不變子空間在周期解析信號中的應(yīng)用*

譚立輝，張志剛

(廣東工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東廣州 510006)

1936 年，Armstrong［1］發(fā)現(xiàn)在通信信號對正弦信號進行調(diào)制，可以有效抑制噪聲，人們隨之對調(diào)頻信號中的“頻率”這一物理量展開研究。1937年，Carson等人［2］在電路理論中推廣了頻率的定義，使之成為隨時間變化的函數(shù)。如果實信號f(t)被描述成ρ(t)cos θ(t)的形式，那么把瞬時頻率定義為相位的導(dǎo)數(shù)是很自然的，因為它在時間范圍內(nèi)的平均值就是瞬時頻率。但我們知道，對于給定的實信號f(t)，可以寫出很多種形如ρ(t)cos θ(t)的形式，因此如何選取合適［ρ(t)，θ(t)］用來定義瞬時頻率是當(dāng)時困擾科學(xué)家的一個問題。這個問題直到1946年，才由Gabor［3］引入的解析信號方法得到解決。在此研究的基礎(chǔ)上，Ville［4］在1948年給出了一種統(tǒng)一的瞬時頻率的定義:

在信號處理中，我們把ρ(t)，θ(t)分別稱為信號的幅度和相位，ωf(t)=［θ(t)］稱為信號的瞬時頻率，而稱之為共軛周期解析信號。

用解析信號的方法求幅度、相位和瞬時頻率已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于通信和系統(tǒng)鑒定等領(lǐng)域，但用此方法求得的幅度、相位和瞬時頻率也存在一些無法合理解釋的物理現(xiàn)象，比如說，用解析信號的方法求得的瞬時頻率可以不是頻譜中的頻率之一，解析信號的頻譜對于負頻率為零，但瞬時頻率卻可以是負的［5－6］。因此，我們希望求得的相位幅度對［ρ(t)，θ(t)］不僅滿足等 式［ρ(t)cosθ(t)］=ρ(t)sinθ(t)，而且還能進一步滿足 Bedrosian等式［7］

通過對Bedrosian等式的研究，我們發(fā)現(xiàn)這個等式成立的一個條件就是周期解析信號與共軛周期解析信號的乘積必須是周期解析信號［8－9］。因此在本文中，我們將利用后移不變子空間的結(jié)論，給出周期解析信號與共軛周期解析信號的乘積仍為周期解析信號的充要條件。特別地，當(dāng)周期解析信號對應(yīng)的Z變換過圓周解析時，其對應(yīng)的共軛周期解析信號是有理函數(shù)且此有理函數(shù)的極點恰為周期解析信號對應(yīng)的Z變換的零點。作為上述結(jié)論的應(yīng)用，我們研究了具有長度為n的Fourier級數(shù)的周期解析信號保持幅度不變的條件。

1 若干引理

其中sgn表示符號函數(shù)，當(dāng)k≠0，sgn(k)=k/|k|;當(dāng)k=0，sgn(k)=0。自然周期解析信號具有下面Fourier級數(shù)展開形式:

引理1［10］假設(shè)不恒等于零的函數(shù)f(z)∈aHp(D)，1≤p＜∞ 。那么對于z∈D，fa(z)有唯一的分解:fa(z)=Ofa(z)Ifa(z)，其中Ofa(z)∈Hp(D)是fa(z)對應(yīng)的外部函數(shù)，它能表示成下面的形式

其中c是模為1的復(fù)常數(shù);Ifa(z)是其對應(yīng)的內(nèi)部函數(shù)，它能進一步分解為Ifa(z)=Bfa(z)Sfa(z)，其中Bfa(z)是由fa(z)的零點構(gòu)成的Blaschke積，它可表示為:

其中 {zi}是fa(z)在單位圓D上的零點序列 (其重點按重數(shù)計算)，m表示fa(z)在z=0處的重點數(shù)，而表示zk的共軛;Sfa(z)是奇異內(nèi)函數(shù)。

顯然，對于幾乎處處的t∈［0，2π］，周期解析信號fa(eit)∈H2［0，2π］可分解為

2 主要結(jié)論

那么，對于幾乎處處的t∈［0，2π］，有

因此，對于幾乎處處的t∈［0，2π］，有下面的等式成立

自然，我們有

又因為Ofa(eit)∈H2［0，2π］，h(eit)∈H2［0，2π］，根據(jù) Holder不等式和 F.和 M.Reize定理［10］，所以我們有當(dāng)n＜0時，有cn(fagda)=0。

事實上，上述結(jié)論已經(jīng)被我們運用到對Bedrosian等式的刻畫中去了［11］。作為上述結(jié)果的進一步應(yīng)用，我們將用它來刻畫長度為n的Fourier級數(shù)的周期解析信號保持幅度不變的條件。

記Suppf=［inf{n，cn(f)≠0}，sup{n，cn(f)≠0}］表示f(eit)∈L2［0，2π］的 Fourier級數(shù)支集，令Pm，n［0，2π］表示所有滿足f(eit)∈L2［0，2π］且其支集滿足 Supp［f(eit)］:=［inf{n，cn(f)≠ 0}，sup{n，cn(f)≠0}］?［m，n］的函數(shù)f(eit)的集合，其中m，n為有限整數(shù)。對于Pm，n［0，2π］中的函數(shù)，通過簡單的計算，我們有以下引理:

由引理2，定理1和引理3，我們有:

因此存在h(eit)∈H2［0，2π］使得

顯然地，如果f(eit)∈Pm，n［0，2π］，m＜0＜n，我們知道其對應(yīng)的解析信號fa(eit)∈P0，n［0，2π］。下面，我們刻畫具有有限長Fourier級數(shù)的周期解析信號保持幅度不變的條件:

［1］ARMSTRONG E H.A method of reducing disturbances in radio signaling by a system of frequency modulation［J］.Proceedings of the Institute of Radio Engineers，1936，24(5):689－740.

［2］CARLSON J L，F(xiàn)RY T C.Variable frequency electric circuit theory with application to the theory of frequencymodulation［J］.Bell System Technical Journal，1937，16:513－540.

［3］GABOR D.Theory of communications［J］.Journal Institute of Electrical Engineers，1946，93:429 －457.

［4］VILLE J.Théorie et applications de la notion de signal analytique［J］.Cables et Transmissions，1948，2:61 －74.

［5］BOASHASH B.Estimating and interpreting the instantaneous frequency of a signal［J］.Proceedings of the IEEE，1992，80:520－538.

［6］COHEN L.Time-frequency analysis［M］.New Jersey:Prentice Hall，Englewood Cliffs，1995.

［7］HUANG N E，SHEN Z，LONG S R，et al.The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis［J］.Proceedings of the Royal Society A，1998，454:903－995.

［8］BROWN J.A Hilbert transform product theorem ［J］.Proceedings of the IEEE，1986，74:520－521.

［9］TAN L H，YANG L H，HUANG D R.Construction of periodic analytic signals satisfying the circular Bedrosian identity ［J］.IMA Journal of Applied Mathematics，2010，75(2):246－256.

［10］GARNETT J B.Bounded analytic function［M］.New York:Academic Press，1987.

［11］TAN L H，YANG L H，HUANG D R.The structure of instantaneous frequencies of periodic analytic signals［J］.Science China:Series A，2010，53(2):347 －355.

［12］OPPENHEIM A V，SCHAFER R W.Discrete-time signal processing［M］.New Jersey:Prentice Hall，Englewood Cliffs，1989.