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    2013年高考數(shù)學(xué)三角函數(shù)問題賞析及啟示

    2013-09-17 01:14:36安徽省六安市第二中學(xué)楊興軍郵編237005
    關(guān)鍵詞:圖象解析試題

    安徽省六安市第二中學(xué) 吳 斌 楊興軍 (郵編:237005)

    三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主體內(nèi)容,是高考的重點.近幾年高考已摒棄了對復(fù)雜三角變換和特殊技巧的考查,將重心轉(zhuǎn)移到三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查,對基礎(chǔ)知識和基本技能、基本思想的考查上,分析2013年高考題中的三角函數(shù)試題,可歸納為以下幾種類型.

    1 純?nèi)菃栴}

    1.1 考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

    例1 (2013年高考大綱卷理12)已知函數(shù)f(x)=cosxsin2x,下列結(jié)論中錯誤的是( )

    A.y=f(x)的圖象關(guān)于點(π,0)中心對稱

    B.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱

    C.f(x)的最大值為

    D.f(x)既是奇函數(shù),又是周期函數(shù)

    解析1 (排除法)

    因為f(π+x)+f(π-x)=0,所以f(x)關(guān)于點(π,0)中心對稱,排除選項A;

    因為f(+x)=f(-x)=sinxsin2x,所以f(x)關(guān)于直線x=對稱,排除選項B;

    由正、余弦函數(shù)性質(zhì)可知,f(x)既是奇函數(shù),又是周期函數(shù),排除選項D.

    解析2 (直接法)

    評注 此函數(shù)不是標(biāo)準(zhǔn)型三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ)),一般不能用它們的相應(yīng)結(jié)論,可用下式檢驗其性質(zhì):

    f(a+x)+f(a-x)=0?f(x)關(guān)于點(a,0)對稱;

    f(a+x)-f(a-x)=0?f(x)關(guān)于直線x=a對稱;

    至于周期性、奇偶性可用定義判斷.

    1.2 考查三角函數(shù)的圖象與解析式

    例2 (2013年高考四川卷,理5)函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,-<φ<)的部分圖象如圖所示,則ω,φ的值分別是( )

    評注 利用圖象求y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式主要從以下三個方面考慮:(1)根據(jù)最大值或最小值求出A的值;(2)根據(jù)周期求出ω的值;(3)根據(jù)函數(shù)圖象上某一特殊點(若是最值點或與y軸交點就用代入法,若是與x軸交點,可用五點法)求出φ的值.

    1.3 考查三角恒等變換

    解析1 (直接法)兩邊平方,再同時除以cos2α,解得tanα=3或-,由倍角公式得tan2α=-.

    例5 (2013年高考重慶卷,理9)4cos 50°-tan 40°= ( )

    評注 三角恒等變換的通性通法是:從函數(shù)的名、角、次三方面進(jìn)行差異分析,再利用三角變換使異名化同名、異角化同角、高次化低次等,化角時“換元法”、“拼湊法”需強化.如考題:

    2 與其他知識的綜合

    2.1 與數(shù)列、方程、導(dǎo)數(shù)的綜合

    例5 (2013年高考福建卷,理20)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的周期為π,圖象的一個對稱中心為(,0),將函數(shù)f(x)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再將所得到的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象.

    (Ⅰ)求函數(shù)f(x)與g(x)的解析式;

    (Ⅲ)求實數(shù)a與正整數(shù)n,使得F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)內(nèi)恰有2013個零點.

    解 析 1 (Ⅰ)f(x) = cos2x,g(x) =sinx(過程略);

    解析2 僅分析(Ⅲ),依題意,F(xiàn)(x)=asinx+cos2x=-2sin2x+asinx+1.

    設(shè)t=sinx,F(xiàn)(x)=p(t)=-2t2+at+1(-1≤t≤1),借助圖象利用x、t、F(x)之間對應(yīng)關(guān)系可知a≠±1時,函數(shù)F(x)在(0,nπ)總有偶數(shù)個零點(不合題意);而a=±1時,情況同解析1.

