具有階段結(jié)構(gòu)、時(shí)滯和接種的幼年染病單種群模型的穩(wěn)定性

王 烈，陳斯養(yǎng)

（陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 西安710062）

文獻(xiàn)［1－2］研究了具有階段結(jié)構(gòu)的單種群模型，作者假設(shè)種群從幼年到成年的平均成熟期為一個(gè)常數(shù)，在模型中將其用一個(gè)時(shí)滯來(lái)表示．疾病的傳播主要依賴于疾病本身的特性．例如麻疹、腮腺炎、水痘、猩紅熱、白喉等疾病主要在幼年人群中傳播，而淋病、梅毒等傳染病只在成年人群中傳播，因此將階段結(jié)構(gòu)引入到傳染病模型中能夠更好地反映實(shí)際情況．文獻(xiàn)［3－10］研究了具有階段結(jié)構(gòu)的傳染病模型，得到平衡點(diǎn)穩(wěn)定的充分條件及平衡點(diǎn)處發(fā)生Hopf分支等動(dòng)力學(xué)行為．文獻(xiàn)［1－7］中用rx2（t－τ）exp（－d1τ）表示在t－τ時(shí)刻出生的幼年并且存活到時(shí)刻t的密度；而文獻(xiàn)［8－10］用rx2（t－τ）表示在t－τ時(shí)刻出生的幼年并且存活到時(shí)刻t的密度．為更好地控制疾病，近年來(lái)的研究表明接種疫苗是預(yù)防和控制疾病傳播的主要措施，文獻(xiàn)［11－13］討論了帶有接種的傳染病模型．

基于以上研究結(jié)果，本文主要研究具有階段結(jié)構(gòu)、時(shí)滯和接種的幼年染病單種群模型：

其中x1（t）、I（t）和W（t）分別表示易感染幼年、染病幼年和直接通過(guò)接種而產(chǎn)生暫時(shí)免疫能力的接種者的種群密度，x2（t）表示成年種群的密度．流行病只在幼年種群中傳播，而成年種群不會(huì)染?。畢?shù)r、d1、α、ρ、μ、ε、d2、β、δ、τ均為正常數(shù)，它們的生物意義可以參看文獻(xiàn)［3－13］．

1 平衡點(diǎn)的存在性

通過(guò)計(jì)算，得到系統(tǒng)（1）以下平衡點(diǎn)：

（ⅰ）當(dāng)R1＞1、R2＞1時(shí)，存在地方病平衡點(diǎn)（正平衡點(diǎn)）P1（x＊1，x＊2，V＊，I＊），其中

I＊是方程f（I）－g（I）＝0的唯一正根，其中

下面證明地方病平衡點(diǎn)的存在性和唯一性．正平衡點(diǎn)P1（x＊1，x＊2，V＊，I＊）滿足代數(shù)方程組

由方程組（4）的第2、3、4個(gè)方程，易得

將它們代入到第1個(gè)方程，可得

對(duì)函數(shù)f（I）求導(dǎo)，可得

通過(guò)計(jì)算可知，當(dāng)I＜I0時(shí)，函數(shù)f′（I）＞0，即當(dāng)I＜I0時(shí)函數(shù)f（I）是單調(diào)遞增的；當(dāng)I＞I0時(shí)，函數(shù)f′（I）＜0，即當(dāng)I＞I0時(shí)函數(shù)f（I）是單調(diào)遞減的．函數(shù)g（I）在區(qū)間（0，＋∞）上是單調(diào)遞增的．

記τ0＝ln（2）／d1，下面以τ＞τ0和τ＜τ0分別進(jìn)行討論：

a）當(dāng)τ＞τ0時(shí)，2－exp（d1τ）＜0，有I0＜0，則函數(shù)f（I）在區(qū)間（0，＋∞）上是單調(diào)遞減的．當(dāng)R1＞1，R2＞1時(shí)，f（0）＞g（0）＞0，所以方程（5）一定存在唯一正根I＊．

b）當(dāng)τ＜τ0時(shí)，2－exp（d1τ）＞0，對(duì)于r∈（0，d2exp（d1τ）／（2－exp（d1τ））），I0＜0，參照在a）中的討論可知方程（5）一定存在唯一正根I＊；對(duì)于r∈ （d2exp（d1τ）／（2－exp（d1τ）），＋ ∞），I0＞0，則函數(shù)f（I）在區(qū)間（0，I0）上是單調(diào)遞增的，在區(qū)間（I0，＋∞）上是單調(diào)遞減的．當(dāng)R1＞1、R2＞1時(shí)，f（0）＞g（0）＞0，所以方程（5）一定存在唯一正根I＊．

對(duì)應(yīng)地可以求出

（ⅱ）當(dāng)R1＞1、R2＜1或R1＞1、R2＜1、R3＜1時(shí)，存在無(wú)病平衡點(diǎn)（邊界平衡點(diǎn)）P2（x1，x2，V，0），其中

下面以τ＞τ0和τ＜τ0分別進(jìn)行討論：

a）當(dāng)τ＞τ0時(shí)，2－exp（d1τ）＜0，有I0＜0，則函數(shù)f（I）在區(qū)間（0，＋∞）上是單調(diào)遞減的．當(dāng)R1＞1，R2＜1時(shí)，g（0）＞f（0）＞0，所以方程（5）無(wú)實(shí)根．

b）當(dāng)τ＜τ0時(shí)，2－exp（d1τ）＞0時(shí)，對(duì)于r∈（0，d2exp（d1τ）／（2－exp（d1τ））），I0＜0，參照在a）中的討論可知方程（5）無(wú)實(shí)根．

c）當(dāng)τ＜τ0時(shí)，2－exp（d1τ）＞0時(shí)，對(duì)于r∈（d2exp（d1τ）／（2－exp（d1τ）），＋ ∞），I0＞0，則函數(shù)f（I）在區(qū)間（0，I0）上是單調(diào)遞增的，在區(qū)間（I0，＋∞）上是單調(diào)遞減的．當(dāng)R1＞1，R2＜1，R3＜1時(shí)，g（0）＞f（0）＞0，g（I0）＞f（I0）＞0，所以方程（5）無(wú)實(shí)根．

