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    基于Backstepping的機器人有限時間跟蹤控制研究

    2013-09-17 12:11:02劉海濤張鐵
    機床與液壓 2013年15期
    關(guān)鍵詞:伺服電機魯棒性控制算法

    劉海濤,張鐵

    (1.廣東海洋大學(xué)工程學(xué)院,廣東湛江524088;2.華南理工大學(xué)機械與汽車工程學(xué)院,廣東廣州510640)

    工業(yè)機器人的運動精度不僅依賴于零部件的制造和裝配精度,以及運動學(xué)標定效果,而且與運動控制模型參數(shù)的精確程度和外部干擾密切相關(guān)。但在進行基于模型的控制器設(shè)計時,常常不得不忽略某些不確定性因素,如高頻動態(tài)特性、運動部件間的摩擦、信號的檢測噪聲等,而這些因素往往成為影響軌跡跟蹤精度的主要原因。因而一些現(xiàn)代的非線性魯棒控制算法受到研究者的關(guān)注,如自適應(yīng)控制、滑模變結(jié)構(gòu)控制和魯棒控制等。其中有限時間控制具有較好的瞬時響應(yīng)特性和較高的跟蹤精度,因而特別適合于工業(yè)機器人系統(tǒng)的高品質(zhì)控制。有限時間控制[1-2]是指系統(tǒng)狀態(tài)能在有限時間內(nèi)收斂至平衡點,常見的有限時間控制方法有齊次系統(tǒng)方法[3],有限時間Lyapunov函數(shù)構(gòu)造法[4]、終端滑??刂疲?-7]等。這些控制方法近年來的在機器人控制領(lǐng)域取得了許多研究成果,如文獻[8]采用齊次系統(tǒng)方法結(jié)合PD和重力補償策略提出了一種有限時間穩(wěn)定的機器人控制方法,可獲得局部的有限時間穩(wěn)定。文獻 [9]提出的一種非線性PD+機器人控制器卻是全局有限時間穩(wěn)定的,僅把傳統(tǒng)PD控制的線性位置誤差項代換為誤差的分數(shù)冪形式,卻獲得了更好的控制性能。文獻 [10]利用Backstepping方法構(gòu)造了一種有限時間控制器,但只考慮了機器人的位置控制。最近,文獻 [11]提出了基于逆動力學(xué)方法的全局有限時間機器人跟蹤控制方法,同樣也是對機器人的傳統(tǒng)逆動力學(xué)方法加以修正,通過Lyapunov直接穩(wěn)定性理論和有限時間穩(wěn)定理論證明了全局有限時間穩(wěn)定性。但是文獻 [11]假設(shè)了機器人的動力學(xué)模型是完全精確已知的,并且未考慮各種不確定性因素的影響,如未建模動力學(xué)、模型誤差、干擾力矩和摩擦力等,眾所周知,六自由度工業(yè)機器人的動力學(xué)模型是相當復(fù)雜難以精確獲得的,因而其魯棒性難以保證。

    結(jié)合工業(yè)機器人的實際應(yīng)用,并考慮了常用交流伺服電機的動力學(xué)特性,利用Backstepping方法設(shè)計了一種具有強魯棒性且有限時間穩(wěn)定的機器人軌跡跟蹤控制方法。

    1 問題的描述

    1.1 機器人的動力學(xué)方程

    根據(jù)拉格朗日原理,對于一個多輸入多輸出的n自由度工業(yè)機器人系統(tǒng),其動力學(xué)方程可表示為

    為實現(xiàn)器人的高精度控制,必須同時考慮交流伺服電機的動力學(xué)特性,即機器人n個關(guān)節(jié)上交流伺服電機的動力學(xué)模型可表示為如下形式:

    式中:τm∈Rn是電磁扭矩向量;qm∈Rn是電機轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)角向量;τL∈Rn是電機的負載扭矩向量;Jm∈Rn×n為瞬時慣性矩陣;Dm∈Rn×n是電機阻尼系數(shù)矩陣;u∈Rn為電壓輸入向量。這里假設(shè)采用三菱交流伺服電機,在轉(zhuǎn)矩模式下,輸入電壓與輸出轉(zhuǎn)矩成正比,因此得出式 (3),實際上忽略了交流伺服電機矢量控制的動態(tài)特性。

    另外,機器人關(guān)節(jié)角與電機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角的關(guān)系如下:

    其中N∈Rn×n為機器人n個關(guān)節(jié)的減速比矩陣。

    由式 (1)— (4)可得,機器人-電機的動力學(xué)模型可表示為

    實際上,模型 (5)的相關(guān)參數(shù)是很難甚至不可能精確獲得的,因此基于模型的控制方法不得不考慮參數(shù)不確定性的影響。為便于分析與設(shè)計,假設(shè)計實際的動力學(xué)參數(shù)可以表達為如下形式:

