基于雙矩形海灣模型的泰國灣潮汐潮流研究＊

吳 頔，方國洪＊，滕 飛，崔欣梅

（1.國家海洋局 第一海洋研究所，山東 青島266061；2.海洋環(huán)境科學和數(shù)值模擬國家海洋局重點實驗室，山東 青島266061）

1920年，Taylor將等深矩形海灣里的潮波，分解為入射和反射的Kelvin波以及一族Poincaré波［1］（稱為Taylor問題［2］），此后眾多學者在此基礎上進行研究和推廣。Godin［3-4］將幾個“Taylor模型”組合并考慮開邊界強迫。陳宗鏞［5］、方國洪和王仁樹［6］、Rienecker和 Teubner［7］以及趙進平和侍茂崇［8］在經典 Taylor模型的基礎上引入摩擦項，考慮了能量耗散問題。1973年，Brown［9］成功地采用了Defant的配置法［10］，克服了Kelvin波不完全反射時求解困難的問題，同時也使配置法成為拓展Taylor問題的有力工具，為后續(xù)的許多研究者沿用。但上面的研究只適用于半無限長海區(qū)。1991年，F(xiàn)ang等［11］將方國洪和王仁樹的解［6］加以拓展，考慮了灣口處的強迫邊界條件，給出適用于有限區(qū)域、包含摩擦效應的Taylor問題通解，進一步推廣了 Taylor解析模型適應的范圍。之后 Xia等［12］，Carbaijal［13］，Rizal［14-15］，Molen等［16］，Kagan等［17］，Roos和Schuttelaats［18-19］均針對不同海區(qū)采用有限區(qū)域的Taylor問題解進行研究。夏綜萬［20］對Taylor問題作出系統(tǒng)論述。

這些研究，除Rizal［15］外，都主要關注于中高緯度海域，所得潮波系統(tǒng)在北半球均為逆時針旋轉的系統(tǒng)。位于9°N左右的泰國灣，其科氏參量遠小于M2潮波角頻率，存在一個順時針旋轉的M2潮波系統(tǒng)，特別值得予以理論上的解釋。我們以Fang等［11］的模型為基礎，建立了一個雙矩形的海灣模型，以研究泰國灣的潮波問題。該模型不但考慮了摩擦耗散和開邊界強迫，其雙矩形結構囊括泰國灣中的曼谷灣區(qū)域，使得模擬結果更接近真實。

1 模型的設置與求解

1.1 模型設置

新建立的雙矩形海灣模型由2個不等深矩形海灣組成（圖1），左右2個矩形區(qū)域分別稱為區(qū)域一和區(qū)域二。每個區(qū)域獨立滿足如下假設：1）摩擦力與流速的一次方成比例；2）科氏參量在海灣內為一常數(shù)；3）不計作用于海水質量上的引潮力；4）直線表示壁面，其法向速度為0；開邊界（圖1中x=0處虛線）存在外海輸入潮波強迫。

圖1 雙矩形海灣模型Fig.1 A sketch map of the two-rectangular-gulf model

假設區(qū)域一和區(qū)域二的水深均為常數(shù)，記為h1和h2；2個區(qū)域長度分別為L1和L2；寬度分別為B1和B2。區(qū)域一的范圍在x方向從0到x1（x1=L1），在y方向從0到y(tǒng)3（y3=B1）；區(qū)域二的范圍在x方向從x1到x2（x2=L1+L2），在y方向從y1到y(tǒng)2（y2=y1+B2）。

1.2 控制方程和邊界條件

取潮波運動方程和連續(xù)方程：

其中分別為x，y方向潮流流速為從海平面算的潮位高度；f=2Ωsinφ為科氏參數(shù)，其中Ω（7.29×10-5s-1）為地轉角速率，φ為緯度；γ，h和g分別為摩擦系數(shù)、海區(qū)水深和重力加速度。將2個區(qū)域的潮位高度及流速分別表示為（j=1時，0≤x≤x1；j=2時，x1≤x≤x2），且滿足式式（1）～式（3）。邊界條件：

