求解指定第一和第二基本形式的曲面方程的方法＊

邢家省，賀慧霞，高建全

（1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點(diǎn)實驗室，北京 100191；2.平頂山教育學(xué)院，河南平頂山 467000）

求解指定第一和第二基本形式的曲面方程的方法＊

邢家省1，賀慧霞1，高建全2

（1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點(diǎn)實驗室，北京 100191；2.平頂山教育學(xué)院，河南平頂山 467000）

考慮求解指定第一和第二基本形式的曲面方程的問題，將曲面的基本方程寫成矩陣形式，指出系數(shù)矩陣的直接求法，由此給出了求解曲面方程的簡單方法.

曲面的基本方程；矩陣表示法；第一基本形式；第二基本形式

曲面論的基本問題是研究由曲面的第一基本形式和第二基本形式如何確定曲面存在的問題，解決的方法是從曲面的基本方程出發(fā)，尋找存在可解曲面的充要條件［1－5］，并且用于求解指定第一基本形式和第二基本形式的曲面.傳統(tǒng)的方法采用黎曼張量的符號計算，給出了曲面的基本方程中系數(shù)的計算公式，但這種符號體系的逐項計算公式過于繁雜，對不熟悉張量計算的初學(xué)者來講，這無疑增加了他們掌握曲面論基本內(nèi)容的難度.

文獻(xiàn)［6］中給出了采用矩陣形式表示曲面的基本方程及利用矩陣乘法來推導(dǎo)曲面的結(jié)構(gòu)方程的方法，易于掌握.尋找直接簡單的方法是人們所追求的，所以筆者在綜合已有理論方法［6－11］的基礎(chǔ)上，將曲面的基本方程寫成矩陣形式，給出了系數(shù)矩陣的直接求法，因為系數(shù)矩陣是整體定義的，有線性代數(shù)矩陣論的基礎(chǔ)，就不必為了套公式硬記，即可寫出曲面的基本方程，得到了求解曲面方程的簡單方法.

1 曲面基本方程的矩陣表示法及其系數(shù)矩陣的直接確定

將曲面的基本公式［1－8］寫成矩陣形式為

在（1），（2），（3）式兩端分別乘以（ru，rv），則得

利用曲面基本方程的矩陣表示形式，容易推導(dǎo)出曲面的結(jié)構(gòu)方程［1－6］.文獻(xiàn)［7－8］中給出的曲面方程中系數(shù)的套公式的傳統(tǒng)求法難于記憶，筆者利用曲面方程的矩陣表示形式，可直接求出系數(shù)矩陣，由此給出求解曲面方程的簡單方法.

2 由給定的第一、第二基本形式求曲面方程的解法

例1［1－5，7－8］已知E＝1，F(xiàn)＝0，G＝1，L＝－1，M＝0，N＝0，求該曲面.

將矩陣形式等式寫成對應(yīng)分量相等，即得ruu＝－n，ruv＝0，rvv＝0，nu＝ru，nv＝0，由此ruuu＋ru＝0，積分，得r＝C1（v）sin u＋C2（v）cos u＋C3（v）.代入ruv＝0，則得C′1（v）＝0，C′2（v）＝0；代入rvv＝0，則得C″3（v）＝0.故r＝asin u＋bcos u＋cv＋d，其中a，b，c，d為常向量.而ru＝－asin u＋bcos u，rv＝c，所以ru·ru＝a·asin2u＋b·bcos2u－2a·bsin ucos u＝1，因此a·a＝b·b＝1，a·b＝0，又ru· rv＝－a·csin u＋b·ccos u＝0，從而a·c＝0，b·c＝0；再注意到rv·rv＝c·c＝1，于是a，b，c可以分別取為x，y，z軸上的單位向量，故所求曲面可表示為r＝｛cos u，sin u，v｝＋d，因此所求曲面是半徑為1的圓柱面.

例2［1－5，7－8］已知E＝1，F(xiàn)＝0，G＝sin2u，L＝1，M＝0，N＝sin2u，其中0＜u＜π，求該曲面.

解 設(shè)所求曲面為r＝r（u，v），由已知條件，可得

3 指定第一、第二基本形式的曲面不存在的證法

發(fā)現(xiàn)rvvu≠ruvv，矛盾.因此，不存在這樣的曲面.

例5［1－5，7－8］證明不存在曲面，使E＝1，F(xiàn)＝0，G＝1，L＝1，M＝0，N＝－1.

