二階變系數(shù)線性微分方程可解的研究

李 高，李殊璇，常秀芳

（1.大同大學(xué)煤炭工程學(xué)院，山西 大同 037003；2.重慶理工大學(xué)會計(jì)學(xué)院11會計(jì)信息化1班，重慶 400054）

1 問題的提出

只要能求出二階變系數(shù)齊次線性微分方程的一個(gè)特解，則二階變系數(shù)線性齊次或非齊次微分方程的解即可求得［1］。但凡專家學(xué)者們進(jìn)行了大量對二階變系數(shù)次線性微分方程的研究，也沒有形成一種操守普遍易行的成規(guī)的求解方法，只給出了系數(shù)和自由項(xiàng)為特殊類型的二階變系數(shù)線性微分方程的可求解法［2－5］，以及采用構(gòu)造降階法求二階變系數(shù)線性微分方程的通解［6］。本文從構(gòu)造級數(shù)解的形式，旨在解決二階變系數(shù)線性微分方程求解的問題，并得出成規(guī)求解的方法。

2 方程可解法

假設(shè)二階變系數(shù)線性微分方程

設(shè)方程 （1）的解為

的級數(shù)解形式，其中級數(shù)解的系數(shù)an為待定的常數(shù)。則

將系數(shù)和自由項(xiàng)p（x），q（x），f（x）均展開為x的冪級數(shù)，把 （2）、（3）、（4）式代入 （1）式，便得一關(guān)于x的恒等式，利用待定系數(shù)法或比較法比較關(guān)于x多項(xiàng)式的同次冪的系數(shù)可得an，則即得二階變系數(shù)線性微分方程的級數(shù)解y＝∑anxn。

定理 如果二階變系數(shù)線性微分方程

的系數(shù)和自由項(xiàng)p（x），q（x），f（x）在零點(diǎn)的某鄰域內(nèi)均可展開為x的冪級數(shù)，則方程必有級數(shù)解y＝∑anxn。

特別地，系數(shù)和自由項(xiàng)p（x），q（x），f（x）含有無理式，在x的某鄰域內(nèi)均展不成x的冪級數(shù)，此時(shí)取無理式的公倍數(shù)m，令x＝tm，則在零點(diǎn)的某鄰域內(nèi)均可展開為t的冪級數(shù)，則方程必有級數(shù)解y＝∑antn，再把t＝回代，即得方程的解。

3 舉 例

例 求微分方程

的通解。

代入方程y″＋xy′＋y＝0，得

比較系數(shù)得

當(dāng)n＝2k-1時(shí)，得

當(dāng)n＝2k-1時(shí)，得

其中a0、a1為任意常數(shù)。

［1］王高雄.常微分方程［M］.北京：高等教育出版社，1985：7-28.

［2］常秀芳，李高.伯努利方程的幾種新解法［J］.雁北師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，23（02）：89-91.

［3］李錄蘋，王通.關(guān)于幾類二階微分方程的解法［J］.雁北師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，22（02）：71-72.

［4］李高，常秀芳.不定方程x2＋y2＋z2＝2（xy＋yz＋xz）的解及其性質(zhì)［J］.山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，27（03）：6-10.

［5］李高，常秀芳.二階變系數(shù)線性微分方程及其衍生方程［J］.河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，27（05）：13-15.

［6］李高，常秀芳.關(guān)于二階變系數(shù)線性微分方程求解法的研究［J］.河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，26（06）：12-19.