其中）為x=0處水位，即開邊界強迫。銜接條件：

式（7）保證了2個區(qū)域的潮波在連接處水位、體積輸運及能通量的連續(xù)性。

設和eiσt成比例，即存在使得：

則式（1）～式（3）可改寫：

其中，

又由式（9）～式（11）計算得出：

其中，

kj=σ／cj為Kelvin波的波數(shù)為重力長波的相速度。

相應的邊界條件式（4）～式（6）改寫：

其中，Z0和θ0為開邊界處水位的振幅和遲角。

銜接條件：

1.3 方程解法

1.3.1 方程的通解

根據(jù)式（14）和（15）的條件，可以給出滿足方程的四族Kelvin波式（20）～式（23）和四族Poincaré波式（24）～式（27）：

其中，。sj，n取實部為正的值。將以上代入式（13）可以推出：

式（20）～式（27）中aj，bj，κj，n和λj，n為待定常數(shù)，需通過下列關系計算。將式（20）～式（27）代入式（16）～式（19），則壁面條件式（16）和（17）改寫：

開邊界條件式（18）改寫：

銜接條件式（19）改寫：

1.3.2 配置法

采用配置法求方程組的近似解。先將式（24）和（26）所示的Poincaré波族截斷至N1階，在x=0，0≤y≤y3和x=x1，0≤y≤y3兩條線段上均勻取2 N1+2個點。設線段x=x1，y1≤y≤y2上取了J=N2+1個點，則在線段x=x2，y1≤y≤y2上對應取N2+1個點。將這2 N1+N2+3個點坐標代入邊界條件式（28）～（32）中可得2 N1+2 N2+4個方程，不難解出aj，bj，kj，nj和λj，nj（nj=1，2，…，Nj；j=1，2）。

2 雙矩形模型在泰國灣中的應用

泰國灣介于中南半島和馬來半島之間（圖2）。地理范圍為99°10′～105°00′E，6°00′～13°30′N，灣口向東南開，西北端深入的湄南河口部分稱為曼谷灣。

由于泰國灣處于低緯度地區(qū)，受弱科氏加速度的影響，其潮波系統(tǒng)相對復雜，尤其是頻率較大的半日潮。以M2分潮為例，其泰國灣灣口的順指針旋轉的無潮點有悖于北半球的一般規(guī)律，一直受到相關學者的關注，而其泰國灣灣頂無潮點的存在性及位置，直至今日各學者給出的結果仍不盡相同。

在1944年Dietrich就給出基本不反映泰國灣潮波主要結構的同潮圖。后來 Defant［10］、Ye和 Robinson［21］、俞慕耕［22］給出的同潮圖，雖結果有所改善，但相互之間的差異十分顯著。此后，丁文蘭［23］、Fang［24］、Yanagi和 Toshiyuki［25］、Fang等［26］、Zu等［27］均給出了泰國灣的同潮圖。其中 M2分潮在泰國灣灣口的無潮點基本確定，但灣頂無潮點的存在及位置依舊不盡相同。上述研究方法均局限于資料分析和數(shù)值模擬，未給出理論解釋。

此外，由于曼谷灣的存在，使得單一矩形區(qū)域的Taylor模型不足以刻畫泰國灣的潮汐分布。借助新建立的雙矩形海灣模型來模擬該區(qū)域K1和M2分潮的潮波系統(tǒng)，并針對M2分潮的影響因素，包括曼谷灣和開邊界條件，進行了相關實驗研究。

圖2 泰國灣示意圖Fig.2 A sketch map of the Gulf of Thailand

2.1 模型設置

取L1=580 mm，B1=400 km，h1=40 m，L2=110 km，B2=100 km，y1=220 km，h2=13 m。這些數(shù)值使模型等效于泰國灣，其中區(qū)域一代表泰國灣主體，區(qū)域二代表曼古灣。并取N1=19，N2=5，在線段x=0，0≤y≤y3和線段x=x1，0≤y≤y3上均勻各取20個配置點，在線段x=x2，y1≤y≤y2，上均勻取5個點（圖3）。對 K1和 M2分潮，σ分別取7.286 7×10-5s-1、1.405 2×10-4s-1。μj則仿照Fang等［11］中所給量級取0.1。根據(jù)泰國灣及曼谷灣所處緯度，取科氏參數(shù)f1=0.22×10-4s-1；f2=0.33×10-4s-1。開邊界條件的調和常數(shù)采用Fang等［26］數(shù)值模擬結果（采用東8時區(qū)遲角）。

