具有1個(gè)鞍點(diǎn)和2個(gè)不穩(wěn)定鞍焦點(diǎn)的新混沌系統(tǒng)＊

吳先明

（吉首大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南吉首 416000）

具有1個(gè)鞍點(diǎn)和2個(gè)不穩(wěn)定鞍焦點(diǎn)的新混沌系統(tǒng)＊

吳先明

（吉首大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南吉首 416000）

提出了一個(gè)具有1個(gè)鞍點(diǎn)和2個(gè)不穩(wěn)定鞍焦點(diǎn)的新混沌系統(tǒng)，分析了該系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，以及系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖的影響.Matlab仿真結(jié)果表明，新混沌系統(tǒng)確實(shí)存在混沌吸引子.

混沌；Lyapunov指數(shù)；分岔圖

在Lorenz E N［1］發(fā)現(xiàn)了第1個(gè)三維混沌系統(tǒng)之后，新混沌的發(fā)現(xiàn)引起了廣大學(xué)者的研究興趣，如Chen系統(tǒng)、Lü系統(tǒng)、Liu系統(tǒng)等［3－7］.根據(jù)文獻(xiàn)［8］的定義，一個(gè)系統(tǒng)可表達(dá)為一個(gè)常系數(shù)矩陣A＝（aij）3x3和非線性部分，根據(jù)a12和a21乘積值可以將Lorenz系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)、Lü系統(tǒng)分為3類(lèi)，即Lorenz系統(tǒng)（a12a21＞0）、Lü系統(tǒng)（a12a21＝0）、Chen系統(tǒng)（a12a21＜0）.后來(lái)用電路實(shí)現(xiàn)了這些新混沌系統(tǒng)［8－11］.

文中提出了一個(gè)新三維自治混沌系統(tǒng)，與Lorenz系統(tǒng)相比，該系統(tǒng)有6個(gè)項(xiàng)，其中系數(shù)為1的二次項(xiàng)2個(gè)，第2個(gè)微分表達(dá)式減少1個(gè)線性y項(xiàng).筆者分析了該系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，以及系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖的影響.

1 新混沌系統(tǒng)

提出了一個(gè)新混沌系統(tǒng)，其表達(dá)式如下：

其中a，b，c是常數(shù).當(dāng)a＝6，b＝1，c＝9，初始值x＝－1，y＝1，z＝7時(shí)，新系統(tǒng)（1）處于混沌狀態(tài)，Matlab數(shù)值仿真結(jié)果如圖1—4所示.

圖1 三維相圖

圖2 xy相圖

圖3 xz相圖

圖4 yz相圖

2 新混沌系統(tǒng)的一些基本特性

2.1 對(duì)稱(chēng)性和不變性

系統(tǒng)（1）關(guān)于z軸對(duì)稱(chēng)；對(duì)參數(shù)a，b，c取任意值，系統(tǒng)（1）都是關(guān)于z軸對(duì)稱(chēng).

2.2 耗散性和吸引子的存在性

對(duì)于新系統(tǒng)（1）的耗散性可用如下表達(dá)式來(lái)描述：

當(dāng)a＝6，b＝1，c＝9時(shí)，h＝－7.由此可知，系統(tǒng)（1）是耗散的，但系統(tǒng)（1）是收斂的，其收斂指數(shù)為

即體積元V（0）在時(shí)間t時(shí)收縮變成體積元V（0）e－（a＋b）t.

2.3 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定分析

令y－x＝0，cx－xz＝0，－bz＋xy＝0.由系統(tǒng)（1）可知，若系統(tǒng)具有對(duì)稱(chēng)性，則可得3個(gè)平衡點(diǎn)：O（0，0，0），E＋（x1，y1，z1），E-（－x1，－y1，z1）.當(dāng)a＝6，b＝1，c＝9時(shí)，可得到系統(tǒng)（1）的3個(gè)平衡點(diǎn)分別為O（0，0，0），E＋（3，3，9），E-（－3，－3，9）.

在平衡點(diǎn)O（0，0，0），可得系統(tǒng)的Jacobian矩陣為

在平衡點(diǎn)O（0，0，0）對(duì)系統(tǒng)（1）進(jìn)行線性化，則可得矩陣的特征值方程為

由（2）式可得3個(gè)特征值，它們分別為λ1＝－10.937 3，λ2＝4.937 3，λ3＝－1.0000，其中λ1，λ3是負(fù)實(shí)數(shù)，λ2是正實(shí)數(shù).從3個(gè)特征值的值可知，平衡點(diǎn)O（0，0，0）是一個(gè)不穩(wěn)定的點(diǎn)，即鞍點(diǎn).

在平衡點(diǎn)E＋（3，3，9）可得系統(tǒng)的Jacobian矩陣為

在平衡點(diǎn)E＋（3，3，9）對(duì)系統(tǒng)（1）進(jìn)行線性化，則可得矩陣的特征值方程為

由（3）式可得3個(gè)特征值，它們分別為λ1＝－7.046 4，λ2＝0.232＋3.914 9i，λ3＝0.232－3.914 9i，其中λ2，λ3是復(fù)數(shù)，λ1是負(fù)實(shí)數(shù).從3個(gè)特征值的值可知，E＋（3，3，9）是一個(gè)不穩(wěn)定的點(diǎn)，即鞍點(diǎn).

