基于時頻聯(lián)合分布的經(jīng)驗模態(tài)分解方法

金晶晶，耿元婧

（中國電子科技集團公司第47研究所，沈陽 110032）

1 引言

經(jīng)驗模態(tài)分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）是由Huang等提出的一種處理非平穩(wěn)信號的新方法，與Fourier變換、小波分解等信號處理方法不同，EMD基于一系列與信號相關的基函數(shù)自適應地將原始信號分解為一系列的固有模態(tài)函數(shù)（Intrinsic Mode Function，IMF），這些IMF是利用信號的解析關系得到的瞬態(tài)頻率的最優(yōu)估計，該方法沒有固定的先驗基底，使信號處理更加靈活多變[1]。但是EMD方法只適用于處理信號持續(xù)時間內(nèi)由不同頻率成分構成的信號，對于不同時間含有相似頻率成分的信號則需要將頻域分析方法與EMD結合后再對信號進行分析。但這種方法對基本模態(tài)數(shù)量已知的信號尚可達到要求；若其數(shù)量未知，則頻域分量合成的不準確會極大地影響EMD分析結果。

針對這種問題，本文提出將時頻聯(lián)合分布與EMD相結合，對待分析信號先在時頻平面內(nèi)分段后再進行EMD，即基于時頻聯(lián)合分布的EMD（TFEMD）方法。

2 時頻聯(lián)合EMD方法

EMD的基本思想是認為信號的振動僅存在于很微小的局部上，且由局部細節(jié)（高頻部分，{d（t），t-≤t≤t+}）與局部趨勢構成（低頻部分，{m（t），t-≤t≤t+}），即在t-≤t≤t+區(qū)間內(nèi)有：

EMD結束后，信號x（t）可以表達成如下形式：

其中，N是IMF的數(shù)量，r（t）是剩余分量。一個IMF相當于一個信號成分，所以從時頻分析角度上，式（2）又可以表達為：

其中ai（t）cos（θi（t））=IMFi（t），ai（t）是幅值，θi（t）是相位。式（3）說明，EMD可以分解信號持續(xù)時間內(nèi)由連續(xù)的不同頻率成分組成的信號，但不能分解不同時間段含有相似頻率成分的信號[2,3]。

一種信號成分可被定義為時域有限的，所以式（3）又可以表達為：

其中rect（（t-τk）/bk）是矩形函數(shù)，定義為：

其寬度為bk，中心為τk，且M≥N。這種定義方法使每種信號成分可以在時頻平面的時間軸（cos（θk（t）））和頻率軸（rect（（t-τk）/bk））上分別定位。根據(jù)式（4）的表達方式，EMD就可分解不同時間段含有相似頻率成分的信號。為了達到這種目的，就要將頻域分析作為EMD的附加步驟，即把經(jīng)典EMD和頻域分析方法聯(lián)合起來。

N Stevenson等人提出一種TF-EMD，其過程是首先在時域上提取信號的第一個IMF，利用離散余弦變換（Discrete Cosine Transform，DCT）將其變換到頻域，在頻域上進行EMD，其次將頻域上的部分或全部IMF合成，進行反DCT后替換時域的IMF，求得剩余分量后重復以上步驟，直到信號完全分解[2]。IMF合成相當于各個IMF直接相加，對于含有連續(xù)頻率成分的信號，需要合成頻域上的全部IMF，該方法就相當于時域EMD；但是對于在不同時間段含有相似頻率成分的信號，需要先選擇合適的頻域IMF分量再進行合成，否則達不到預期效果。定義信號的基本模態(tài)（Basic Mode，BM）為時頻平面上頻率集中的鄰域，則對于構成信號的BM數(shù)量已知，此方法尚可達到要求；若其數(shù)量未知，則頻域分量合成的不準確會極大地影響EMD分析結果。針對以上問題，本文提出一種基于時頻聯(lián)合分布的經(jīng)驗模態(tài)分解方法，擴展EMD的使用范圍。

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3 基于自適應核函數(shù)的時頻聯(lián)合分布

Cohen將眾多的時頻聯(lián)合分布用統(tǒng)一的形式表示，稱為Cohen類分布。Cohen類分布中的每種時頻分布都可以解釋成以模糊函數(shù)（ambiguous function，AF）為權重的信號的二維傅里葉變換。信號s（t）的Cohen類分布表示為：

其中，g（θ,τ）為核函數(shù)，Az（θ,τ）為模糊函數(shù)，定義為：

其中，z（u）是原始信號s（t）的解析信號，給定不同的g（θ,τ），就可以得到不同形式的時頻分布。如果核函數(shù)應是基于信號自適應變化的則會對廣泛的信號類型都能得到良好的時頻分布。對于給定信號及其模糊函數(shù)，計算基于信號的實的、非負最優(yōu)核函數(shù)g（θ,τ）相當于求解以下最優(yōu)化問題：

式（8）保證了在模糊域實現(xiàn)極大化優(yōu)化準則，信號模糊函數(shù)大的地方，核函數(shù)也要大。在模糊域，信號的自主項過模糊域的原點，與信號的初始頻率無關，并集中在原點附近，所以約束條件為：

