簡析拓撲遍歷映射

劉國清，關(guān)志強

(1.大慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江 大慶163712；2.沈陽大學(xué) 新民師范學(xué)院，遼寧 新民110300)

1 預(yù)備知識

命題1：設(shè)f(X)=X,即f是在上的，則下述條件是等價的：

(ⅰ)f是拓撲傳遞的；

(ⅱ) 若A?X閉,且f(A)?A,則A=X或A在X內(nèi)無處稠密；

(ⅲ) 若E?X開,且f-1(E)?E,則E=?或E在X中處處稠密；

(ⅳ) 對任意非空開集U,V?X，存在n>0,使f-n(U)∩V≠?；

(ⅴ) 對住意非空閉集U,V?X,存在n>0,使fn(U)∩V≠?；

定義1：如果f×f是拓撲傳遞的,則稱f是拓撲弱混合的.

令U、V為X的任意非空開集,回歸次數(shù)：Nf(U,V)={n∈N|fn(U)∩V≠?},根據(jù)命題1和定義1有：

若Nf(U,V)≠?,則f拓撲傳遞。

若存在N∈N,使Nf(U,V)=(N,+∞),則f拓撲混合。

定義2[1]： 若Nf(U,V)為正上密度集,即

則稱f是拓撲遍歷的。

若f×f拓撲遍歷,則稱f拓撲雙重遍歷。

定義3：若任意ε>0,i=1,2,3,…,n?？傆衐(f(xi-1),xi)≤ε,則稱序列{x0,x1,...,xn}為f的一個ε-鏈,其長度為n+1。若x=x0,y=yn,則稱ε-鏈{x0,x1,...,xn}為一個從x到y(tǒng)的ε-鏈。

定義4：如果對任意ε>0,任意x,y∈X,都存在一個從x到y(tǒng)的ε-鏈,則稱f是鏈傳遞的。

定義5：如果對任意ε>0,任意x,y∈X,總存在N∈N,當(dāng)n>N時總有一個長度為n的從x到y(tǒng)的ε-鏈,則稱f是鏈混合的。

2 主要結(jié)果

定理1：若f拓撲混合,則f鏈混合。

證明：對任意x,y∈X,任意ε>0.由于f拓撲混合,

即d(fm(x),y)<ε.則{x,f(x),f(x2),...,fm-1(x),y}是一個從x到y(tǒng)的長度為m+1的ε-鏈,從而，對任意ε>0,任意x,y∈X,存在N=M+1∈N,當(dāng)n=m+1>M+1=N時，都存在長度為n的從x到y(tǒng)的ε-鏈,即f是鏈混合的。

證畢。

定理2：若f鏈混合且f滿足POTP,則f拓撲混合。

證明：對于任意的x,y∈X,設(shè)B(x,r1),B(y,r2)分別為x和y的任意球形鄰域,對于住意0<ε0,使f的任意δ-偽軌都能被X中的某點相對于fε-跟蹤。

因為f鏈混合,則存在N∈N,任意n+1>n>N,存在從x到y(tǒng)的長度為n+1的δ-鏈{x=x0,x1,x2,...,xn=y}。

于是存在z∈X,使d(z,x)<ε,d(fn(z),y)<ε，從而fn(B(x,r1))∩B(y,r2)≠?，所以f拓撲混合。

證畢。

推論1：若f滿足POTP,則f拓撲混合與f鏈混合等價.

引理1[2]：f是拓撲雙重遍歷的當(dāng)且僅當(dāng)對任意非空開集U、V，存在正上密度集J?N,使得任意n∈J,fn(U)∩U≠?和fn(U)∩V≠?同時成立,即Nf(U,U)∩Nf(U,V)為正上密度集。

定理3：若f拓撲混合,則對任意m∈N,fm拓撲雙重遍歷。

證明：設(shè)U、V為X任意非空開集,因為f拓撲混合,所以存在N∈N,當(dāng)n>N時,有fn(U)∩U≠?和fn(U)∩V≠?同時成立。

因而對任意m∈,有：

(fm)n(U)∩U=fmn(U)∩U≠?,(fm)n(U)∩V=fmn(U)∩V≠?

取J=N (1,2,3,...,N),則J為正上密度集,且J?N.任意n∈J,fmn(U)∩U≠?,fmn(U)∩V≠?,同時成立。

根據(jù)引理1,fm拓撲雙重遍歷。

證畢。

推論2：若f拓撲混合,則f拓撲雙重遍歷.

證明：若f拓撲混合,則f×f拓撲混合,從而f×f拓撲遍歷,即f拓撲雙重遍歷。

證畢。

定理4：f拓撲雙重遍歷?fm拓撲遍歷,m≥2，其中fm表示f的m重積。

證明：?根據(jù)定義,顯然。

?假設(shè)k≥2,其中fk拓撲遍歷,往證fk+1拓撲遍歷。

設(shè)U1,U2,...,Uk,Uk+1，V1,V2,...,Vk,Vk+1是X的非空開子集,因為f拓撲雙重遍歷,所以存在正上密度集J,使得Uk+1∩fl(Uk)≠?,Vk+1∩fl(Vk)≠?,對任意l∈J,令U=Uk∩f-l(Uk+1),V=Vk∩f-l(Vk+1),則U、V是非空開集。

因為根據(jù)假設(shè)fk拓撲遍歷,所以存在正上密度集Jk,對任意m∈Jk有：

Vi∩fm(Ui)≠?,i=1,2,3,...,k-1, V∩fm(U)≠?

因此,Vk∩fm(Uk)?V∩fm(U)≠?,并且 Vk+1∩fm(Uk+1)?fl(V)∩fm(fl(U))?fl(V∩fm(U)≠?。

因此fk+1拓撲遍歷。

根據(jù)歸納假設(shè),結(jié)論成立。

證畢.

3 結(jié)語

綜上，本文在拓撲遍歷等相關(guān)概念的基礎(chǔ)上，對拓撲遍歷性質(zhì)進行了深入的探討。拓撲混合蘊含鏈混合、蘊含拓撲雙重遍歷，若f滿足POTP,則f拓撲混合與f鏈混合是一回事，給出了f拓撲雙重遍歷的等價命題及新的證明方法，為拓撲遍歷相關(guān)問題的研究提供了方向。

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