因新混沌系統(tǒng)具有對(duì)稱(chēng)性，其特性在平衡點(diǎn)E-（－3，－3，9）與平衡點(diǎn)E＋（3，3，9）相同，即E-（－3，－3，9）也是一個(gè)不穩(wěn)定的點(diǎn)，即鞍點(diǎn).

從以上分析可知，新混沌系統(tǒng)具有1個(gè)鞍點(diǎn)和2個(gè)不穩(wěn)定鞍焦點(diǎn).

2.4 Lyapunov指數(shù)和分岔圖分析

由于系統(tǒng)（1）的最大Lyapunov指數(shù)是正數(shù)，其Lyapunov維數(shù)是非整數(shù)，因此系統(tǒng)（1）是混沌的.

考慮到參數(shù)a，b，c對(duì)系統(tǒng)（1）動(dòng)力學(xué)特性的影響，參數(shù)a，b，c與系統(tǒng)（1）的Lyapunove指數(shù)和分岔圖的關(guān)系有如下情形：

情形1 當(dāng)b＝1，c＝9，a在［0，10］變化時(shí)，系統(tǒng)的分岔圖和Lyapunov指數(shù)分別為如圖5，6所示.

圖5 系統(tǒng)（1）在情形1的分岔圖

圖6 系統(tǒng)（1）在情形1的Lyapunov指數(shù)變化曲線

從圖5，6可知，當(dāng)0.1＜a＜1.113，λLE1＜0，λLE2＜0，λLE3＜0時(shí)，系統(tǒng)會(huì)聚于平衡點(diǎn)，即系統(tǒng)是穩(wěn)定的；當(dāng)113≤a≤1.114時(shí)，系統(tǒng)有許多圓周軌道；當(dāng)1.114＜a≤8，0＜λLE1，λLE2＜0，λLE3＜0時(shí)，系統(tǒng)是混沌的；當(dāng)8＜a≤8.7時(shí)，系統(tǒng)有一個(gè)渦卷吸引子；當(dāng)8.7＜a≤10，λLE1＜0，λLE2＜0，λLE3＜0時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

情形2 當(dāng)a＝6，c＝9，b在［0，10］變化時(shí)，系統(tǒng)（1）的分岔圖和Lyapunov指數(shù)分別為如圖7，8所示.

圖7 系統(tǒng)（1）在情形2的分岔圖

圖8 系統(tǒng)（1）在情形2的Lyapunov指數(shù)變化曲線

從圖7，8可知，當(dāng)0.049＜b＜0.4時(shí)，系統(tǒng)是一個(gè)圓周；當(dāng)0.4≤a≤1.8，0＜λLE1，λLE2＜0，λLE3＜0時(shí)，系統(tǒng)是混沌的；當(dāng)b＝1.81時(shí)，系統(tǒng)有1個(gè)渦卷吸引子；當(dāng)1.81＜b≤10，λLE1＜0，λLE2＜0，λLE3＜0時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

情形3 當(dāng)a＝6，b＝1，c在［0－20］變化時(shí)，系統(tǒng)（1）的分岔圖和Lyapunov指數(shù)分別為如圖9，10所示.

圖9 系統(tǒng)（1）在情形3的分岔圖

圖10 系統(tǒng)（1）在情形3的Lyapunov指數(shù)變化曲線

從圖9，10可知，當(dāng)0.1＜c＜7.4時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；當(dāng)7.4≤c≤20，0＜λLE1，λLE2＜0，λLE3＜0時(shí)，系統(tǒng)是混沌的.

從以上分析可知，只有參數(shù)a，b，c取一定值時(shí)，系統(tǒng)（1）才存在混沌吸引子.

3 結(jié)語(yǔ)

提出了一個(gè)新混沌系統(tǒng)，分析了該系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，以及系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖的影響.研究結(jié)果表明，新混沌系統(tǒng)確實(shí)存在混沌吸引子.

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（責(zé)任編輯 陳炳權(quán)）

New Chaotic System with One Saddle and Two Unstable Saddle-Foci

WU Xian-ming
（College of Information Science and Engineering，Jishou University，Jishou 416000，Hunan China）

A new chaotic system with a saddle and two unstable saddle-foci is proposed in this paper.The equilibria stability and the relationship between a，b，c of the system and Lyapunov exponents and bifurcation diagrams are analyzed.The numerical simulation is performed in Matlab，and the results show that the new system is chaotic.

Chaos；Lyapunov exponent；bifurcation diagram

O415.5；TP271.62

A

10.3969／j.issn.1007－2985.2013.06.008

1007－2985（2013）06－0026－04

2013－08－12

湖南省教育廳科學(xué)研究資助項(xiàng)目（10C1086）

吳先明（1972－），男（苗族），湖南保靖人，吉首大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院副教授，湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院博士生，主要從事模擬集成電路、濾波器、混沌理論研究.