采用1.3.2節(jié)中方法解出相關參數(shù)出aj，bj，kj，nj和λj，nj（nj=1，2，…，Nj；j=1，2），代入式（20）～式（27）即可解出對應分潮的ζj，uj，vj。根據(jù)式（8）引入時間因子eiσt之后取實部可得：

圖3 配置點示意圖Fig.3 Setting up the Collocation points

為研究海灣模型的潮汐分布，利用式（33）導出相應分潮遲角θj及振幅Zj關系式：

2.2 潮汐分布

根據(jù)上述方法得到泰國灣-曼谷灣理論解（圖4a和圖5a）；使用文獻［26］數(shù)據(jù)重繪同潮圖（圖5a和圖5b）。其中K1分潮結構較為簡單，圖4a和圖4b中潮汐分布格局一致。在泰國灣中存在一逆時針旋轉的無潮點，其位置偏向灣口，并向西岸偏移。振幅則隨著向灣頂?shù)纳钊攵粩嗉哟?，最大振幅出現(xiàn)在曼谷灣灣頂。

圖4 K1分潮同潮圖Fig.4 Co-tidal chart of tidal constituent K1

圖5 M2分潮同潮圖Fig.5 Co-tidal chart of tidal constituent M2

M2分潮頻率大，波長僅為K1分潮的一半，故潮波結構比K1分潮復雜的多。圖5a中顯示，M2分潮振幅在泰國灣（除曼谷灣部分）較小，最大振幅不超過0.3 m，在曼谷灣中向灣頂方向不斷增大；遲角分布則較復雜，出現(xiàn)2個無潮點。其中一個無潮點位于泰國灣灣頂、曼谷灣口外，呈逆時針旋轉。另一個無潮點則靠近泰國灣灣口，偏向東岸，呈順時針旋轉，該無潮點不遵循北半球潮波逆時針旋轉的一般規(guī)律。對比圖5a和圖5b，M2分潮振幅分布格局一致。

為分析K1和M2分潮的構成，分別給出這2個分潮在區(qū)域一中的Kelvin波和Poincaré波分布（圖6和圖7）。由圖6中可以看出K1分潮潮波由于其頻率小、波長長，雖然處于較低緯度的泰國灣區(qū)域，其組成仍然以Kelvin波為主，并表現(xiàn)出明顯的Kelvin波性質。Kelvin波受北半球向右的科氏加速度影響，入射波東岸強西岸弱，反射波東岸弱西岸弱。合成結果構成了一個逆時針旋轉的潮波系統(tǒng)。由于模型考慮了摩擦，潮波在傳播過程中產生能量耗散，使得反射波的能量小于入射波，總的疊加效果東岸強西岸弱，因此無潮點偏向西岸。

圖6 K1分潮在區(qū)域一中的潮波分解Fig.6 Decomposition of K1 in area I

圖7 M2分潮在區(qū)域一中的潮波分解Fig.7 Decomposition of M2 in area I

由M2分潮Kelvin波和Poincaré波的組成（圖7）可見，M2分潮由于頻率高，在低緯度區(qū)慣性頻率f比潮波頻率σ小很多，故在泰國灣區(qū)域Kelvin波較弱，且由于能量耗散，入射波遠遠強于反射波，沒有疊加形成無潮點。而Poincaré波在泰國灣灣口較強，且存在一個逆時針旋轉的無潮點。Kelvin波和Poincaré波疊加后在灣頂形成一逆時針旋轉的無潮點，灣口形成一順時針旋轉的無潮點。

考慮到Poincaré波主要是受邊界條件和銜接條件控制，我們認為除低科氏加速度及地形因素影響外，曼谷灣是影響泰國灣灣頂形成逆時針旋轉的無潮點的重要因素；開邊界條件是泰國灣灣口形成順時針旋轉的無潮點的首要因素。

2.3 潮流分布

為了研究泰國灣的潮流分布情況，根據(jù)2.1節(jié)中結果分別計算了K1和M2分潮的潮流橢圓要素（半長軸、半短軸、長軸傾角及遲角），并給出相應分潮的潮流橢圓（圖8和圖9）。

