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    平面幾何知識解決2013年高考解析幾何問題的六個切入點

    2013-09-17 01:14:32福建省寧德市民族中學(xué)鄭一平郵編355000
    關(guān)鍵詞:切入點重合圓心

    福建省寧德市民族中學(xué) 鄭一平 (郵編:355000)

    解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容,也是高考考查的重要內(nèi)容之一.它的特點是用代數(shù)方法研究解決幾何問題,關(guān)鍵是用“數(shù)形結(jié)合”的思想把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.尤其是新課程改革增加了平面向量與導(dǎo)數(shù)之后,向量、導(dǎo)數(shù)與解幾的交匯更成為高考的熱點問題之一.這類問題涉及知識面廣、綜合性強(qiáng)、題目新穎、靈活多樣,有時解題過程繁雜,許多學(xué)生經(jīng)常出錯.實際上涉及解析幾何問題若能充分挖掘問題條件中隱含的幾何特征,利用平面幾何知識去解決,則能化難為易、化繁為簡,收到意想不到的效果.下面從2013年高考試題談平面幾何在解析幾何中的應(yīng)用時的六個切入點.

    1 以圓冪定理為切入點

    例1 (2013年福建高考文科試題)如圖1,拋物線E∶y2=4x的焦點為F,準(zhǔn)線l與x軸的交點為A.點C在拋物線E上,以C為圓心,|OC|為半徑作圓,設(shè)圓C與準(zhǔn)線l交于不同的兩點M、N.

    (I)若點C的縱坐標(biāo)為2,求|MN|;

    (II)若|AF|2=|AM|·|AN|,求圓C的半徑.

    分析與略解 本題主要考查拋物線的方程、圓的方程與性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識.問題(1)比較簡單.問題(2)根據(jù)條件圓心C在拋物線上且過原點,按常規(guī)思路有標(biāo)準(zhǔn)答案中的解法:

    (Ⅰ)拋物線y2=4x的準(zhǔn)線l的方程為x=-1,由點C的縱坐標(biāo)為2,得點C坐標(biāo)(1,2),所以點C到準(zhǔn)線l的距離d=2,又|CO|=.所以

    (Ⅱ)抓住圓的幾何特征結(jié)合垂徑定理,從圓冪定理為切入點有下列簡潔解法:

    設(shè)圓C與x軸交于不同的兩點O、G.由圓冪定理知:|AO|·|AG|=|AM|·|AN|.

    評析 涉及拋物線與圓的位置關(guān)系問題,關(guān)鍵要抓住圓心在拋物線上、圓過原點這些幾何特征,結(jié)合垂徑定理和根與系數(shù)關(guān)系得問題解.方(II)根據(jù)條件抓住幾何特征通過圓冪定理解決,顯然比標(biāo)準(zhǔn)答案所給的方法簡單明了,關(guān)鍵就是充分利用了圓的幾何性質(zhì)化難為易、化繁為簡,收到事半功倍的效果.下面再舉數(shù)例說明:

    2 以平面幾何中面積比、線段比為切入點

    例2 (2013年湖北高考試題)如圖2,已知橢圓C1與C2的中心在坐標(biāo)原點O,長軸均為MN且在x軸上,短軸長分別為2m、2n(m>n),過原點且不與x軸重合的直線l與C1、C2的四個交點按縱坐標(biāo)從大到小依次為A、B、C、D.記λ=m,△BDM和△ABN的面積分別為S1和S2.

    (Ⅰ)當(dāng)直線l與y軸重合時,若S1=λS2,求λ的值;

    (Ⅱ)當(dāng)λ變化時,是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得S1=λS2?并說明理由.

    分析與略解 根據(jù)條件涉及線段的比以及三角形面積問題,因此抓住圖形間的幾何關(guān)系從線段成比例為切入點思考比較佳.

    故當(dāng)直線l與y軸重合時,若S1=λS2,則λ=+1.

    解法2 如圖3,若直線l與y軸重合,則|BD|=|OB|+|OD|=m+n,|AB|=|OA|-|OB|=m-n.

    根據(jù)對稱性可知xC=-xB,xD=-xA,于是

    解法2 如圖4,若存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得S1=λS2.根據(jù)對稱性,

    不妨設(shè)直線l:y=kx(k>0),點M(-a,0),N(a,0)到直線l的距離分別為d1、d2,則

    評析 本題若能通過條件結(jié)合圖形抓住三角形面積與邊或高的關(guān)系,利用比例推理計算求得結(jié)果,過程涉及點到直線距離和弦長等公式的應(yīng)用,通過圖形中的幾何特征的挖掘發(fā)現(xiàn)解題思維突破口是解題的關(guān)鍵.

    3 以兩圓圓心距與兩半徑間的位置關(guān)系為切入點

    例3 (2013年高考新課標(biāo)卷I)已知圓M:(x+1)2+y2=1,圓N∶(x-1)2+y2=9,動圓P與M外切且與圓N內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線C.

    (Ⅰ)求C的方程;

    (Ⅱ)l是與圓P,圓M都相切的一條直線,l與曲線C交于A,B兩點,當(dāng)圓P的半徑最長時,求|AB|.

