一類三階具多偏差變元微分方程的周期解*

施呂蓉，周宗福，高 偉

(1.蕪湖職業(yè)技術學院，安徽 蕪湖241003;2.安徽大學數(shù)學科學學院，安徽合肥230000)

1 基礎知識

微分方程的周期解由于應用廣泛而被人們廣泛關注，近年來，一階和二階微分方程周期解的存在性研究已有很多結果.在三階微分方程的研究中，文獻［1］［2］研究了三階常微分方程

文獻［3］討論了三階具偏差變元微分方程

的2π－周期解的存在性.其中f(x)∈C(R)，τ(t)，p(t)均為2π－周期連續(xù)函數(shù).這里，將研究方程

的 T－周期解的存在性，其中 f(x)，gi(t，x)(i=1，2，…，n)在 R 上連續(xù)，g關于 t為 T周期的 ，p(t)及 τ1(t)，τ2(t)，…，τn(t)都是以T為周期的連續(xù)函數(shù).

引入下列記號:

易見算子方程Lx=Nx與式(1)等價.其輔助方程為

利用輔助方程(2)，容易證得以下結果:

引理1 若x(t)是式(2)的一個T－周期解，當(H1)(H3)或(H2)(H4)任一組條件成立時，

2 主要結果

定理1 若(H1)(H3)成立，并且條件(H5)(H7)或者(H6)(H7)成立，則當2(n－1)時，方程(1)至少存在一個T－周期解.

證明 記方程(2)的所有T－周期解組成的集合

?x∈Ω0，對方程(2)兩端從0到T積分，有

由引理1并結合(H5)(H7)可知

因而存在與λ無關的常數(shù)K＞K0+K1+K2，使得‖x‖＜K.

作變換 F:(Ω∩Ker L)×［0，1］→Ω∩Ker L，定義

故F(x，u)為同倫映射，取J為恒同映射，則

根據(jù)文獻［4］的結論，方程(1)至少存在一個T－周期解.同理可得(H1)(H3)(H6)(H7)成立時，定理1依然成立.證畢.

類似于定理1的證法，可以證明下列結論成立.

定理2 若(H2)(H4)成立，并且條件(H5)(H7)或者(H6)(H7)成立，則當2(n－1時，方程(1)至少存在一個T－周期解.

［1］KIGURADZE I T，PUZA B.On periodic solutions of system of differential equations with deviating arguments［J］.Nonlinear Anal TMA，2000，42:229-242

［2］MARTINSR F.The existence of periodic solutions for second order differential equation with singularities and the strong force condition［J］.Math Anal Appl，2006，317:1-13

［3］汪娜，魯世平.一類三階具偏差變元微分方程的周期解［J］.安徽師范大學學報，2006，29(1):17-22

［4］GAINESR E，MAWHIN JK.Coincidence Degree and Nonlinear Differential Equation［A］.Lecture Notes in math［C］.Berlin:Springer-Verlag，1977