面向動(dòng)態(tài)特性快速求解的銑刀等效建模方法

張 俊，黃保華，趙萬(wàn)華，劉春時(shí)，盧秉恒

（1．西安交通大學(xué)機(jī)械制造系統(tǒng)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710049；2．沈陽(yáng)機(jī)床（集團(tuán)）有限責(zé)任公司高檔數(shù)控機(jī)床國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 沈陽(yáng) 110141）

引 言

高速／超高速加工由于具有效率高、加工精度好等優(yōu)點(diǎn)現(xiàn)已逐步應(yīng)用于航空航天、發(fā)電設(shè)備等行業(yè)的結(jié)構(gòu)件加工上，然而影響其有效高速加工的一個(gè)主要因素就是顫振。在實(shí)際工程中為避免顫振發(fā)生的一個(gè)有效方法是借助于該機(jī)床的切削穩(wěn)定性極限圖（俗稱(chēng)“葉瓣圖”）來(lái)選擇合適的切削參數(shù)［1～3］。采用錘擊法得到葉瓣圖是一種常用的方法，但是該方法費(fèi)時(shí)且適用性差，當(dāng)機(jī)床結(jié)構(gòu)發(fā)生變化時(shí)，其葉瓣圖也會(huì)發(fā)生變化，需重復(fù)使用錘擊法測(cè)試，因此不適合如今生產(chǎn)中頻繁更換刀具和刀柄的各種加工中心。

2000年Schmitz等學(xué)者提出了一種計(jì)算刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)的快速求解方法［4］，該方法通過(guò)將機(jī)床整機(jī)分成若干個(gè)子結(jié)構(gòu)，如刀具、刀柄、主軸以及機(jī)床其他部件，分別計(jì)算或測(cè)試出各子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)，再耦合成整機(jī)的頻響特性，從而得到整機(jī)的切削穩(wěn)定性極限圖。對(duì)于其中的刀具結(jié)構(gòu)，如常用的整體立銑刀，由于刀齒部分較為復(fù)雜，不利于頻響函數(shù)的快速計(jì)算，通常將其等效成均勻直徑梁。Kops和Vo利用刀齒柔度相等（也就是剛度相等）的原則計(jì)算出了其等效梁模型的直徑［5］，對(duì)于所測(cè)試的2齒和4齒立銑刀，等效模型和實(shí)際模型的受力變形誤差大約在2．25%。Zhang等則在當(dāng)量直徑的計(jì)算上采用了刀齒質(zhì)量相等的方法［6］，從最終預(yù)測(cè)的整機(jī)頻響函數(shù)與實(shí)測(cè)結(jié)果來(lái)看，擬合精度較好。而其他絕大部分文獻(xiàn)在計(jì)算刀具頻響時(shí)［7～9］，均不區(qū)分刀桿和刀齒，統(tǒng)一將其等效為一均勻直徑梁，取銑刀最外端的包絡(luò)圓直徑作為等效直徑，這一簡(jiǎn)化大大方便了頻響計(jì)算，但均未提及其帶來(lái)的影響。

刀齒等效模型的準(zhǔn)確建立是影響整機(jī)頻響特性準(zhǔn)確預(yù)測(cè)的一個(gè)重要方面，從目前發(fā)表的文獻(xiàn)來(lái)看，還未有學(xué)者對(duì)此問(wèn)題做一個(gè)系統(tǒng)的研究。因此本文從刀具結(jié)構(gòu)出發(fā)，分別借助于等質(zhì)量、等截面積、等剛度的原則，比較這3種方法在刀具等效模型建立上的優(yōu)缺點(diǎn)，為今后模型的合理建立提供依據(jù)。

1 銑刀等效模型的建立

以整體立銑刀為研究對(duì)象，圖1（a）為某型號(hào)立銑刀，采用激光掃描測(cè)量系統(tǒng)（型號(hào)：Faro P12－7）對(duì)其進(jìn)行三維輪廓掃描，再根據(jù)掃描的點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)體重構(gòu)得到其三維模型，如圖1（b）所示。為了快速計(jì)算銑刀的頻響特性，將其刀齒部分等效為均勻直徑梁，如圖2所示。