    分析與略解 由已知得圓M的圓心為M(-1,0),半徑r1=1,圓N的圓心為N(1,0),半徑r2=3.設(shè)動圓P的圓心為P(x,y),半徑為R.

    (Ⅰ)由圓P與圓M外切且與圓N內(nèi)切1即|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4,由橢圓的定義可知,曲線C是以M、N為左右焦點,長半軸長為2,短半軸長為的橢圓(左頂點除外),其方程為

    (Ⅱ)對于曲線C上任意一點P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,即R≤2,當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時,R=2.所以當(dāng)圓P的半徑最長時,其方程為(x-2)2+y2=4,當(dāng)l的傾斜角為90°時,l與y軸重合,可得|AB|=2.

    評析 涉及圓與圓、圓與直線位置關(guān)系問題抓住圓的幾何特征,結(jié)合垂徑定理、點線距離、弦長公式等溝通條件與結(jié)論間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

    4 以向量的幾何意義為切入點

    例4 (2013年上海市春季高考試題)已知拋物線C:y2=4x的焦點為F.

    (2)在x軸上是否存在點Q,使得點Q關(guān)于直線y=2x的對稱點在拋物線C上?如果存在,求所有滿足條件的點Q的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.

    分析與略解 由條件直接利用向量的幾何意義求解.(1)設(shè)動點P的坐標(biāo)為(x,y),點A的坐標(biāo)為(xA,yA),則= (x-xA,y-yA),因為F的坐標(biāo)為(1,0),所以= (xA-1,yA),由=-2得(x-xA,y-yA)=-2(xA-1,yA).

    得到動點P的軌跡方程為y2=8-4x.

    (2)設(shè)點Q的坐標(biāo)為(t,0).點Q關(guān)于直線y=2x的對稱點為Q′(x,y),

    若Q′在C上,將Q′的坐標(biāo)代入y2=4x,得4t2+15t=0,即t=0或t=-.所以存在滿足題意的點Q,其坐標(biāo)為(0,0)和(-,0).

    5 以特殊三角形的性質(zhì)、幾何特征為切入點

    (Ⅱ)記直線AP、BP、AQ、BQ的斜率分別是k1、k2、k3、k4,求證:k1·k2+k3·k4為定值;

    (Ⅲ)過Q作垂直于x軸的直線l,直線AP、BP分別交l于M、N,判斷△PMN是否可能為正三角形,并說明理由.

    分析與略解 本題考查直線、橢圓、雙曲線等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力和探究能力,數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.

    (Ⅲ)解法1 由條件假設(shè)△PMN為正三角形,下面分點P在x軸上方和下方兩種情況:

    綜合上述,當(dāng)a=且點P為橢圓的頂點(0,b)或(0,-b)時,△PMN為正三角形.

    解法2 分析條件中隱含的幾何特征,考慮用等腰三角形兩底角相等幾何性質(zhì)處理:假設(shè)△PMN為正三角形,則 ∠MPN= ∠PMN=60°,又MN⊥x軸,則 ∠PAB=30°,∠PBA=30°,即ΔPAB為等腰三角形.

    綜合上述,當(dāng)a=且點P為橢圓的頂點(0,b)或(0,-b)時,△PMN為正三角形.

    評析 顯然問題(III)的解法2過程直觀簡潔,避免了分類討論和計算.關(guān)鍵就在于抓住了等腰三角形的幾何特征.

    6 以圓錐曲線的幾何意義為切入點

    例6 已知動圓A經(jīng)過點B(1,0),且和直線x+1=0相切.(1)求圓心A的軌跡E方程;(2)設(shè)點P(x0,y0)為曲線E上的任意一點,點M的坐標(biāo)為(x0+2,0),過點M作直線PB的垂線,垂足為N,當(dāng)x0變化時,線段PN的長度是否為定值?若是,請寫出這個定值,并證明你的結(jié)論;若不是,請說明理由.

    分析與略解 本小題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)、直線的方程及其位置關(guān)系、點到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想.

    (I)解法1 (定義法)依題意,由拋物線定義知,軌跡E是以B(1,0)為焦點,直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線,所以軌跡E的方程是y2=4x.

    所以軌跡E的方程是y2=4x.

    (II)線段PN的長度為定值2,證明如下:

    解法1 當(dāng)x0=1時,點P(1,±2),PB⊥x軸,點N與點B重合,|PN|=|PB|=2.

    綜上,線段PN的長度為定值2,

    綜上,線段PN的長度為定值2.

    解法3 (幾何法)當(dāng)x0=1時,點P(1,±2),PB⊥x軸,點N與點B重 合,|PN|=|PB|=2.當(dāng)y0=0時,點P(0,0),點M(2,0),點N與點M重合.|PN|=|PM|=2.當(dāng)x0≠1且y0≠0時,過點P作PH⊥x軸于H,則|MH|=2.

    因為|PB|=x0+1,|MB|=x0+1,,所以|PB|=|MB|,所以RtΔPBH≌RtΔMBN.得|BH|=|BN|,因此|PN|=|MH|=2.

    綜上,線段PN的長度為定值2.

    以上可以看出,平面幾何在解析幾何中有著廣泛的應(yīng)用,在解題中要有幾何意識,善于挖掘條件中隱含的幾何因素,結(jié)合有關(guān)知識去解決.

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