證明 假若存在這樣的曲面r＝r（u，v），由已知條件，可知

展開，即得ruu＝n，ruv＝0，rvv＝－n，nu＝－ru，nv＝rv，由此得到ru＝－nu＝（rvv）u＝ruvv＝0，rv＝nv＝（ruu）v＝ruuv＝0.于是r＝a（常向量），而這是矛盾的.因此，不存在這樣的曲面.

4 第二基本形式與第一基本形式成比例的曲面的性質(zhì)

定理1［1－5］已知正則曲面Σ：r＝r（u，v）的第二基本形式是其第一基本形式的一個非0函數(shù)倍，即在參數(shù)（u，v）下有Ⅱ＝f（u，v）Ⅰ，f（u，v）≠0，則有：（1）dn＝－fdr，其中dn＝nudu＋nvdv；（2）函數(shù)f為常值函數(shù)；（3）Σ為球面片.

證明 （1）由條件，得L＝fE，M＝fF，N＝fG，所以－nu·ru＝fru·ru，－nu·rv＝fru·rv，即得（－nu－fru）·ru＝0，（－nu－fru）·rv＝0.

又（－nu－fru）在切平面上，可得－nu＝fru，由－nv·ru＝frv·ru，－nv·rv＝frv·rv，即得（－nv－frv）·ru＝0，（－nv－frv）·rv＝0；又（－nv－frv）在切平面上，可得－nv＝frv.于是，成立dn＝－fdr.

（2）利用－nu＝fru，－nv＝frv，得－nuv＝fvru＋fruv，－nvu＝furv＋frvu，所以fvru＝furv，而ru，rv線性無關(guān)，從而fv＝fu＝0，故函數(shù)f為常值函數(shù).

（3）設(shè)f＝a常數(shù)，a≠0，由dn＝－adr，得n＝－a（r－r0），所以‖r－r0‖＝，從而Σ為球面片.

［1］ 梅向明，黃敬之.微分幾何［M］.第4版.北京：高等教育出版社出版，2008：87－105.

［2］ 陳維桓.微分幾何［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2006：193－228.

［3 彭家貴，陳 卿.微分幾何［M］.北京：高等教育出版社，2002：74－85.

［4］ 蘇步青，華宣積，忻元龍.實用微分幾何引論［M］.北京：科學(xué)出版社，1986：86－91.

［5］ 王幼寧，劉繼志.微分幾何講義［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2003：136－146.

［6］ 謝 琳，安 揚(yáng).一個利用矩陣整體推導(dǎo)曲面結(jié)構(gòu)方程的方法［J］.遼寧師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2007，30（3）：262－264.

［7］ 梅向明，王匯淳.微分幾何學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題選解［M］.北京：高等教育出版社，2004：51－53；181－183.

［8］ 陳維桓.微分幾何例題詳解和習(xí)題匯編［M］.北京：高等教育出版社出版，2010：171－219.

［9］ 徐冠文.“曲面論的基本定理”教學(xué)注記［J］.徐州師范學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，1989，7（2）：80－86.

［10］ 邢家省.法曲率最值的直接求法［J］.吉首大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，33（4）：11－15.

［11］ 邢家省，王擁軍.曲面上曲線的測地?fù)下实挠嬎愎郊捌鋺?yīng)用［J］.聊城大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，25（3）：1－4.

（責(zé)任編輯 向陽潔）

New Method to Solve the Existence of the Surfaces with the Given Fundamental Forms

XING Jia－sheng1，HE Hui－xia1，GAO Jian－quan2
（1.Department of Mathematics，LMIB of the Ministry of Education，Beihang University，Beijing 100191，China；2.Pingdingshan Institute of Education，Pingdingshan 467000，Hebei China）

The authors consider the existence problems of the surfaces with the given first and second fundamental forms.By transferring the surface structural equations into the matrix equations，the authors give an easier way to solve the surface equations.The matrix method can simplify the complexity of tensor calculation and make the deducing process easier and clearer.

surface structural equations；matrix multiplication；the first fundamental form；the second fundamental form

O186.1

A

10.3969／j.issn.1007－2985.2013.06.002

1007－2985（2013）06－0004－05

2013－03－28

國家自然科學(xué)基金資助項目（11171013）

邢家省（1964－），男，河南泌陽人，北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院副教授，博士，主要從事偏微分方程、微分幾何研究.