圖1 某型號(hào)整體立銑刀Fig．1 Endmill

圖2 整體立銑刀的等效模型Fig．2 Equivalent model of endmill

1．1 等質(zhì)量法（EqM）

根據(jù)刀齒部分質(zhì)量與等效后均勻直徑梁質(zhì)量相等的原則，計(jì)算得出等效模型的直徑dm，如下式所示

式中M為銑刀總質(zhì)量，ρ為刀具材料密度，且ρ＝14 605kg／m3，ds和ls分別為刀桿直徑和長(zhǎng)度，lf為刀齒長(zhǎng)度。

1．2 等截面積法（EqA）

整體立銑刀的刀齒為螺旋形，其截面面積均相等。因此以任一截面為基準(zhǔn)，根據(jù)面積相等的原則，將刀齒截面等效為圓截面，利用下式計(jì)算出等效模型的直徑da

式中Af為刀齒的截面積。如果不考慮刀齒前端和刀齒向刀桿過(guò)渡的局部特征，則等質(zhì)量法計(jì)算所得的dm與等截面積法算出的da是相同的。

1．3 等剛度法（EqK）

將實(shí)際狀況下的刀齒看成一懸臂梁，則其剛度可通過(guò)下式計(jì)算

對(duì)同一長(zhǎng)度梁而言，可以用截面的慣性矩來(lái)表征整個(gè)梁的剛度，因此該方法也稱(chēng)為“等慣性矩”法。根據(jù)刀齒結(jié)構(gòu)等效前后的剛度相等原則，根據(jù)下式計(jì)算出等效模型的當(dāng)量直徑dk

式中k和I分別為刀齒的剛度和二階慣性矩，E為彈性模量，且E＝560GPa。

以圖3中的4把整體立銑刀為研究對(duì)象，其切削齒t分別為2，3，4和6。應(yīng)用以上3種方法對(duì)其等效處理，銑刀的原始結(jié)構(gòu)尺寸（刀齒長(zhǎng)度lf，刀桿長(zhǎng)度ls，刀齒和刀桿直徑d）和等效后的當(dāng)量直徑（等質(zhì)量法dm，等截面積法da，等剛度法dk）如表1所示。由表1可知，無(wú)論是哪把銑刀，等剛度法得到的等效直徑都為最大。

圖3 4種整體立銑刀結(jié)構(gòu)Fig．3 Four endmills used for analysis

表1 4種銑刀的結(jié)構(gòu)參數(shù)與3種等效直徑Tab．1 Geometry and equivalent diameters of four endmills

2 銑刀等效模型的頻響特性

2．1 頻響函數(shù)計(jì)算

等效后的刀桿和刀齒均為均勻直徑梁，考慮到其長(zhǎng)徑比不夠大，數(shù)值計(jì)算時(shí)采用考慮截面效應(yīng)和剪切效應(yīng)的Timoshenko梁模型［10］，該模型比不考慮以上兩效應(yīng)的Euler－Bernoulli梁更為精確，其微分方程為

式中為梁截面的形狀因子［11］，G為剪切模量。

兩端均自由的梁有4個(gè)自由度（兩個(gè)轉(zhuǎn)角θ和兩個(gè)位移x），共分成n個(gè)單元進(jìn)行求解，每個(gè)單元通過(guò)質(zhì)量M矩陣和剛度K矩陣建立起力f（力矩m）和位移（轉(zhuǎn)角）之間的關(guān)系，如式（6）所示。

式中f和m分別為施加在梁?jiǎn)卧獌啥说牧土亍Ｒ虼?，單元的頻響函數(shù)矩陣Rij可以寫(xiě)成

2．2 刀齒和刀桿的頻響函數(shù)耦合

通過(guò)Timoshenko梁模型計(jì)算出刀齒和刀桿的頻響函數(shù)后，再根據(jù)子結(jié)構(gòu)法對(duì)其進(jìn)行剛性耦合，得到銑刀兩端自由狀態(tài)下的頻響函數(shù)［12］，如下式所示

