割補法的改進(jìn)和應(yīng)用

袁 武，閻 超，楊 威

（1.中國運載火箭技術(shù)研究院 空間物理重點實驗室，北京 100076；2.北京航空航天大學(xué) 國家計算流體力學(xué)實驗室，北京 100191）

0 引 言

重疊網(wǎng)格［1］方法在初始挖洞結(jié)束后，若挖洞曲面距離物面很近或是直接將物面默認(rèn)為挖洞曲面，則可能導(dǎo)致洞邊界貼近物面，使網(wǎng)格重疊區(qū)域龐大，同時插值區(qū)流場梯度很大，影響流場求解的效率，且降低解的精度。

人們希望能將插值區(qū)從物面附近移開，以避免插值對流場計算的不利影響，因此，出現(xiàn)了一些在挖洞結(jié)束后能對洞面進(jìn)行優(yōu)化的技術(shù)，如陣面推進(jìn)技術(shù)［2］和割補法［3］等。其中，割補法建立在迭代優(yōu)化思想的基礎(chǔ)上，洞邊界點離散的做推進(jìn)運動，經(jīng)切割和填補兩個階段改善洞面的質(zhì)量，由于無需人工控制洞邊界點的推進(jìn)距離，因此自動化程度較高，是目前最有代表性的洞面優(yōu)化技術(shù)之一。

本文對傳統(tǒng)的割補法技術(shù)進(jìn)行了研究，指出其在處理復(fù)雜網(wǎng)格時可靠性較差，并針對割補法的缺陷提出了改進(jìn)的方法，通過數(shù)值算例對新方法進(jìn)行了驗證。

1 割補法簡介

割補法將挖洞結(jié)束后形成的網(wǎng)格洞邊界經(jīng)切割和填補兩步，逐漸推離物面，最終在遠(yuǎn)離物面的地方形成網(wǎng)格重疊區(qū)域。在切割階段，由洞邊界點構(gòu)成的陣面逐步遠(yuǎn)離物面向外擴張，直至再也沒有網(wǎng)格單元重疊；填補階段，洞邊界面逐步收縮，直至出現(xiàn)洞外網(wǎng)格單元（即正常點）的重疊。填補結(jié)束后，如果希望得到兩層插值邊界，以確保流場求解時的二階精度，需要將鄰近洞邊界的洞內(nèi)點轉(zhuǎn)變?yōu)椴逯迭c。

割補法在優(yōu)化過程中，洞邊界點沿網(wǎng)格線離散地作推進(jìn)運動，每次推進(jìn)的距離就是該段網(wǎng)格線的長度。當(dāng)網(wǎng)格尺度在各方向上相差較大，或網(wǎng)格形狀匹配性差時，推進(jìn)陣面在空間上參差不齊，容易有個別洞邊界點異常，即產(chǎn)生“孤點”，嚴(yán)重時能導(dǎo)致整個推進(jìn)陣面崩潰，使重疊失敗。

2 割補法的研究和改進(jìn)

2.1 縫隙問題和兩類洞內(nèi)點

在割補法的實際應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)［4］，當(dāng)物面距離很近時，填補過程容易因為少數(shù)洞邊界點找點過程的失敗而導(dǎo)致網(wǎng)格進(jìn)入物面內(nèi)。圖1是前緣襟翼網(wǎng)格重疊失敗的示例，切割結(jié)束后，主翼網(wǎng)格的洞邊界緊挨襟翼后緣，在填補過程中，洞邊界向相鄰的洞內(nèi)點收縮，在襟翼后緣A點處，洞邊界推進(jìn)物面，并迅速將襟翼內(nèi)的全部洞內(nèi)點轉(zhuǎn)換為正常點，使重疊失敗。

圖1 前緣襟翼網(wǎng)格重疊失敗示例Fig.1 Failure of the grid overset for the multi－element airfoil

有經(jīng)驗的設(shè)計人員在搭建網(wǎng)格時就會考慮如何避免狹縫重疊失敗，例如將縫隙適當(dāng)增大，或者在縫隙附近加密網(wǎng)格等。但人們更希望通過對重疊網(wǎng)格方法的改進(jìn)來解決這一問題。注意到在網(wǎng)格區(qū)域中，洞內(nèi)點可以劃分為兩類（參見圖2）Ⅰ型洞內(nèi)點是由挖洞產(chǎn)生的，落入物面內(nèi)部的點；Ⅱ型洞內(nèi)點是洞面優(yōu)化中，在洞邊界逐漸推離物面的過程中產(chǎn)生的。圖1示例重疊失敗的直接原因就是，落入襟翼內(nèi)部的Ⅰ型洞內(nèi)點在填補過程中被錯誤修改。