    說明 本題考查的知識、方法、思想都很豐富,綜合性強,考生答題效果較差,但知識交匯方式比較新穎,值得關(guān)注.

    2.2 與函數(shù)的綜合

    A.[1,e] B.[e-1-1,1]

    C.[1,e+1] D.[e-1-1,e+1]

    解析 因為y0=sinx0∈[-1,1],而f(x)≥0,f(f(y0))=y(tǒng)0,所以y0∈ [0,1].

    所以問題化為①有解,即ex+x-x2=a在x∈[0,1]上有解,令g(x)=ex+x-x2,由導(dǎo)數(shù)知識(二次求導(dǎo))可知g(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,所以g(0)≤a≤g(1),故選A.

    說明 學(xué)生解決本題時,主要障礙是不能正確獲得y0的范圍以及將原問題化為①有解.

    2.3 與常用邏輯用語的綜合

    例7 (2013年高考北京卷,理3)“φ=π”是“曲線y=sin(2x+φ)過坐標(biāo)原點”的( )

    A.充分而不必要條件

    B.必要而不充分條件

    C.充分必要條件

    D.既不充分又不必要條件

    解析 由sinφ=0可得φ=kπ(k∈Z),此為曲線y=sin(2x+φ)過坐標(biāo)原點的充要條件,故選A.

    2.4 與平面向量的綜合

    例8 (2013年高考遼寧卷,理17)設(shè)向量a= (sinx,sinx),b= (cosx,sinx),x∈.(Ⅰ)若,求x的值;(Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)=a·b,求f(x)的最大值.

    2.5 與解三角形、不等式的綜合

    例9 (2013年高考全國卷 Ⅱ,理17)ΔABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c,已知a=bcosC+csinB.

    (Ⅰ)求B;

    (Ⅱ)若b=2,求ΔABC面積的最大值.

    解析 (Ⅰ)由已知及正弦定理得

    由 ①② 和C∈ (0,π)得sinB=cosB.

    又B∈ (0,π),所以B=.

    說明 三角題一般用平面向量進(jìn)行“包裝”,講究知識的交匯性,或?qū)⑷呛瘮?shù)與解三角形“縱聯(lián)橫拓”,講究知識的系統(tǒng)性,是高考題中必考內(nèi)容,大部分以解答題的形式出現(xiàn).

    3 兩點啟示

    3.1 “堅持以本為本”.

    這不應(yīng)是一句空話,2010年四川省考余弦差角公式,50萬考生完全做對的不到500人,2011年陜西省考余弦定理證明,結(jié)果也很不理想,只有0.45的得分率(均分5.43分,其中的4分還是要求學(xué)生敘述定理的得分).“堅持以本為本”就是要堅持“三基”的教學(xué),要狠抓基本知識,基本方法,基本思想的教學(xué);就是要堅持“過程的教學(xué)”,注意知識發(fā)生發(fā)展的過程,充分挖掘課本中每一個概念的內(nèi)涵及與它相關(guān)聯(lián)的知識之間的聯(lián)系,形成知識網(wǎng)絡(luò);就是要堅持“數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)”,近幾年各地高考命題作了些有益的嘗試,如試題中出現(xiàn)了不少考查數(shù)學(xué)概念的本質(zhì),學(xué)生若能抓住數(shù)學(xué)概念的本質(zhì),把題看“化”,也就能很快看出思路、方法、結(jié)果,從而提高解題速度、效率,高考對中學(xué)教學(xué)具有反撥作用,希望老師們能關(guān)注.

    3.2 堅持培養(yǎng)學(xué)生的審讀能力.

    筆者個人認(rèn)為:

    (1)教學(xué)中,教師決不能代替學(xué)生的讀題、審題;

    (2)教學(xué)中,教師必須為學(xué)生的讀題、審題提供較為充分的時間與空間;

    (3)教學(xué)中,要逐步強化學(xué)生的審讀能力的訓(xùn)練,逐步縮短學(xué)生審讀試題所花費的時間,逐步做到對試題審讀1-2遍,就能正確提取、篩選相關(guān)信息,確定好解題方案.

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