圖8 K1分潮的潮流橢圓圖（陰影表示順時針旋轉）Fig.8 K1 current ellipses（shaded part indicates clockwise rotation）

圖9 M2分潮的潮流橢圓圖（陰影表示順時針旋轉）Fig.9 M2 current ellipses（shaded part indicates clockwise rotation）

K1分潮潮流在區(qū)域一中主要呈逆時針旋轉，在區(qū)域二中主要呈順時針旋轉，在2個區(qū)域內均以往復流為主。泰國灣灣口東側和曼谷灣灣口東側出現(xiàn)較大流速。在泰國灣腹部，長軸平行于x軸，在灣頂則逐漸垂直于x軸，在與Taylor［1］給出的等深矩形海灣十分相似。

M2分潮潮流在泰國灣和曼谷灣的灣口附近都呈順時針旋轉，在2個海灣的灣頂附近則都呈現(xiàn)逆時針旋轉，與Fang等的理論分析［11］一致。

2.4 潮能通量

潮能通量強度又叫做能通量密度，表示單位時間內通過單位寬度的垂直斷面的潮波能量，其計算公式：

式中（Φx，Φy）為能通量密度在（x，y）方向的分量；T 為潮波周期；ρ為海水密度，取1 025 kg／m3；Z 和θ分別為潮汐的振幅和遲角；（U，V）為（x，y）方向潮流分量的振幅，（ξ，η）為相應的遲角。

圖10 K1分潮能通量密度分布圖Fig.10 The tidal energy flux density vectors of constituent K1

圖11 M2分潮能通量密度分布圖Fig.11 The tidal energy flux density vectors of constituent M2

根據(jù)式（37）及前文結果，計算了K1和M2分潮的潮能通量密度，并繪制潮能通量密度分布圖以刻畫K1和M2分潮能通量流向（圖10和圖11）。圖10中K1分潮能量從東岸輸入，并沿東岸向灣頂傳輸，自東向西掃過灣頂，并沿西岸輸出，在傳輸過程中，能量逐漸減弱。這體現(xiàn)出Kelvin波在北半球傳播的一般規(guī)律。圖11中M2分潮能量較小，正如2.2節(jié)所述，受開邊界及弱科氏加速度影響，其能量從東岸輸入，但直接流向西岸，且沿西岸傳輸，緩慢右轉，轉向東岸后，沿東岸傳輸直至灣頂，后沿灣頂邊界自東向西傳輸，在曼谷灣處分為2支，一部分流入曼谷灣，另一部分繼續(xù)沿灣頂傳輸。

3 敏感性實驗

曼谷灣對M2分潮在泰國灣灣頂形成逆時針旋轉的無潮點起重要作用；開邊界條件是M2分潮在泰國灣灣口形成順時針旋轉的無潮點的必要條件。為了驗證上述觀點，我們設計了如下2組實驗：1）曼谷灣實驗：刪除代表曼谷灣的區(qū)域二，其他條件同2.1節(jié)；改變區(qū)域二位置，其他條件同2.1節(jié)。2）開邊界實驗：開邊界條件采用等振幅邊界，其他條件同2.1節(jié)；開邊界條件采用等遲角邊界，其他條件同2.1節(jié)。

3.1 曼谷灣存在和位置的敏感性實驗

針對M2分潮，改變曼谷灣的存在及位置，控制其他條件與2.1節(jié)中一致，以探討曼谷灣對泰國灣M2分潮的影響。

方案1 只保留區(qū)域一，即建立一個單一矩形海灣模型（圖12），其他條件保持與2.1節(jié)相同，以此排除曼谷灣的影響。實際計算中在模型兩端均勻各取20個配置點（圖12a），沿用Fang等的解法［11］，計算該矩形海灣模型的潮汐分布，得到M2分潮的同潮圖如圖12b所示。

圖12 泰國灣的矩形海灣模型Fig.12 A single-rectangular-gulf model for the Gulf of Thailand

對比圖12b與圖5a結果可見，M2分潮在泰國灣仍然存在一順時針旋轉的無潮點，但其位置向灣內深入，而灣頂逆時針旋轉的無潮點完全消失。

方案2 令y1=160 km；其他條件同2.1節(jié)。

方案3 令y1=100 km；其他條件同2.1節(jié)。

方案2和3的結果分別示于圖13。對比圖13與圖5a結果可知，隨著曼谷灣向東平移，M2分潮在泰國灣灣口順時針旋轉的無潮點位置變化不大，灣頂?shù)臒o潮點向灣頂方向發(fā)生退化，但可以看出這個無潮點隨曼谷灣位置東移向東北移動。