3 銑刀的頻響特性測(cè)試

將整體立銑刀的兩端用彈性皮筋懸掛起，以模擬其自由狀態(tài)。在銑刀刀尖處布置一個(gè)PCB微型加速度傳感器（型號(hào)：352C23），傳感器采用蜂蠟粘結(jié)?？紤]到試件的結(jié)構(gòu)尺寸，選用了PCB小型力錘（型號(hào)：M352C65）。測(cè)振系統(tǒng)為L(zhǎng)MS Test．Lab（型號(hào)：SCM05）。通過(guò)數(shù)據(jù)采集與分析系統(tǒng)在計(jì)算機(jī)中顯示出其頻率響應(yīng)函數(shù)曲線(xiàn)，每次均取10次有效錘擊（相干系數(shù)大于0．8）的統(tǒng)計(jì)平均值作為最后分析結(jié)果。

為驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)裝置和測(cè)試方法的準(zhǔn)確性，特以一均勻直徑鋼棒（直徑27．8mm，長(zhǎng)度224．40mm）為驗(yàn)證對(duì)象（圖4），原點(diǎn)響應(yīng)的測(cè)試值和理論計(jì)算值如圖5所示，二者吻合很好，說(shuō)明測(cè)試系統(tǒng)和測(cè)試方法均為可行。

按照上述方法對(duì)圖3中的4把整體立銑刀分別進(jìn)行測(cè)試（圖6），就可以獲得銑刀刀尖點(diǎn)的原點(diǎn)響應(yīng)。

圖4 驗(yàn)證用的測(cè)試鋼棒、力錘和傳感器Fig．4 Tested cylinder，hammer and sensor

圖5 鋼棒原點(diǎn)響應(yīng)的理論值和測(cè)試值Fig．5 Theorical and measured direct receptance of tested cylinder

圖6 銑刀的頻響特性測(cè)試Fig．6 Impact testing for endmill′s FRF

4 結(jié)果分析與討論

4．1 頻響特性

圖7給出了銑刀B和D在8 000Hz范圍內(nèi)的頻響函數(shù)曲線(xiàn)（實(shí)部Re和虛部Im），包括錘擊法的實(shí)驗(yàn)測(cè)試（Exp）和3種等效模型方法（EqM，EqA和EqK）的計(jì)算結(jié)果。在非固有頻率區(qū)域，等效模型預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果吻合很好；在固有頻率附近，不同的等效方法表現(xiàn)出不同的吻合程度，二者的詳細(xì)誤差分析見(jiàn)下節(jié)。

采用等效模型和子結(jié)構(gòu)方法計(jì)算銑刀的頻響函數(shù)曲線(xiàn)可以在很短的時(shí)間內(nèi)完成。然而，如果通過(guò)采用構(gòu)建銑刀三維模型，再對(duì)其進(jìn)行有限元諧響應(yīng)分析得到其頻響函數(shù)曲線(xiàn)，則需要數(shù)百倍的時(shí)間。因此，等效模型的合理建立可以為后續(xù)整機(jī)穩(wěn)定性的快速預(yù)測(cè)奠定基礎(chǔ)。

圖7 銑刀的頻率響應(yīng)曲線(xiàn)Fig．7 Endmill′s FRF

4．2 固有頻率

由于銑刀在自由狀態(tài)下前6階固有頻率均為零，所以本文為便于表述，將其不為零的第7階作為第1階。表2～4分別列出了4把立銑刀前3階固有頻率的實(shí)驗(yàn)測(cè)試值和等效模型計(jì)算值及其絕對(duì)誤差。由3種等效模型的計(jì)算值誤差率可以看出，對(duì)于銑刀A，B和C，即2齒、3齒和4齒的銑刀而言，等剛度法的誤差最小，具有最好的預(yù)測(cè)精度。而對(duì)于具有6齒的銑刀D而言，等質(zhì)量法的預(yù)測(cè)精度要高于等截面積法和等剛度法。

表2 第1階固有頻率Tab．2 The first natural frequency

表3 第2階固有頻率Tab．3 The second natural frequency

表4 第3階固有頻率Tab．4 The third natural frequency

4．3 討論

對(duì)于4把銑刀，采用等剛度法得到的等效模型（或者說(shuō)等效直徑），再計(jì)算其質(zhì)量，并將等效模型的質(zhì)量與銑刀的原始質(zhì)量對(duì)比，如表5所示，不難發(fā)現(xiàn)銑刀A，B和C的誤差比較接近，在3%左右；而銑刀D的誤差達(dá)到了5．6%，明顯大于前三者。因而對(duì)于銑刀D而言，采用等剛度法達(dá)到的精度顯然要低于銑刀A，B和C。

