δ-方法在統(tǒng)計(jì)量漸近分布中的應(yīng)用

周 小 雙

(德州學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 德州 253023)

統(tǒng)計(jì)量的分布稱抽樣分布，它在研究統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)和評(píng)價(jià)一個(gè)統(tǒng)計(jì)推斷的優(yōu)良性等方面十分重要. 近代統(tǒng)計(jì)學(xué)的創(chuàng)始人之一，英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家Fisher R A 曾把抽樣分布、參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)列為統(tǒng)計(jì)推斷的3個(gè)中心內(nèi)容. 因此尋求抽樣分布的理論與方法十分重要. 而一些統(tǒng)計(jì)量的精確分布我們無從得知，因此尋求統(tǒng)計(jì)量的漸近分布成了概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)內(nèi)容中的重要內(nèi)容. δ -方法是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中一個(gè)極其重要的結(jié)論，將δ -方法與其他結(jié)論有效的結(jié)合可以簡(jiǎn)化一些統(tǒng)計(jì)量漸近分布的求解與證明. 本文主要通過實(shí)例強(qiáng)調(diào)說明了δ -方法在統(tǒng)計(jì)量漸近分布中的重要應(yīng)用.

1 主要引理

引理1[1]38-39(Slutsky 引理)設(shè)和{Yn}是兩個(gè)隨機(jī)變量序列，若( c為常數(shù))，則有：特別地，若則有(去0 律)；若，則有(去1 律).

引理2[1]36(中心極限定理)設(shè)隨機(jī)樣本 X1, X2, … ,Xn獨(dú)立同分布，且 EXi= μ，為樣本均值，則有

引理3[2]205-206(辛欽大數(shù)定律) 設(shè) X1, X2,… 是一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且數(shù)學(xué)期望存在： EXi= a ，i= 1,2,…則有

引理4[1]38設(shè){ Xn}是隨機(jī)變量序列， c 為常數(shù)，則

引理5[1]41(連續(xù)映射定理)設(shè)為一隨機(jī)變量序列，且( c 為常數(shù))，又函數(shù)g (·) 在點(diǎn) c 處連續(xù)，則

2 δ -方法的證明

定理1 (δ -方法) 當(dāng) n →∞ 時(shí)，設(shè)數(shù)列 an→∞ ，隨機(jī)變量序列函數(shù) f ( x )在x =b處存在二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有：

3) 若 f ′( b) = 0,f ′( b) ≠0，則

證明 主要應(yīng)用Slutsky 引理. 當(dāng)n →∞時(shí):

3) 對(duì)βn進(jìn)行二階Taylor 展開可得

3 實(shí)例分析

例1 設(shè)X1, X2, …,Xn是來自兩點(diǎn)分布 b(1,θ )的隨機(jī)樣本，其中求樣本均值的函數(shù)的漸近分布.

在δ - 方法中取 f ( x )= x(1 - x)，則 f ′ ( x) = 1- 2x 在 (0,1)上連續(xù)，取顯然 an→∞，則由δ-方法可知

例2 設(shè)X1, X2, … ,Xn是來自兩點(diǎn)分布 b(1,θ )的隨機(jī)樣本，其中0 ＜ θ＜ 1，證明具有漸近正態(tài)分布，并且其方差與參數(shù)無關(guān).

證明 易知 EXi= θ，Var ( Xi)= θ( 1 -θ )，故由中心極限定理可知

例3 (樣本標(biāo)準(zhǔn)差的漸近分布) 設(shè)X1, X2, … ,Xn為獨(dú)立同分布的樣本， E ( Xi)= μ， 0 ＜ Var ( Xi)= σ2＜∞，且v4= E ( Xi- μ)4＜∞ ，i = 1, … ,n，求的漸近分布，其中 γ2= v4- σ4.

例4 設(shè)X1, X2, … , Xn為獨(dú)立同分布的樣本， E ( Xi)= μ， Var ( Xi)= σ2＜∞，設(shè)函數(shù) h (t )的二階導(dǎo)數(shù)h ′ (t )在t = μ處連續(xù)，且 h′ ( μ )= 0.

2) δ -方法中取 f ( x ) = x( 1 - x)，則 f ′( x) = 1 - 2x ， f ′ ( x) =-2 ,有因而有且而其中

[1]茆詩(shī)松,王靜龍,濮曉龍.高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京:高等教育出版社,2006.

[2]魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京:高等教育出版社,2003.