綜合上述3個方案，可以看出曼谷灣是影響M2分潮在泰國灣灣頂形成逆時針旋轉的無潮點的重要因素，其存在促使M2分潮在泰國灣灣頂形成無潮點，且曼谷灣的位置決定了該無潮點的位置。

圖13 曼谷灣實驗的M2分潮同潮圖Fig.13 The co-tidal chart of M 2 resulted from the sensitive experiments in the Gulf of Bangkok

3.2 開邊界條件的敏感性實驗

著眼于研究泰國灣M2分潮對開邊界的響應，具體方案：

方案1 開邊界振幅均取0.2 m，其他條件同2.1節(jié)；

方案2 開邊界遲角均取0°，其他條件同2.1節(jié)。

依舊采用2.1節(jié)中的方法，分別計算方案1、方案2模型的潮汐分布，并給出相應同潮圖（圖14）。

圖14 開邊界實驗的M2分潮同潮圖Fig.14 The co-tidal chart of M2 resulted from the sensitive experiments under the open boundary condition

與圖5a結果比較可見，當開邊界振幅為常數(shù)時，其振幅結構變化不大，灣口的無潮點退化至東岸，但依然保持順時針旋轉的結構。當開邊界遲角給定均勻值時，灣口順時針的無潮點完全消失，潮波進入海灣后差不多以前進波的形式向灣頂推進，并在曼谷灣灣口外形成一個逆時針旋轉的無潮點。對比2組實驗結果，不難看出，改變開邊界條件不影響灣頂形成逆時針的無潮點；而M2分潮在泰國灣灣口順時針旋轉的無潮點，主要依賴于開邊界遲角自東向西增加的梯度條件，即潮波傳入泰國灣的方向；而灣口的振幅變化對該無潮點形成僅起到加強作用。遲角自東向西的增加則是南海M2分潮潮波自東北向西南傳播的結果。

5 結 語

本文利用雙矩形海灣模型研究了泰國灣的潮波問題。研究表明：

1）K1分潮潮波在泰國灣中主要表現(xiàn)Kelvin波的性質；

2）M2分潮在泰國灣中Kelvin波的性質較弱，灣口和灣頂主要受Poincaré波控制；

3）曼谷灣的存在是M2分潮在泰國灣灣頂形成逆時針旋轉無潮點的主要原因，其位置決定了該無潮點的位置；

4）開邊界遲角自東向西增加的梯度條件是M2分潮在泰國灣灣口順時針無潮點形成的必要條件。

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［1］ TAYLOR G I.Tidal oscillations in gulfs and rectangular basins［J］.Proc.Lond.Math.Soc.，1922，s2-20（1）：148-181.

［2］ HENDERSHOTT M C，SPERANZA A.Co-oscillating tides in long，narrow bays：the Taylor problem revisited［J］.Deep Sea Research and Oceanographic Abstracts，1971，18（10）：959-980.

［3］ GODIN G.Some remarks on the tidal motion in a narrow rectangular sea of constant depth［J］.Deep Sea Research and Oceanographic Abstracts，1965，12（4）：461-468.

［4］ GODIN G.The M2tide in the Labrador Sea，Davis Strait and Baffin Bay［J］.Deep Sea Research and Oceanographic Abstracts，1965，12（4）：469-477.

［5］ CHEN Z Y.A tidal mode of rectangular shallow basins［J］.Oceanologia et Limnologia Sinica，1965，7（2）：85-93.陳宗鏞.長方形淺水海灣的一種潮波模式［J］.海洋與湖沼，1965，7（2）：85-93.

［6］ FANG G H，WANG R S.Tides and tidal streams in gulfs［J］.Oceanologia et Limnologia Sinica，1966，8（1）：60-77.方國洪，王仁樹.海灣的潮汐與潮流［J］.海洋與湖沼，1966，8（1）：60-77.

［7］ RIENECKER M M，TEUBNER M D.A note on frictional effects in Taylor's problem［J］.Journal of Marine Research，1980，38（2）：183-191.