    其中:

    其中,a0,a1,a2,ε均為大于零的常數(shù),通常利用試差法可以獲得,對于旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的工業(yè)機器人來說,關(guān)節(jié)位置及速度是有界的,因而上述假設(shè)是符合實際的。

    1.2 相關(guān)定理

    引理1.假設(shè)存在連續(xù)可微函數(shù)V(x):U→Rn,使其滿足下列條件:

    (1)V(x)正定;

    (2)存在正實數(shù)c>0和0<α<1,以及一個包含原點的開鄰域U0?U,使得下列條件成立條件:

    則系統(tǒng) (7)為有限時間穩(wěn)定的,若U=U0=Rn,則系統(tǒng) (7)為全局有限時間穩(wěn)定的。并且系統(tǒng)在初始狀態(tài)x(0)=x0下的調(diào)整時間滿足:

    其中V(x0)是V(x)的初始值。

    引理2.對于任意正實數(shù)a,b和0<λ<2,有以下不等式成立:

    引理3.對于任意正實數(shù)a,b和0<λ<2,有以下不等式成立:

    1.3 問題的描述

    機器人有限時間軌跡跟蹤控制的目的就是使機器人的關(guān)節(jié)變量q能有效地跟蹤期望的關(guān)節(jié)量qd,并且使跟蹤誤差e能在有限時間內(nèi)收斂至零,其中e(t),∈Rn分別定義為e=q-qd,。

    2 控制器設(shè)計

    為了便于控制器的設(shè)計和分析,Sig(·)α向量定義如下:

    其中 ξ= [ξ1,…,ξn]T∈Rn,0 < α <1,sgn(·)是標準的符號函數(shù),定義如下:

    令x1=e,x2=,則動力學(xué)系統(tǒng)(7)可表示為:

    其中

    為獲得系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定,引入輔助控制量φ (x1)∈Rn,并且φ (0)=0。令誤差變量z=x2-φ(x1),則式 (16)可表示為

    通過Backstepping方法來設(shè)計控制器u,以獲得系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定。

    第一步:定義Lyapunov函數(shù)

    則其導(dǎo)數(shù)為

    為實現(xiàn)系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定,須保證式 (20)滿足引理1的條件 (2),因而設(shè)計輔助控制量φ (x1)= - K1Sig(x1)α,其中 K1=diag(k11,k12,…,k1n),并代入式 (20)可得

    如果z=0,則有

    為此,需要進行下一步設(shè)計。

    第二步:定義Lyapunov函數(shù)

    對V2求導(dǎo)并將式 (18)代入得:

    其中 K2=diag( k21,k22,…,k2n),定義 μ=(1+α)/2,1/2<μ<1,將式 (25)代入式 (24)可得

    顯然,由引理1可知,該系統(tǒng)是有限時間穩(wěn)定的。但是由于不確定性集合函數(shù)ρ(q,,)是未知的,因此控制器 (23)是無法實際應(yīng)用的?;诖耍胱兘Y(jié)構(gòu)項以提高對不確定性的魯棒性,即將控制器設(shè)計為:

    其中 K3=diag(k31,k32,…,k3n)。

    證明:將控制器式 (27)代入式 (24),可得

    如果選擇k3i≥ε,則有

    因此,由引理1可知,系統(tǒng) (18)是全局有限時間穩(wěn)定的,并且系統(tǒng)在初始狀態(tài)下的調(diào)整時間為

    說明1:由于變結(jié)構(gòu)項的引入提高了系統(tǒng)的魯棒性,但是系統(tǒng)的高頻切換會產(chǎn)生“抖振”現(xiàn)象,容易激發(fā)高頻未建模的動力學(xué),重則會損壞物理器件。因此,為避免產(chǎn)生“抖振”,引入邊界層的方法加以消除,但這會犧牲控制精度,實際應(yīng)用時,需要加以權(quán)衡。

    其中δ為較小的正常數(shù),稱為邊界層厚度。

    說明2:由于φ(x1)=-K1Sig(x1)α,當x1i=0時,φ(x1)的導(dǎo)數(shù)可能會產(chǎn)生奇異,因此對其修正如下:

    說明3:冪指數(shù)α的選擇會影響控制效果,α越小,誤差收斂速度越快,但所需的控制量越大,重則也會產(chǎn)生“抖振”,因此通常選擇0.6<α<0.8。

    3 仿真

    為驗證文中控制算法的有效性,現(xiàn)對2自由度的工業(yè)機器人進行數(shù)值仿真,其動力學(xué)模型如下:

    機器人的實際動力學(xué)參數(shù)和估計動力學(xué)參數(shù)見表1,交流伺服電機的動力學(xué)參數(shù)為Jm=diag(0.67×10-4,0.42 ×10-4),Dm=diag(0.21,0.15),N=diag(8,1),Kτ=diag(19/40,19/80)。控制系統(tǒng)的輸入?yún)⒖夹盘枮閝d1=sin(2πt),qd2=sin(2πt),系統(tǒng)的初始狀態(tài)為q1(0)=0.5,q2(0)=0.5,引入外界干擾信號τd=0.001+0.002q+0.005。控制器的相關(guān)參數(shù)設(shè)置如下:K1=diag(20,20),K2=diag(30,30),K3=diag(5,5),α=0.7,δ=0.1,Δ=0.1。

    為說明所提控制算法 (簡記為BFTC)的優(yōu)點,與Yusin SU等人[11]提出的有限時間逆動力學(xué)跟蹤控制方法 (簡記為FIDC)進行比較,該控制算法為:

    其中 Kp=diag(50,40),Kd=diag(20,20),α1=0.5,α2=2α1/(α1+1)=2/3。

    表1 機器人的物理參數(shù)

    仿真結(jié)果如圖1—3所示,由圖1—2可以看出,所提控制方法 (BFTC)的軌跡跟蹤位置誤差、速度誤差均遠小于文獻 [11]的控制算法,具有較強的魯棒性,即使存在較大參數(shù)不確定性和外界干擾的情況下,仍能獲得滿意的跟蹤性能,并且在兩種算法情況下所需的控制量相當。另外該算法的瞬時響應(yīng)速度更快,但初始時刻需要稍大的控制量,保證了系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定。而文獻 [11]的控制算法 (FIDC)假設(shè)了機器人的動力學(xué)模型精確已知,雖獲得了系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性能,但魯棒性難以保證,因而不適合用于工業(yè)機器人的實際控制。

    圖1 軌跡跟蹤誤差

    圖2 速度跟蹤誤差

    圖3 控制輸入量

    4 結(jié)論

    結(jié)合工業(yè)機器人的實際情況,綜合考慮了交流伺服電機的動力學(xué)特性,通過Backstepping的遞推方法設(shè)計的有限時間穩(wěn)定控制器,一方面保證了跟蹤誤差的有限時間收斂,瞬時特性好;另一方面引入了變結(jié)構(gòu)項,增強了系統(tǒng)的魯棒性。在機器人動力學(xué)參數(shù)未精確已知和存在外界干擾的情況下,仍能獲得滿意的控制效果。通過與其他有限時間控制算法的仿真比較,說明該算法是有效的、可行的。

    【1】BHAT S P,BEMSTEIN D S.Finite-time Stability of Homogeneous systems[C]//Proceeding of the American Control Conference,Albuquerque,New Mexico,1997:2513 -2514.

    【2】HAIMO V T.Finite Time Controllers[J].SIAM Journal on Control and Optimization,1986,24(4):760 -770.

    【3】BHAT S P,BEMSTEIN D S.Finite-time Stability of Continuous Autonomous Systems[J].SIAM Journal on Control and Optimization,2000,38(3):751 -766.

    【4】HONG Yiguang,WANG Jiankui,CHENG Daizhan.Adaptive Finite-time Control of Nonlinear Systems with Parametric Uncertainty[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2006,51(5):858 -862.

    【5】TANG Yu.Terminal Sliding Mode Control for Rigid Robots[J].Automatica,1998,34(1):51 -56.

    【6】FENG Yong,YU Xinghuo,MAN Zhihong.Non-singular Terminal Sliding Mode Control of Rigid Manipulators[J].Automatica,2002,38(12):2159 -2167.

    【7】NEILA Mezghani,DAMAK Tarak.Adaptive Terminal Sliding Mode Control for Rigid Robotic Manipulators[J].International Journal of Automation and Computing,2011,8(2):215-220.

    【8】HONG Yiguang,XU Yangsheng,HUANG Jie.Finite-time Control for Robot Manipulators[J].Systems& Control Letters,2002,46(4):243 -253.

    【9】SU Yuxin.Global Continuous Finite-time Tracking of Robot Manipulators[J].International Journal of Robust and Nonlinear Control,2009,19(17):1871 -1885.

    【10】ZHAO D,LI S,ZHU Q,et al.Robust Finite-time Control Approach for Robotic Manipulators[J].Control Theory &Applications,IET,2010,4(1):1 -15.

    【11】SU Yuxin,ZHENG Chunhong.Global Finite-time Inverse Tracking Control of Robot Manipulators[J].Robotics and Computer-Integrated Manufacturing,2011,27(3):550 -557.

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