大跨度板架屈曲分析的非線性有限元法

劉相春，李陳峰，任慧龍，李曉宇

(1.海軍裝備部艦船辦，北京100071;2.哈爾濱工程大學(xué)船舶工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

0 引言

屈曲破壞作為船舶結(jié)構(gòu)的破壞形式之一，屈曲強度是船舶設(shè)計階段首要考慮的重要因素［1］。有限元法被廣泛地應(yīng)用于復(fù)雜的屈曲分析:對于彈性屈曲問題，通常是求解特征值問題，求解臨界載荷;對于非線性屈曲問題，常用載荷增量法、位移控制的計算方法 (即弧長法)等。目前的屈曲分析方法在對大型船舶結(jié)構(gòu)計算時，存在效率低，難以引入非線性，迭代計算收斂性差，無法計算復(fù)雜結(jié)構(gòu)等問題。顯示動態(tài)分析的非線性有限元法是用慢速運動的ABAQUS/Explicit動態(tài)分析模擬靜態(tài)問題，采用中心差分法，對時間域上的動力特征進行積分，為處理復(fù)雜條件的非線性結(jié)構(gòu)力學(xué)問題提供了強有力工具［2］。

極限強度定義的船體結(jié)構(gòu)破壞形式計及了屈服、屈曲及組合的各種形式和各構(gòu)件之間的非線性影響，結(jié)構(gòu)達到承載能力極限狀態(tài)時，其破壞類型分為屈曲破壞和屈服破壞［3］。由此，進行極限強度分析以分析船體結(jié)構(gòu)破壞形式，進而探討結(jié)構(gòu)屈曲強度問題的方法，目前被認(rèn)為是合理的。如何采用非線性有限元ABAQUS/Explicit方法，應(yīng)用極限強度的分析思想，解決大跨度板架的屈曲問題顯得尤為重要。

1 板架結(jié)構(gòu)的等效簡化

1.1 大跨度板架概述

某大型客滾船的大跨度雙層甲板板架，其結(jié)構(gòu)型式非對稱、跨度大，參數(shù)如表1所示。

表1 某大型客滾船板架參數(shù)Tab.1 Grillage parameters of a Ro-Ro passenger ship

由于板架的有限元模型單元數(shù)目過多、自由度過大以及材料的非線性，對其應(yīng)用弧長法、ABAQUS/Explicit方法等非線性有限元方法進行屈曲分析，受到計算機計算時間過長、收斂性問題的限制而很難完成。因此，對模型進行梁系等效簡化是必要的。一般在船舶設(shè)計初期進行板架穩(wěn)定性的初步計算時，大都可以采用簡單板架的計算模型。該板架的長高比L/H為164.0/2.9，遠大于3倍，在構(gòu)件型式及布置上均可視為空間梁系，因而采用空間梁系結(jié)構(gòu)進行等效簡化是可行的。

1.2 板架結(jié)構(gòu)梁系等效簡化

板架的縱艙壁和橫艙壁的編號及布置如圖1所示?？v艙壁L01～L03，橫向壁板T01～T13作為梁系的主體框架，1，2甲板及其他構(gòu)件作為帶板計入其剖面參數(shù)計算，考慮剖面的垂向慣性矩I1，水平慣性矩I2，剖面面積A，剖面型心位置e(x，y，z)。

圖1 縱艙壁和橫艙壁編號及布置Fig.1 The number and disposal of longitudinal and transverse bulkheads

根據(jù)文獻 ［4］中關(guān)于“結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性校核”的規(guī)定，確定受壓構(gòu)件的帶板寬度。單跨帶板構(gòu)件的歐拉應(yīng)力計算公式為

式中:σE為單跨帶板縱骨理論歐拉應(yīng)力;i為單跨帶板受壓構(gòu)件剖面面積;A0為單跨帶板受壓構(gòu)件剖面面積;l為縱桁(縱艙壁)間距;b為強橫梁 (橫向壁板)間距;φ=σE/σS，σS為材料屈服限。

由此計算各艙壁板連帶板的剖面參數(shù)，完成后對各剖面數(shù)據(jù)進行等效［5］:根據(jù)慣性矩I，面積A，型心位置e等效的原則，編寫梁截面等效Fortran程序:根據(jù)剖面形式特點，選用I型截面梁，程序輸入為慣性矩I1，I2，截面面積A，輸出為I型截面梁的各參數(shù)。根據(jù)梁系等效簡化結(jié)果建立有限元模型，如圖2所示。

圖2 等效簡化梁系有限元模型Fig.2 FE model of the simplified equivalent beams

1.3 邊界條件與載荷施加

對于受到周圍構(gòu)件支持的船舶板架結(jié)構(gòu)，四邊對轉(zhuǎn)角的約束程度既不是極小值也不是極大值，而是具有一定大小的彈性轉(zhuǎn)角約束。但在目前基于非線性強度分析與設(shè)計方法中，為了簡化及偏于安全起見，一般都取為四邊簡支約束。出于同樣的考慮，對等效梁系模型進行四邊簡支約束。