［8］ ZHAO J P，SHI M C.The tidal wave reflection problem and the influence of friction in Semi-enclosed rectangular basin［J］.Acta Oceanologica Sinica，1988，10（3）：259-269.趙進平，侍茂崇.半封閉矩形海灣中潮波反射問題及摩擦的影響［J］.海洋學報，1988，10（3）：259-269.

［9］ BROWN P J.Kelvin wave reflection in a semi-infinite canal［J］.Journal of Marine Research，1973，31（1）：1-10.

［10］ DEFANT A.Physical Oceanography［M］.New York：Pergamon Press，1961：590.

［11］ FANG Z，YE A L，F(xiàn)ANG G H.Solutions of tidal motions in a semi-closed rectangular gulf with open boundary condition specified［M］∥Tidal Hydrodynamics，New York：John Wiley &Sons Inc.，1991：153-168.

［12］ XIA Z W，CARBAJAL N，SUNDERMANN J.Tidal current amphidromic system in semi-enclosed basins［J］.Continental Shelf Research，1995，15（2-3）：219-240.

［13］ CARBAJAL N.Two applications of Taylor's problem solution for finite rectangular semi-enclosed basins［J］.Continental Shelf Research，1997，17（7）：803-817.

［14］ RIZAL S.The role of non-linear terms in the shallow water equation with the application in three-dimensional tidal model of the Malacca Strait and Taylor's Problem in low geographical latitude［J］.Continental Shelf Research，2000，20（15）：1965-1991.

［15］ RIZAL S.Taylor's problem-influences on the spatial distribution of real and virtual amphidromes［J］.Continental Shelf Research，2002，22（15）：2147-2158.

［16］ MOLEN J，GERRITS J，SWART H E.Modelling the morphodynamics of a tidal shelf sea［J］.Continental Shelf Research，2004，24（4-5）：483-507.

［17］ KAGAN B A，ROMANENKOV D A.Effect of hydrodynamic properties of the sea bottom on the tidal dynamics in a rectangular basin［J］.Atmospheric and Oceanic Physics，2006，42（6）：777-784.

［18］ ROOS P C，SCHUTTELAATS H M.Horizontally viscous effects in a tidal basin：extending Taylor's problem［J］.Journal of Fluid Mechanics，2009，640：421-439.

［19］ ROOS P C，SCHUTTELAATS H M.Influence of topography on tide propagation and amplification in semi-enclosed basins［J］.Ocean Dynamics，2011，61（1）：21-38.

［20］ XIA Z W.Taylor problem of tidal wave［M］.Beijing：Ocean Press，2011.夏綜萬.海洋潮波的Taylor問題［M］.北京：海洋出版社，2011.

［21］ YE A L，ROBINSON I S.Tidal dynamics in the South China Sea［J］.Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society，1983，72（3）：691-707.

［22］ YU M G.Preliminary discussion on tidal characteristic of South China Sea［J］.Acta Oceanologica Sinica，1984，6（3）：293-300.俞慕耕.南海潮汐特征的初步探討［J］.海洋學報，1984，6（3）：293-300.

［23］ DING W L.Distribution of tides and tidal currents in the South China Sea［J］.Oceanologia et Limnologia Sinica，1986，17（6）：468-480.丁文蘭.南海潮汐和潮流的分布特征［J］.海洋與湖沼，1986，17（6）：468-480.

［24］ FANG G H.Tide and tidal current charts for the marginal seas adjacent to China［J］.Chinese Journal of Oceanology and Limnology，1986，4（1）：1-16.

［25］ YANAGI T，TOSHIYUKI T.Clockwise phase propagation of semi-diurnal tides in the Gulf of Thailand［J］.Journal of Oceanography，1998，54（2）：143-150.

［26］ FANG G H，KWOK Y K，YU K J，et al.Numerical simulation of principal tidal constituents in the South China Sea，Gulf of Tonkin and Gulf of Thailand［J］.Continental Shelf Research，1999，19（7）：845-869.

［27］ ZU T T，GAN J P，EROFEEVA S Y.Numerical study of the tide and tidal dynamics in the South China Sea［J］.Deep Sea Research Part I：Oceanographic Research Papers，2008，55（2）：137-154.