δx1=0(∵右端點(diǎn)(x1,y1)僅僅在直線x=x1上可動(dòng)),可得到如下自然邊界條件:

      由不顯含x的歐拉方程F-y′Fy′=A(常數(shù)),得如下極值條件:

      圖3 破壞面上的應(yīng)力等效

      3 二次拋物線屈服準(zhǔn)則相關(guān)解

      二次拋物線屈服準(zhǔn)則方程可以表示為

      把式(10)代入式(7),并由邊界條件式(4)和式(6)求得極值錐母線方程為:

      式中r0=u0/2π,即周長為u0的柱等效半徑。當(dāng)x=x1時(shí),y1可由下式求得

      當(dāng)y1≤ya時(shí),由式(13),上式還可寫為

      4 n(n>1)次拋物線準(zhǔn)則統(tǒng)一解

      類似地,基于任意n次拋物線準(zhǔn)則,可以推得在任意非二次拋物線屈服準(zhǔn)則

      下的沖切承載力上限解為,

      顯然,對(duì)照式(14)知(即n=2情形),與n(n>1)次拋物線屈服準(zhǔn)則相關(guān)的塑性上限解可以統(tǒng)一寫成式(18)的形式,即包含二次拋物線準(zhǔn)則在內(nèi)的沖切抗力統(tǒng)一解。關(guān)于n的取值,實(shí)際應(yīng)用時(shí)可根據(jù)需要靈活選取,通過次數(shù)的變化得到不同的計(jì)算模型,為有關(guān)應(yīng)用提供多種選擇。

      5 沖切公式的實(shí)用簡化

      考察式(15),其中包含y1、b、νt等3個(gè)待定參量,其中,y1=y(tǒng)(x1)是有效板厚的函數(shù),b也與有效板厚有關(guān)[10],由此可知,p/(πr20f′t)最終可表為以(h0/r0)為“唯一”變量的函數(shù)。因此在找到更好的簡化方法之前,不妨直接以(h0/r0,p/(πr20ft))描點(diǎn)作二次擬合,考慮到縱筋平面某環(huán)域(即圖1ae段)內(nèi)的混凝土已達(dá)抗拉強(qiáng)度極限,νt反映的是單軸抗拉強(qiáng)度的折減程度,取ft′=ft,并經(jīng)可靠度分析(過程略,方法詳文獻(xiàn)[10-11]),得到實(shí)用計(jì)算式如下

      式中u0(柱周長)當(dāng)為矩形柱支承時(shí)取4 c′(c′為柱邊長)??梢?,式(20)與現(xiàn)行規(guī)范GB沖切公式形式相似,僅公式前的系數(shù)和控制截面位置有所區(qū)別,這說明規(guī)范公式所采取的形式在理論上有其合理性。將所掌握的國內(nèi)外大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論進(jìn)行比較分析,結(jié)果表明(見表1),實(shí)用公式變異系數(shù)為0.201,其離散性較直母線錐面帶平裂段組合模型(變異系數(shù)為0.250)[9]更小,并略優(yōu)于規(guī)范公式(0.202);其均值為0.940則明顯優(yōu)于規(guī)范(0.799);表2列出了可靠指標(biāo)計(jì)算結(jié)果,顯見各種情形均能滿足可靠度要求。應(yīng)予指出,上述做法是以二次拋物線準(zhǔn)則沖切模型為例的,其它任意次拋物線準(zhǔn)則亦可作類似處理。

      表1 理論值與試驗(yàn)值的比較

      表2 簡化式可靠指標(biāo)值

      6 結(jié) 論

      在直母線沖切破壞斜錐面帶水平劈裂段模型的基礎(chǔ)上加以改進(jìn),建立了帶平裂段曲母線破壞錐組合錯(cuò)動(dòng)沖切模型。

      1)回轉(zhuǎn)破壞面母線按曲線考慮,以沖切斜錐面受壓混凝土極限和縱筋面受拉混凝土同時(shí)達(dá)到臨界極限狀態(tài),基于二次拋物線屈服準(zhǔn)則,推得沖切承載力上限解。

      2)基于n次(n>2)拋物線準(zhǔn)則,推導(dǎo)得到了包含二次拋物線準(zhǔn)則在內(nèi)的沖切抗力統(tǒng)一解,通過次數(shù)的變化可得到不同計(jì)算模型,為有關(guān)應(yīng)用提供了多種選擇。

      3)以二次拋物線準(zhǔn)則沖切模型為例,通過對(duì)模型中待定參數(shù)的分析,利用統(tǒng)計(jì)方法對(duì)公式作了簡化,并經(jīng)可靠度分析得到一個(gè)新的實(shí)用公式,其形式與規(guī)范公式相近,從而為規(guī)范提供了理論支持。

      4)根據(jù)231個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù),按本文公式與規(guī)范公式,分別計(jì)算了沖切承載力值和試驗(yàn)觀測值之比:實(shí)用公式的變異系數(shù)為0.201,離散性較直母線錐面帶平裂段組合模型(0.250)更小,并略優(yōu)于規(guī)范公式(0.202),其均值為0.940則明顯優(yōu)于規(guī)范(0.799)。

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