特征向量矩陣條件數(shù)對狀態(tài)反饋控制的重要影響

任國清，鮑 偉,2

（1.安徽江淮汽車集團(tuán)有限公司 博士后科研工作站，安徽，合肥 230601；2.合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程 博士后科研流動站，安徽，合肥 230009）

現(xiàn)有的用狀態(tài)反饋控制配置特征值的文獻(xiàn)很多[4-14]，但除了文獻(xiàn)[4]、[7]和[8]以外，都沒有提到特征向量的配置。其中文獻(xiàn)[4]利用狀態(tài)反饋控制中特征向量的配置存在自由度，以特征向量矩陣的條件數(shù)為適應(yīng)度函數(shù)，采用粒子群算法進(jìn)行優(yōu)化，同時對粒子群算法進(jìn)行改進(jìn)，從而獲得較小的特征向量矩陣的條件數(shù)。文獻(xiàn)[7]提出了按照單秩和雙秩的方法對特征向量進(jìn)行配置。文獻(xiàn)[8]提出將特征值和特征向量配置成解耦的方法。

本文將進(jìn)一步從線性連續(xù)定常系統(tǒng)的響應(yīng)和反饋控制矩陣Frobenius范數(shù)兩方面入手，深入分析特征向量矩陣的條件數(shù)對狀態(tài)反饋控制的重要影響。

1 預(yù)備知識

2 特征向量矩陣條件數(shù)對狀態(tài)反饋控制的重要影響

2.1 特征向量矩陣的條件數(shù)與零輸入響應(yīng)的關(guān)系

定理1[16]：在線性連續(xù)定常系統(tǒng)初始狀態(tài)和特征值已經(jīng)確定的情況下，系統(tǒng)特征向量矩陣的條件數(shù)決定系統(tǒng)變量零輸入響應(yīng)的上限。

證明：考慮線性連續(xù)定常系統(tǒng)狀態(tài)變量的零輸入響應(yīng)的表達(dá)式

式(5)兩邊取范數(shù)可得

所以

由式(9)可知，在初始狀態(tài)和特征值已經(jīng)確定的情況下，系統(tǒng)的特征向量矩陣的條件數(shù)決定系統(tǒng)變量零輸入響應(yīng)的上限，證畢。

2.2 特征向量矩陣的條件數(shù)與狀態(tài)反饋矩陣Frobenius范數(shù)的關(guān)系

定理2：在線性連續(xù)定常系統(tǒng)特征值已經(jīng)確定的情況下，系統(tǒng)特征向量矩陣的條件數(shù)決定反饋矩陣Frobenius范數(shù)的上限。

證明：用狀態(tài)反饋控制配置特征值和特征向量的問題可以表述為

式中，K為反饋控制矩陣。

對系統(tǒng)矩陣（A，B）進(jìn)行Householder變換，可得到系統(tǒng)的能控海森堡型矩陣[5]：

則根據(jù)式（11）和（12）整理可得

式（13）兩邊同取Frobenius范數(shù)，有

由此可見，在線性連續(xù)定常系統(tǒng)的特征值已經(jīng)確定的情況下，反饋矩陣K的Frobenius范數(shù)的上限由特征向量矩陣的條件數(shù)決定，證畢。

2.3 兩條定理的意義及說明

文獻(xiàn)[5]指出，線性連續(xù)定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是該系統(tǒng)對于任何初始狀態(tài)x(0)的零輸入響應(yīng)eAtx(0)趨向于0。系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)值之前的暫態(tài)過程越平穩(wěn)，系統(tǒng)的性能越好。所以結(jié)合定理1可知，特征向量矩陣條件數(shù)越小的系統(tǒng)，就越容易把系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)控制在一個較小的范圍內(nèi)，其暫態(tài)過程必然就越平穩(wěn)，系統(tǒng)的性能也就越好。

同時文獻(xiàn)[5]指出，反饋矩陣K的Frobenius范數(shù)越小，系統(tǒng)的穩(wěn)定性就越強(qiáng)，系統(tǒng)發(fā)生故障的可能性也就越小。所以結(jié)合定理2可知，特征向量矩陣條件數(shù)越小的系統(tǒng)，就越容易把反饋矩陣K的Frobenius范數(shù)控制在一個較小的范圍內(nèi)。

值得注意的是，根據(jù)上述兩條定理，特征向量矩陣的條件數(shù)只規(guī)定了系統(tǒng)零輸入響應(yīng)和反饋矩陣范數(shù)的上限。因此即使特征向量矩陣的條件數(shù)比較大，仍可能存在較小的系統(tǒng)零輸入響應(yīng)和反饋矩陣的范數(shù)。但是這并不意味著上述兩條定理及推論沒有實(shí)際意義。因?yàn)槿绻軌颢@得條件數(shù)較小的特征向量矩陣，就能夠很容易地把系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和反饋矩陣的范數(shù)控制在一個較小的范圍內(nèi)，從而降低控制的難度，獲得較高的性能。同時目前沒有任何算法可以保證在特征向量矩陣的條件數(shù)較大的情況下仍能獲得較小的系統(tǒng)零輸入響應(yīng)和反饋矩陣的范數(shù)。