圖2 兩類洞內(nèi)點Fig.2 Two kinds of hole point

因此，一種十分自然的思想就是在優(yōu)化過程中對兩類洞內(nèi)點區(qū)別對待，Ⅰ型洞內(nèi)點被物面屏蔽，不在流場中，洞內(nèi)點屬性應(yīng)受“保護(hù)”不被修改；Ⅱ型洞內(nèi)點是洞面向遠(yuǎn)離物面方向擴展的結(jié)果，在填補過程中，洞面收縮，Ⅱ型洞內(nèi)點屬性是允許修改的。因此，在程序中對兩類洞內(nèi)點進(jìn)行區(qū)分，填補時，若相鄰的洞內(nèi)點為Ⅰ型洞內(nèi)點，則不修改相鄰點，洞邊界在該處停止移動。采用新方法研究前緣襟翼重疊問題，參見圖3，狹縫處挖進(jìn)物面的問題得到了解決。

2.2 孤點和雙陣面推進(jìn)

目前，二階空間離散格式在工程應(yīng)用中較為廣泛，對重疊網(wǎng)格，希望在重疊區(qū)域能建立兩層插值邊界，以滿足二階格式在重疊邊界處求解精度的要求。然而在某些情況下，這一要求并不容易滿足。一種常見的情況仍然是縫隙問題，圖4是彈身和尾舵網(wǎng)格重疊示例，切割結(jié)束后，彈身網(wǎng)格洞邊界在尾舵前緣處沿軸向向外推出了一層，就因與尾舵網(wǎng)格沿法向推出的洞邊界相遇而停止移動，因此彈身網(wǎng)格在尾舵前緣處最多只能建立一層洞邊界，導(dǎo)致局部插值精度降低。

圖3 前緣襟翼網(wǎng)格重疊示例Fig.3 Illustration of the grid overset for the multi－element airfoil

圖4 彈身和尾舵網(wǎng)格切割結(jié)束時示意Fig.4 Illustration of cutting result for the missile body and rudder configuration

另一種情況，在填補結(jié)束后建立兩層插值邊界時，第二層邊界上可能出現(xiàn)有插值點找不到有效貢獻(xiàn)單元的問題，特別是當(dāng)重疊區(qū)落在網(wǎng)格扭曲或長細(xì)比較大的區(qū)域時。圖5是二維情況的示意，由于網(wǎng)格因素使洞邊界參差不齊，但已建立的一層洞邊界，各點均能找到有效貢獻(xiàn)單元，滿足填補過程迭代終止的條件，因此是一種可能的情況。第二層插值邊界由洞邊界向洞內(nèi)點一側(cè)建立，mesh1中與洞邊界點A相鄰的洞內(nèi)點B，即默認(rèn)的第二層插值點，而B點貢獻(xiàn)單元頂點中包含對方的洞內(nèi)點C，是一個無效的插值點。文獻(xiàn)［5］稱之為孤點，一些求解器中也有針對孤點的解決方案，但流場求解精度在局部的降低是不可避免的。需要注意的是，切割階段也會產(chǎn)生孤點，文獻(xiàn)［6］給出了有效的解決措施，本文主要討論填補時的孤點問題。

圖5 二維網(wǎng)格填補階段結(jié)束后重疊區(qū)示意Fig.5 The overset area after the paste procedure for the two－dimensional grid

上述兩種情況，前者是兩物體物面距離太近，縫隙處在交叉方向上只覆蓋了一層網(wǎng)格，理論上已經(jīng)無法建立兩層插值邊界，只能通過增大縫隙或加密網(wǎng)格來改善；后者是由于洞邊界落在網(wǎng)格扭曲或網(wǎng)格差異性較大區(qū)域，割補法不能正確處理，因此是本文希望解決的一種情況。

傳統(tǒng)的割補法在優(yōu)化過程中，只有一層洞邊界“活動”，對默認(rèn)的第二層邊界即相鄰的洞內(nèi)點沒有約束，因此優(yōu)化結(jié)束時無法確保第二層邊界有效。本文提出了一種在填補階段雙陣面推進(jìn)的思想，即將與洞邊界相鄰的洞內(nèi)點作為第二層洞邊界，兩層邊界同時進(jìn)行檢查和推進(jìn)，當(dāng)兩層邊界均滿足迭代終止的條件時，填補階段結(jié)束，此時保留的兩層邊界即最終的插值邊界。

雙陣面推進(jìn)需解決的關(guān)鍵問題是當(dāng)?shù)谝粚舆吔琰c滿足要求，而第二層邊界點錯誤時，如何驅(qū)動陣面跨過第一層邊界點。方法的實現(xiàn)過程簡述如下：

1）用切割階段結(jié)束后產(chǎn)生的洞邊界點和相鄰的洞內(nèi)點構(gòu)造陣面，分別記作frg1和frg2，陣面點處于“活動”狀態(tài)；