表5 采用等剛度法后的等效模型質(zhì)量及誤差Tab．5 The mass of equivalent model and its error by using equal stiffness method

然而，從以上的分析結(jié)果并不能下結(jié)論說(shuō)等剛度法適合用于疏齒銑刀（如銑刀A，B和C），而等質(zhì)量法適合用于密齒銑刀（如銑刀D）。實(shí)際上3種方法的適用范圍會(huì)隨銑刀結(jié)構(gòu)參數(shù)而改變的。借助于有限元方法對(duì)整體立銑刀進(jìn)行了單因素的影響分析，分析之前通過(guò)以上的實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果驗(yàn)證了有限元計(jì)算的準(zhǔn)確性。圖8分別給出了不同刀齒截面慣性矩（體現(xiàn)為不同的齒數(shù)t）、螺旋角β、刀齒長(zhǎng)度占銑刀總長(zhǎng)比例κ＝lf／l，以及刀具長(zhǎng)徑比γ＝l／d參數(shù)下，3種等效方法相對(duì)誤差er的變化曲線(xiàn)（從相對(duì)誤差可以看出該參數(shù)的具體數(shù)值下，3種等效方法所引起的是正偏差還是負(fù)偏差，因?yàn)槎嘁蛩鼐C合作用下，各因素所帶來(lái)的誤差可能會(huì)相互抵消），從變化的誤差值可知這4個(gè)因素都將影響3種等效模型的適應(yīng)范圍，其中β和κ的影響要大于其他兩因素。

各參數(shù)間引起的相對(duì)誤差與總誤差之間可采用多元線(xiàn)性關(guān)系下式表示

圖8 4因素引起的3種等效方法的相對(duì)誤差Fig．8 Relative error of three equivlent model by four factors

式中et為總相對(duì)誤差，αi為因素引起的相對(duì)誤差的影響系數(shù)。假設(shè)忽略影響系數(shù)α，則可得到et與eri之間的簡(jiǎn)單代數(shù)關(guān)系。將上文的4把銑刀（A，B，C和D）的參數(shù)分別參照?qǐng)D8的分析結(jié)果，得到每參數(shù)的相對(duì)誤差值E，綜合后得到總誤差，結(jié)果如表6所示。由表6中數(shù)據(jù)同樣可以看出對(duì)于銑刀A，B和C而言，等剛度法預(yù)測(cè)精度最高；對(duì)于銑刀D，等質(zhì)量法預(yù)測(cè)精度更好。這與前文4．2的分析結(jié)果很吻合，但表6中數(shù)據(jù)不能代表其實(shí)際誤差值，因?yàn)槲纯紤]各因素的影響程度，即影響系數(shù)α。

5 結(jié) 論

（1）基于機(jī)床整機(jī)穩(wěn)定性快速預(yù)測(cè)的思想，分析了銑刀頻響函數(shù)快速求解的3種等效模型方法（等質(zhì)量法、等截面積法、等剛度法）的優(yōu)缺點(diǎn)和各自的適應(yīng)性。

（2）可將銑刀分成刀桿和刀齒兩部分，分別求解其頻響函數(shù)，再通過(guò)子結(jié)構(gòu)方法將其耦合為銑刀整體的頻響函數(shù)，該方法有效克服了采用有限元方法計(jì)算整體銑刀頻響函數(shù)速度慢的缺點(diǎn)。

（3）分析了刀齒截面慣性矩、刀齒螺旋角、刀齒長(zhǎng)度占總長(zhǎng)百分比和銑刀長(zhǎng)度與直徑比值等4個(gè)因素對(duì)3種等效方法所引起的相對(duì)誤差變化規(guī)律，并根據(jù)此規(guī)律解釋了銑刀A，B，C采用等剛度法計(jì)算精度最高，而銑刀D采用等質(zhì)量法計(jì)算精度最高的原因。

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