根據(jù)實船板架受力特點，對梁系施加軸向壓力載荷:特征值屈曲分析時，DC邊 (見圖3)沿x軸負(fù)向施加集中載荷Fx;非線性有限元分析時，DC邊沿x軸負(fù)向施加位移載荷ux，分析時間內(nèi)線性加載。

圖3 梁系的邊界條件與載荷Fig.3 Boundary conditions and loads of beams

2 特征值屈曲分析

2.1 目的

特征值屈曲分析又稱線彈性失穩(wěn) (第一類穩(wěn)定)分析，分析的目的旨在:不考慮結(jié)構(gòu)非線性因素的影響，尋找結(jié)構(gòu)在屈服限σS范圍之內(nèi)的失穩(wěn)臨界點 (極限載荷的上限)，即屈曲歐拉應(yīng)力σE，研究結(jié)構(gòu)在特定載荷下的穩(wěn)定性、結(jié)構(gòu)失穩(wěn)載荷以及與非線性有限元屈曲分析結(jié)論的一致性驗證。

結(jié)構(gòu)取線彈性材料，不考慮結(jié)構(gòu)的型心偏置，采用MSC.Nastran軟件進行特征值求解得到的臨界應(yīng)力值，在許多情況下與實際工程中一般表現(xiàn)的第二類失穩(wěn)破壞的臨界值相差不大，因此特征值屈曲分析仍有重要的工程意義。

2.2 分析

MSC.Nastran軟件對線性屈曲問題的分析，是通過提取使線性系統(tǒng)剛度矩陣奇異的特征值來獲取結(jié)構(gòu)的臨界失穩(wěn)載荷及失穩(wěn)模態(tài)。因此，臨界屈曲載荷Fcr=屈曲特征值BEi×靜態(tài)載荷FS，從而σcr=Fcr/A，A為結(jié)構(gòu)斷面面積。找出結(jié)構(gòu)的前二階失穩(wěn)模態(tài)，結(jié)果如表2所示。

表2 歐拉應(yīng)力σE計算表Tab.2 Calculation table of Euler stress σE

歐拉應(yīng)力σE為836.3 MPa，根據(jù)船舶設(shè)計穩(wěn)定性要求:在占一半船長的中部區(qū)域，整體板架的縱向骨架的歐拉應(yīng)力與其材料屈服極限的比值不小于1.5～2.0，該大跨度板架σE/σS≈2.144，滿足上述要求。

此外，基于線彈性分析方法，在屈服限范圍內(nèi)無法找到結(jié)構(gòu)的屈曲歐拉應(yīng)力σE。在壓潰破壞的情況下，材料非線性是更為重要的非線性因素，需對其進行非線性屈曲分析，得出結(jié)構(gòu)破壞的極限狀態(tài)應(yīng)力。

3 非線性分析ABAQUS/Explicit方法

3.1 顯式動態(tài)分析的有限元法

非線性有限元分析方法很好地考慮了影響船體結(jié)構(gòu)極限承載能力、破壞形式的一些敏感因素，例如材料的彈塑性屬性、結(jié)構(gòu)的幾何非線性行為以及結(jié)構(gòu)的屈曲強度和后屈曲強度等。

ABAQUS/Explicit顯式動態(tài)分析 (準(zhǔn)靜態(tài))的優(yōu)勢在于解決非線性問題。它采用中心差分法顯式對運動方程在時間域上進行積分，利用上一個增量步的平衡方程動態(tài)地計算下一增量步的狀態(tài)，其顯式動力學(xué)求解過程如下:

1)節(jié)點計算

節(jié)點計算包括求解動力平衡方程，對時間顯式積分確定加速度、速度和位移。

動力平衡方程為

對時間顯式積分為

2)單元計算

單元計算包括確定單元應(yīng)變和應(yīng)用材料本構(gòu)關(guān)系 (單元剛度)，確定單元應(yīng)力，然后計算內(nèi)力。

①根據(jù)應(yīng)變速率ε·，計算單元應(yīng)變增量dε。

②根據(jù)本構(gòu)關(guān)系計算應(yīng)力σ，

③ 匯集節(jié)點內(nèi)力I(t+Δt)。

3)設(shè)置t+Δt為t，返回步驟1)。

ABAQUS/Explicit的求解僅依賴于一個穩(wěn)定增量步長，而與載荷的類型和持續(xù)時間無關(guān)。隨著載荷的施加，結(jié)構(gòu)剛度劇烈變化，由于在分析過程中不需要形成總體剛度矩陣，也不必為求解總體平衡方程進行迭代計算，因此ABAQUS/Explicit非線性有限元分析可以高效地求解復(fù)雜的非線性問題。