2）尋找陣面點的網(wǎng)格貢獻(xiàn)單元，并依次進(jìn)行以下判斷：

i.若貢獻(xiàn)單元頂點不含洞內(nèi)點，該陣面點進(jìn)入非活動狀態(tài)；

ii.若貢獻(xiàn)單元任一頂點是洞內(nèi)點，則若該陣面點是frg1，標(biāo)記為正常點；若該陣面點是frg2，標(biāo)記為臨時屬性frg＿tmp。

3）檢查陣面點，進(jìn)行以下判斷：

i.若frg1與frg＿tmp相鄰，修改frg1為正常點；

ii.若frg2與正常點相鄰，修改frg2為frg1。

4）再次檢查陣面點，將frg＿tmp修改為活動的frg1；若陣面點是frg1，將相鄰的洞內(nèi)點標(biāo)記為活動的frg2。

5）重復(fù)上述步驟2至4，直到再也沒有活動的陣面點。

方法在步驟2和步驟3中，當(dāng)frg1滿足要求，而frg2是無效插值點時，將frg1修改為正常點，frg2經(jīng)frg＿tmp再修改為frg1，成功的實現(xiàn)了洞邊界的調(diào)整。

2.3 改進(jìn)的割補法

本文在傳統(tǒng)割補法的基礎(chǔ)上，引入了兩類洞內(nèi)點的概念，和雙陣面推進(jìn)的思想，提出了一種改進(jìn)的割補法，其思路參見圖6。新方法將初始挖洞產(chǎn)生的洞內(nèi)點，標(biāo)記為Ⅰ型洞內(nèi)點，并將相鄰的正常點修改為初始洞邊界。在切割過程中，保持一層洞邊界向遠(yuǎn)離物面的方向推進(jìn)，產(chǎn)生的洞內(nèi)點標(biāo)記為Ⅱ型洞內(nèi)點。填補過程中，將與第一層洞邊界相鄰的Ⅱ型洞內(nèi)點修改為第二層洞邊界，兩層邊界同時保持“活動”狀態(tài)，進(jìn)行貢獻(xiàn)單元屬性的檢查和判斷，優(yōu)化結(jié)束的條件是兩層邊界點同時滿足有效插值點的要求，此時保留的兩層邊界點即為最終的插值邊界。

圖6 改進(jìn)的割補法一維示意Fig.6 One dimensional procedure for the improved cut－paste method

填補過程中，若洞邊界點有相鄰的Ⅰ型洞內(nèi)點，認(rèn)為洞邊界在局部區(qū)域已推至物面附近，在此處應(yīng)停止推進(jìn)。有一種可能的情況是圖4所示縫隙問題，此時由于兩類洞內(nèi)點被區(qū)分，不會出現(xiàn)挖進(jìn)物面的問題，但局部可能無法建立兩層插值邊界，程序中會作一些適當(dāng)?shù)奶幚?，以確保在以局部精度損失為代價的條件下，使重疊過程得以繼續(xù)。

3 計算方法

3.1 重疊網(wǎng)格方法

本文改進(jìn)的割補法技術(shù)已在MI－GRID中得到應(yīng)用。MI－GRID是北航閻超課題組研制的重疊網(wǎng)格軟件，核心模塊采用洞映射和割補法技術(shù)，包含了孤點清除、體積優(yōu)化、物面重疊、動態(tài)重疊等方法［7－8］。該重疊網(wǎng)格軟件計算效率高、可靠性好、使用方便，先后參與了國內(nèi)多個航空航天型號研制工作，包括復(fù)雜外形飛行器、子母彈拋撒、助推級分離、折疊翼打開等項目，得到了有效考核。

3.2 數(shù)值方法

本文算例均求解雷諾平均NS控制方程，空間離散采用Roe的FDS格式，MUSCL插值方法和Van Albada限制器用于獲得二階空間離散精度；湍流模型采用SST剪切應(yīng)力輸運模型；時間離散采用穩(wěn)定性高的LU－SGS隱式計算方法。關(guān)于數(shù)值方法具體可參考文獻(xiàn)［9］。

4 算例研究

4.1 Titan IV運載火箭

本文對美國大力神四號（TitanⅣ）大型捆綁式運載火箭的超聲速繞流問題［10］進(jìn)行數(shù)值模擬研究。計算條件為：M∞＝1.6，ReL＝1.1×107，α＝0°，由于流動條件對稱，故使用半模計算。采用重疊網(wǎng)格方法分別生成芯級和助推級的計算網(wǎng)格，網(wǎng)格數(shù)目為190萬和40萬。