綜上所述，可知當(dāng)R1＞1、R2＜1或R1＞1、R2＜1、R3＜1時(shí)，存在無(wú)病平衡點(diǎn)（邊界平衡點(diǎn)）．將系統(tǒng)（1）中的4個(gè)方程相加，可得

則通過(guò)計(jì)算可知

通過(guò)以上討論，可得以下引理：

引理1 集合Ω是系統(tǒng)（1）的正不變集．

以下僅在集合Ω上討論系統(tǒng)（1）的動(dòng)力學(xué)行為．

2 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

通過(guò)計(jì)算可知，系統(tǒng)（1）線性近似系統(tǒng)的特征根出現(xiàn)等于零的情況，因此下面通過(guò)構(gòu)造Liapunov函數(shù)的辦法討論系統(tǒng)（1）平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性．

定理1 當(dāng)R1＞1、R2＜1或R1＞1、R2＜1、R3＜1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的．

證明 當(dāng)R1＞1、R2＜1或R1＞1、R2＜1、R3＜1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)P2存在．當(dāng)R2＜1時(shí)，可知x1＜x＊1．定義集合Ω1＝ ｛（x1，x2，W，I）｜（x1，x2，W，I）∈

下面在區(qū)域Ω1內(nèi)討論系統(tǒng)（1）的穩(wěn)定性．因?yàn)楫?dāng)x1＜x＊1時(shí)，從系統(tǒng)（1）的第4個(gè)等式可知：I＝I（t）在Ω1區(qū)域上是單調(diào)遞減的且t→＋∞時(shí)I→0．根據(jù)極限系統(tǒng)理論，系統(tǒng)（1）的動(dòng)力學(xué)性態(tài)等價(jià)于系統(tǒng)

當(dāng)R1＞1時(shí)，系統(tǒng)（10）存在唯一平衡點(diǎn)P1（x1，x2，V），其中

則系統(tǒng)又等價(jià)于

定義Liapunov函數(shù)

其中m、n、p均為正數(shù)．

對(duì)V1沿系統(tǒng)（11）求右上導(dǎo)數(shù)，可得

對(duì)（14）式在區(qū)間［0，t］上積分，變形可得

根據(jù)文獻(xiàn)［14］的方法，可知平衡點(diǎn)P1是全局漸近穩(wěn)定的．

由R1＞1、R2＜1可推出r∈ （r0，r1）；由R1＞1、R3＜1可知存在實(shí)數(shù)r2＞0，r∈ （r0，r2）．

由定理1可得如下推論：

推論1 若τ0＜τ，則當(dāng)r0＜r＜r1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)P2是全局漸近穩(wěn)定的．

推論2 若τ0＞τ，則當(dāng)r0＜r＜r2＜r1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)P2是全局漸近穩(wěn)定的．

推論1和推論2說(shuō)明，在一定的接種率下，且整個(gè)種群的生育率位于某一區(qū)間時(shí)，疾病將趨于滅絕，而且生育率的區(qū)間長(zhǎng)度隨接種率的提高而隨之?dāng)U大，隨時(shí)滯的增加而隨之縮?。?/p>

定理2 當(dāng)R1＞1、R2＞1時(shí)，正平衡點(diǎn)P1是全局漸近穩(wěn)定的．

證明 由前面分析可知，當(dāng)R1＞1、R2＞1時(shí)，平衡點(diǎn)P1存在．對(duì)系統(tǒng)（1）進(jìn)行變形，可得

定義Liapunov函數(shù)為

其中m、n、q、p均為正數(shù)．

對(duì)V2沿系統(tǒng)（16）求右上導(dǎo)數(shù)，可得

對(duì)（19）式在區(qū)間［0，t］上積分，變形可得

根據(jù)文獻(xiàn)［14］的方法，可知平衡點(diǎn)P1是全局漸近穩(wěn)定的．

由前面分析并結(jié)合定理2可得如下推論：

推論3 當(dāng)r＞r1，正平衡點(diǎn)P1是全局漸近穩(wěn)定的．

推論3說(shuō)明，在一定的接種率下，且種群的生育率高于某一閾值時(shí)，正平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定，疾病將成為地方?。?/p>

3 結(jié)語(yǔ)

本文提出一類具有階段結(jié)構(gòu)、時(shí)滯和接種的幼年染病單種群模型，研究了存在正平衡點(diǎn)和無(wú)病平衡點(diǎn)的充分條件，證明了正平衡點(diǎn)的唯一性．由于該單種群線性近似系統(tǒng)的特征根出現(xiàn)等于零的情況，所以通過(guò)構(gòu)造Liapunov函數(shù)的辦法討論單種群系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，得到了正平衡點(diǎn)和無(wú)病平衡點(diǎn)保持全局漸近穩(wěn)定的充分條件．通過(guò)討論可知，在一定的接種率下，且整個(gè)種群的生育率位于某一區(qū)間時(shí)，疾病最終將趨于滅絕，而且生育率的區(qū)間長(zhǎng)度隨著接種率的提高而隨之?dāng)U大；隨著時(shí)滯的增加而隨之縮小．當(dāng)種群的生育率高于某一閾值時(shí)，正平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定，疾病將最終成為地方?。Y(jié)果表明時(shí)滯和接種因素在模型中有著非常重要的地位．

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