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    一個(gè)函數(shù)值域的幾種求法

    2013-10-27 01:21:22張小明
    關(guān)鍵詞:求根根號(hào)易知

    ●張小明

    (海寧市高級(jí)中學(xué) 浙江海寧 314400)

    一個(gè)函數(shù)值域的幾種求法

    ●張小明

    (海寧市高級(jí)中學(xué) 浙江海寧 314400)

    在總結(jié)數(shù)學(xué)知識(shí)和領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)解法方面,一題多解具有“花時(shí)少、傳授知識(shí)多”的作用,一直受到學(xué)生和教師的喜愛(ài).筆者認(rèn)為“學(xué)生懂不懂、如何做題”的教學(xué)是第一層次的,“為何這樣做”才是教師和學(xué)生追求的最終目標(biāo).以2010年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽填空題的第2題為例,本文講解其帶來(lái)的數(shù)學(xué)感悟.

    評(píng)注解法1“妙”在無(wú)障礙地去除了根號(hào)運(yùn)算.x=tant的引入,如果說(shuō)是悟自于雙曲線(xiàn)的參數(shù)方程,還不如說(shuō)來(lái)自于不定積分中的三角函數(shù)換元法:

    解法2(好招)當(dāng)x>1時(shí),

    當(dāng)x<1時(shí),

    評(píng)注自變量“少”或自變量“近”是求函數(shù)值域的一個(gè)要點(diǎn),把根號(hào)外面的量移到里面,就是以此為目的.至于x2=(x-1+1)2的處理是為了使變量處在同一計(jì)算形式,而且分母不易拆,而分子易拆.曾有人說(shuō):先兩邊平方,再做此題.筆者認(rèn)為:兩邊平方,風(fēng)險(xiǎn)自理.解法2無(wú)風(fēng)險(xiǎn),但也起到兩邊平方的作用.

    解法3(險(xiǎn)招)首先,當(dāng)x>1時(shí),y>0;當(dāng)x<1時(shí),y<0,且

    平方后整理,得

    (y2-1)x2-2y2x+y2-1=0.

    當(dāng)y=-1時(shí),x=0;當(dāng)y=1時(shí),x無(wú)解;當(dāng)y≠±1時(shí),由求根公式知

    從而

    2y2-1>0,

    與x>1矛盾,即x無(wú)解;當(dāng)y>1時(shí),

    成立,即x有解.因此,所求值域?yàn)?/p>

    評(píng)注用一元二次判別式求值域是有風(fēng)險(xiǎn)的(如解法3中容易遺漏了“從y出發(fā),求出相應(yīng)的x”).甚至有學(xué)者認(rèn)為,用此法是錯(cuò)誤的,但筆者認(rèn)為:利用一元二次判別式求出函數(shù)值y的范圍后,再用求根公式求x,若相應(yīng)的x能求出且符合原題意,則說(shuō)明y值可取到,反之則不然.

    (k2-1)x2-2k2x+k2-1=0,

    4k2-4(k2-1)2=0,

    解得

    評(píng)注“分式”型函數(shù)求值域,都可考慮用解析幾何知識(shí)來(lái)化解問(wèn)題,有時(shí)能事半功倍.

    解法5(高招)對(duì)y求導(dǎo),得

    從而y在(-∞,-1)上單調(diào)遞增,在(-1,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.由于

    解法6(無(wú)招勝有招)當(dāng)x>1,x→1時(shí),易知y→+∞;當(dāng)x→+∞時(shí),易知y→1.

    平方后整理,得

    (1-a2)x2+2a2x+1-a2≥0.

    4a4-4(1-a2)2≤0,

    解得

    猜想2當(dāng)x<1時(shí),y<-1,其等價(jià)于

    亦即

    x2+1>1-2x+x2,

    從而

    x>0,

    與x<1矛盾,因此猜想2不成立.

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