TitanⅣ運載火箭采用并聯(lián)式布局，芯級和助推級距離較近，是典型的狹縫重疊問題。圖7是本文方法建立的對稱面重疊網(wǎng)格和流場結(jié)果，芯級和助推級之間的縫隙得到了準(zhǔn)確描述，重疊結(jié)果正確，流場結(jié)構(gòu)清晰合理。圖8是本文方法和傳統(tǒng)割補法重疊結(jié)果的比較，顯然傳統(tǒng)割補法沒有區(qū)分兩類洞內(nèi)點，在狹縫重疊時因填補中陣面點判斷錯誤，使陣面推進(jìn)物面，導(dǎo)致重疊失敗。

圖9是火箭芯級中心線上的壓力分布與實驗值的比較，計算結(jié)果與實驗值吻合很好，說明本文改進(jìn)的方法重疊結(jié)果較好。圖9中，因為在風(fēng)洞實驗中，芯級與助推級間存在連接機構(gòu)，導(dǎo)致實驗的峰值點略高。

圖7 對稱面重疊網(wǎng)格和等馬赫線流場圖Fig.7 Illustration of the overset grid and Mach contours for the symmetry plane

圖8 不同方法重疊結(jié)果比較Fig.8 Comparison of the different overset methods

圖9 芯級中心線壓力分布Fig.9 Pressure distribution of the central stage

4.2 子母彈拋撒算例

子母彈拋撒的空氣動力學(xué)問題是一類典型的超聲速或高超聲速多體干擾、非定常復(fù)雜流動問題。采用重疊網(wǎng)格方法求解子母彈拋撒問題，已成為國內(nèi)外最常用的方法［11－12］。本文對典型外形的子母彈拋撒問題進(jìn)行了研究，母彈模型包含彈倉，子彈模型包含呈十字布局的四片尾翼。計算條件為：拋撒馬赫數(shù)3.0，拋撒高度10km，母彈迎角0°。母彈、子彈和四片尾翼分別生成計算網(wǎng)格，其中母彈網(wǎng)格數(shù)目為320萬，子彈網(wǎng)格數(shù)目為42萬，單個尾翼網(wǎng)格數(shù)目30萬。

圖10、圖11是采用本文方法建立的子母彈模型重疊網(wǎng)格示意。在彈倉附近，由于網(wǎng)格過渡需要，母彈網(wǎng)格沿徑向較密，使重疊區(qū)附近母彈網(wǎng)格各方向尺度，及母彈網(wǎng)格與子彈網(wǎng)格之間的差異較大，這對割補法一類按邏輯坐標(biāo)推進(jìn)的迭代優(yōu)化方法是不利的，但本文方法仍能正確生成重疊網(wǎng)格。圖12對子彈模型重疊結(jié)果的比較則更為直觀，傳統(tǒng)割補法產(chǎn)生的重疊區(qū)在上述不利區(qū)域容易產(chǎn)生孤點，而改進(jìn)方法在同樣情況下，在第二層邊界建立失敗時，能由第二層邊界驅(qū)動重疊陣面繼續(xù)推進(jìn)，避免了孤點的產(chǎn)生，使重疊結(jié)果較好，重疊邊界整潔。

圖10 對稱面重疊網(wǎng)格示意Fig.10 Illustration of the overset grid for the symmetry plane

圖11 截面重疊網(wǎng)格示意Fig.11 Illustration of the overset grid for the truncated plane

圖12 子彈模型不同方法重疊結(jié)果比較Fig.12 Comparison of the different overset methods for missile configuration

圖13是由數(shù)值計算獲得的對稱面和截面流場圖，圖中流場等值線在重疊區(qū)銜接較為光滑，流場結(jié)構(gòu)清晰，說明本文使用的重疊網(wǎng)格方法和CFD求解方法對子母彈拋撒流場具有較強的解算能力。

圖13 對稱面等馬赫線流場圖Fig.13 Mach contours of the symmetry plane

5 結(jié) 論

本文對割補法進(jìn)行了研究，指出傳統(tǒng)的割補法在處理縫隙、網(wǎng)格扭曲、網(wǎng)格差異性大等情況時可靠性較差，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，主要有：

（1）提出了兩類洞內(nèi)點的概念，將在物理上被屏蔽的洞內(nèi)點和切割過程中產(chǎn)生的洞內(nèi)點區(qū)分，前者在填補階段不允許修改，從根本上避免了挖進(jìn)物面的問題；

（2）針對網(wǎng)格扭曲或網(wǎng)格差異大，可能無法建立兩層有效插值邊界的問題，提出了雙陣面聯(lián)動推進(jìn)的思想，當(dāng)?shù)诙舆吔琰c不滿足要求時，能有效驅(qū)動陣面繼續(xù)推進(jìn)，避免了第二層插值邊界無法建立的問題；

（3）經(jīng)算例研究，本文針對割補法提出的改進(jìn)能有效解決狹縫重疊、網(wǎng)格扭曲等復(fù)雜網(wǎng)格情況。

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