約束式限制了核函數(shù)為一個在模糊域體積固定為α，在原點的值為1的低通濾波器，自適應徑向高斯核函數(shù)為[4]：

為了簡化計算，將式（11）轉化為極坐標形式：

在式（9）、（13）的約束條件下，計算式（8）的最優(yōu)值就可得到σ（φ），即σ（φ）的取值與信號的AF相關，所以高斯核函數(shù)是基于信號自適應變化的，滿足設計要求。在模糊域，適當選擇α值，將徑向高斯核函數(shù)和模糊函數(shù)相乘后，原點附近的模糊函數(shù)得以通過，而離原點越遠，受到的抑制就越大，這樣就使自主項最大程度地通過而不造成其能量的損失，同時又能對交叉項起到更好的抑制作用。

4 時頻平面的分段

基于自適應徑向高斯核函數(shù)的時頻分布反映了信號能量的分布，但時頻平面上的一個點，卻不能解釋為信號的瞬時能量。然而，在實驗中發(fā)現(xiàn)，信號時頻分布中幅值最大點的時間中心與時域信號的峰值點具有一定的對應性。根據(jù)這一特點，可對基于DCT的TF-EMD進行改進，即首先在時頻平面上對BCG信號的時頻分布進行分割，實現(xiàn)頻域內(nèi)瞬態(tài)頻率成分的自適應提取，得到構成信號的所有BM。與基于DCT變換的TF-EMD方法相比，改進方法對BM的提取直觀方便，避免了頻域分量選擇不準確對重構的影響。具體算法如下：

（1）利用徑向高斯核函數(shù)對信號計算其聯(lián)合時頻分布。按時間軸提取時頻分布包絡線的最大幅值。

（2）將這些最大值進行曲線擬合，對擬合出的曲線求局部極大值lmax（n），n=1…N1。其作用是保留BCG信號所產(chǎn)生的主要局部極大值點并消除噪聲引起的局部極大值點。

（3）由小到大排列局部極大值序列，并令其為閾值序列threshold（i），i=1…N1。搜索lmax（n），如果lmax（n）＞ thshold（i），記錄該點位置，其中每兩個局部極大值點間的時間長度記為一個偽周期，直至搜索完所有局部極大值點。若第一個局部極大值點與起始點的時間長度大于所有偽周期中的最大值，則也記為一個偽周期。

（4）計算所有偽周期的標準差及其平均值，并求商q（i），i=1…N1。返回（3）直至取完所有閾值，找到使q最小的閾值T。

重新搜索lmax（n），若lmax（n）＞T則i為一個信號周期中的極大值點。以臨近的兩個極大值中心的時刻作為分割點，分段待分析信號及其時頻分布。

5 實驗與分析

經(jīng)過以上分析，文獻[2]中用于分析的兩種信號：

通過EMD，s1將會分解成：

但對于s2，EMD不能將其分解為期望形式：

應用本文所提方法，首先對s2計算基于自適應核函數(shù)的時頻聯(lián)合分布，如圖1（b）所示。由圖可見，在時頻域，信號明顯被分割成2部分。提取其時頻分布的包絡后，可將其分解為式（18）和式（19）期望形式的信號，本文所提方法可計算信號的最優(yōu)時頻聯(lián)合分布并可自適應地對信號進行EMD處理。

圖1 基于時頻聯(lián)合分布EMD的信號處理結果

6 結束語

針對EMD與基于DCT變換的TF-EMD的不足，提出對在持續(xù)時間內(nèi)由相似頻率成分構成的信號，首先計算基于自適應徑向高斯核函數(shù)的時頻聯(lián)合分布，再根據(jù)其時頻分布中幅值最大點的時間中心與時域信號的峰值點具有一定對應性的特征，在時頻平面上分割，提取IMF的方法。實驗結果說明，該方法可自適應提取待處理信號中的所有BM，解決了EMD方法不能處理在持續(xù)時間內(nèi)含有相似頻率成分信號，及基于DCT變換的TF-EMD中需要選擇頻域重構分量的問題，擴展了EMD方法的使用范圍。

[1]Wu Z H,Huang N E.Ensemble empirical mode decomposition: a noise-assisted data analysis method [J].Advance in adaptive data analysis,2009,1（1）: 1-41.

[2]Stevenson N,Mesbah M,Boashash B,et al.A joint timefrequency empirical mode decomposition for nonstationary signal separation [C].9thInternational symposium signal processing and its applications,Sharjah: IEEE,2007: 1-4.

[3]Choi H I,Williams W.J.Improved time-frequency representation of multicomponent signals using exponential kernels [J].IEEE transactions on acoustics,speech,and signal processing,1989,37（6）: 862-871.

[4]Richard G.B,Douglas L J.A signal-dependent timefrequency representation: optimal kernel design [J].IEEE transaction on signal processing,1993,41（4）:1589-1602.

[5]Patrick F,Gabriel R,Paulo G..Empirical mode decomposition as a filter bank [J].IEEE signal processing letters,2004,11（2）: 112-114.