綜上所述，基于定理1和定理2的結(jié)論，本文提出以減小特征向量矩陣的條件數(shù)為目的來設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋矩陣。同時文獻(xiàn)[4]、[7]和[8]也給出了降低特征向量矩陣條件數(shù)切實(shí)可行的方法。

3 仿真實(shí)例及分析

3.1 仿真實(shí)例

本文給出一個示例性的仿真實(shí)例，該仿真實(shí)例的思想和算法可以推廣到具有線性連續(xù)定常系統(tǒng)特性的汽車控制系統(tǒng)中，僅僅是數(shù)值和系統(tǒng)維數(shù)的差異。已知線性連續(xù)定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為

式中，

3.2 基于粒子群的特征向量的配置

為了能夠得到不同的特征向量配置結(jié)果進(jìn)行對比分析，采用基于粒子群的算法[4,17]對特征向量進(jìn)行配置。通過設(shè)置不同的迭代次數(shù)，就能得到條件數(shù)大小不同的特征向量矩陣，從而得到不同的狀態(tài)反饋矩陣。文獻(xiàn)[5]指出，對于下式

描述的特征值和特征向量的配置，可以表述為

或

將所有的線性組合系數(shù)組合成下式

并帶入到式（18）中，則最終的特征向量矩陣V 和反饋增益矩陣K 為

粒子群特征向量配置算法步驟如下[4,17]。

步驟2：初始化粒子群，隨機(jī)生成N個粒子，粒子的結(jié)構(gòu)由式(19)所決定，每個粒子的維數(shù)為n×p維。選取粒子的位置和速度為[-1,1]上的隨機(jī)數(shù)。考慮到自由度可以是實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的任何值，所以不限制粒子的位置和速度。

步驟3：按照式（22）和式（23）對粒子的速度和位置進(jìn)行更新，從而產(chǎn)生N個新粒子。

步驟4：確定粒子xi目前搜索到的最優(yōu)解Pid和整個粒子群目前搜索到的最優(yōu)解Pgd。若達(dá)到迭代次數(shù)則跳轉(zhuǎn)到步驟4，否則按照步驟3繼續(xù)更新。

步驟5：將最終的最優(yōu)解Pgd對應(yīng)的粒子位置cgd帶入式（18）～（21），計(jì)算特征向量矩陣V和反饋增益矩陣K。

通過設(shè)置不同的迭代次數(shù)，就能得到條件數(shù)大小不同的特征向量矩陣，從而得到不同的狀態(tài)反饋矩陣。為了便于比較，本文給出3種不同的配置結(jié)果，每種結(jié)果都能將反饋系統(tǒng)的極點(diǎn)配置到期望的極點(diǎn)上，但各配置結(jié)果的特征向量矩陣和反饋控制矩陣是不同的，因此特征向量矩陣的條件數(shù)也不同。

?

3.3 仿真及分析

3.3.1 零輸入響應(yīng)的仿真及分析

從圖中可以看出，由于V1的條件數(shù)較小，因此容易得到較為平穩(wěn)的系統(tǒng)狀態(tài)變量的零輸入響應(yīng)。而V2和V3的條件數(shù)較大，且不能保證獲得平穩(wěn)的零輸入響應(yīng)。如圖2和圖3所示，特征向量矩陣條件數(shù)越大的系統(tǒng)，其零輸入響應(yīng)的峰值越大，暫態(tài)過程越不平順。

3.3.2 控制系統(tǒng)抗參數(shù)攝動的仿真及分析

以改變控制輸入矩陣B的值作為控制系統(tǒng)參數(shù)攝動的一種方式，來觀察3種系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性。對于K1所對應(yīng)的反饋系統(tǒng)，讓矩陣B中的每個元素依次減少5%、10%和18%，即B變?yōu)?.95B、0.9B、和0.82B。圖4～7是K1所對應(yīng)的反饋控制系統(tǒng)狀態(tài)變量的單位階躍響應(yīng)曲線。

再對K2和K3所對應(yīng)的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)進(jìn)行類似的仿真，其狀態(tài)變量的單位階躍響應(yīng)分別如圖8、圖9和圖10、圖11所示。

綜上所述，由于V1的條件數(shù)比較小，所以很容易將系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和狀態(tài)反饋矩陣K1的Frobenius范數(shù)控制在較小的范圍內(nèi)，從而獲得較好的性能和抗參數(shù)攝動的魯棒穩(wěn)定性。仿真試驗(yàn)進(jìn)一步說明以減小特征向量矩陣的條件數(shù)為目的來設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋矩陣的思路是十分有效的。

4 結(jié)論

本文從理論上分析了狀態(tài)反饋控制特征向量矩陣的條件數(shù)對狀態(tài)反饋控制的重要影響。在目前沒有任何算法可以確保在特征向量矩陣的條件數(shù)較大時仍能獲得較小的系統(tǒng)零輸入響應(yīng)和反饋矩陣的范數(shù)的情況下，盡可能地減小特征向量矩陣條件數(shù)去設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制是十分必要并有積極意義的。同時本文設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制的思想可以推廣到具有線性連續(xù)定常系統(tǒng)特性的汽車控制系統(tǒng)中，從而在一定程度上改善系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)特性并提高系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性。

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