3.2 大跨度板架屈曲分析

基于極限強度的分析思想，由應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線 (見圖4)判斷結(jié)構(gòu)的破壞形式。根據(jù)曲線1和曲線2可以認(rèn)為板架的整體穩(wěn)定性較好，發(fā)生的主要破壞形式是屈服破壞［6］;曲線3則表明由于發(fā)生屈曲結(jié)構(gòu)整體崩潰，即屈曲破壞。

圖4 彈塑性材料軸向作用應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線Fig.4 Stress-strain relation curve of plastic material

該大跨度板架的有限元分析參數(shù)設(shè)置與分析結(jié)果如表3～表5，圖5～圖8所示。

表3 非線性有限元分析參數(shù)設(shè)置Tab.3 ABAQUS/Explicit NFEM parameters setting

圖5 梁系結(jié)構(gòu)應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.5 Stress-strain relation curve of beam component

圖5為結(jié)構(gòu)達到極限狀態(tài)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。圖中橫坐標(biāo)表示結(jié)構(gòu)的應(yīng)變ε，縱坐標(biāo)表示結(jié)構(gòu)的應(yīng)力σx與材料屈服應(yīng)力的比值σs，即為無量綱系數(shù) σx/σs，其中，σx=Fx/A。

圖6 梁系極限狀態(tài) (變形放大系數(shù)=2.5)Fig.6 Ultimate state of beam(magnify coefficient of distortion=2.5)

表4 極限狀態(tài)臨界應(yīng)力σcr計算表Tab.4 Calculation table of ultimate state critical stress

由圖5、圖6及表4所示，σcr/σS≈0.957接近于規(guī)范對其0.97的要求。梁系結(jié)構(gòu)在加載至15.811 6 s，應(yīng)變量為0.025 03時，結(jié)構(gòu)承載能力下降，在結(jié)構(gòu)達到屈曲臨界應(yīng)力前，由圖7和圖8可知，結(jié)構(gòu)在加載至11 s時，構(gòu)件首先出現(xiàn)屈服，直至結(jié)構(gòu)破壞。

表5 歐拉應(yīng)力σE與臨界應(yīng)力σcr計算結(jié)果比對Tab.5 Calculation results contrast table of Euler stress σEand critical stress σcr

由表5分析結(jié)果可知，線性屈曲特征值分析與非線性有限元分析均得到了σE或σcr，并滿足規(guī)范對其與屈服限比值的要求。

4 結(jié)語

采用結(jié)構(gòu)等效的方式，對大跨度板架進行空間梁系簡化，給大跨度板架屈曲分析提供了新思路，有效地解決了大跨度板架屈曲穩(wěn)定性分析困難的問題。

特征值屈曲分析得到的大跨度板架的歐拉應(yīng)力大于材料屈服限，即基于線彈性分析方法，在屈服限范圍內(nèi)無法找到結(jié)構(gòu)的屈曲歐拉應(yīng)力，該板架在結(jié)構(gòu)屈服破壞前不會發(fā)生整體屈曲破壞。

通過ABAQUS/Explicit非線性有限元分析，得到該大跨度板架的極限強度接近材料的屈服應(yīng)力，可以認(rèn)為該板架的整體穩(wěn)定性較好，這與特征值屈曲分析得出的分析結(jié)論是一致的。因此，本文方法對大跨度板架的屈曲分析具有優(yōu)越性和重要意義。

［1］束長庚，周國華.船舶結(jié)構(gòu)的屈曲強度［M］.北京:國防工業(yè)出版社，2003.SHU Chang-gen，ZHOU Guo-hua.Buckle strength of ship structure［M］.Beijing:National Defence Industry Press，2003.

［2］ABAQUS/Explicit有限元軟件入門指南［M］.莊茁，等譯.北京:清華大學(xué)出版社，1999.33-37.

［3］彭可可，賀國京.大跨度橋梁極限承載力的雙重非線性分析［J］.中南林學(xué)院學(xué)報，2006，26(3):74-76.PENG Ke-ke，HE Guo-jing.Dual nonlinear analysis of the ultimate load apacity of long-span bridge［J］.Journal of Central South Forestry University，2006，26(3):74-76.

［4］中國船級社.鋼質(zhì)海船入級與建造規(guī)范［S］.2006，2(1):333-340.China Classification Society.Rules and regulations for the construction and classification of sea-going steel ships［S］.2006，2(1):333-340.

［5］萬琪，王?；?大跨度無支撐甲板縱向穩(wěn)定性分析和優(yōu)化設(shè)計［J］.中國造船，2011(1):17-25.WAN Qi，WANG Fu-hua.Longitudinal stability analysis and optimum design of supportless long-span deck structure［J］.Shipping of China，2011(1):17-25.

［6］周海仲.船體結(jié)構(gòu)極限強度的非線性有限元分析［D］.哈爾濱工程大學(xué)，2010.70-71.ZHOU Hai-zhong.The ultimate strength analysis of the ship structures based on NFEM［D］.Harbin Engineering University，2010.70-71.