基于同倫迭代算法的弱耦合梁損傷識別

雷曉光，呂中榮，劉濟科

(中山大學(xué) 力學(xué)系，廣州 510006)

工程結(jié)構(gòu)長期處于各種復(fù)雜工作環(huán)境中并不斷使用及損耗，總會出現(xiàn)各種損傷，而微小損傷一旦未被及時發(fā)現(xiàn)，損傷的積累會給整個結(jié)構(gòu)帶來災(zāi)難性后果。因此早期損傷識別［1］對保障結(jié)構(gòu)安全非常重要。

大多據(jù)結(jié)構(gòu)響應(yīng)對物理參數(shù)變化提出的檢測方法，均在頻域［2-5］內(nèi)進行。而實際工程中，大量結(jié)構(gòu)由于自身對稱性常會出現(xiàn)重頻［6］或近似重頻的退化系統(tǒng)。如海洋石油平臺、飛機、多跨連續(xù)梁結(jié)構(gòu)等。在此種情況下，頻域損傷識別方法難以保證獲得收斂的識別結(jié)果。因此研究重頻損傷識別問題意義重大。

本文在時域內(nèi)對具有重頻特性的耦合結(jié)構(gòu)進行損傷識別，以系統(tǒng)抗彎剛度參數(shù)作為損傷識別指標，引入同倫迭代法［7］對結(jié)構(gòu)損傷進行定位及程度確定。利用有限元計算響應(yīng)與模擬測量響應(yīng)最小化獲得非線性目標函數(shù)，對目標函數(shù)對各損傷參數(shù)求偏導(dǎo)獲得時域內(nèi)的識別方程。采用最小二乘法構(gòu)造同倫方程［7］進行迭代求解，其實質(zhì)是在時域內(nèi)非線性大范圍收斂識別方法。其收斂不依賴于初始值選擇，且可對具有重頻的多跨結(jié)構(gòu)進行準確識別。利用車輛經(jīng)過多跨橋梁時產(chǎn)生的加速度響應(yīng)檢測結(jié)構(gòu)損傷。以兩跨弱耦合連續(xù)梁為例，通過數(shù)值算例中對單一局部損傷及多個局部損傷工況分別進行識別，進一步討論噪聲對識別結(jié)果影響，仿真算例表明本文方法在有噪聲環(huán)境下能較準確識別具有相重頻率的多跨連續(xù)梁局部損傷。

1 正問題

1.1 連續(xù)梁系統(tǒng)有限元模型

圖1為兩跨耦合連續(xù)梁，通過有限元法離散，系統(tǒng)強迫振動方程可寫為:

式中:［M］，［K］，［C］分別為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣，本文采用瑞雷阻尼模型:［C］=a1［M］+a2［K］，其中常數(shù)a1，a2由兩個不等的振動模態(tài)頻率與給定阻尼比率確定，{P(t)}為系統(tǒng)節(jié)點力向量。圖中1，11為有限元節(jié)點編號。

圖1 雙跨耦合梁系統(tǒng)Fig.1 The coupled beam system

1.2 連續(xù)梁系統(tǒng)自由振動頻率與強迫振動響應(yīng)

無阻尼系統(tǒng)自由振動方程可表示為:

其特征值表達式為:

式中:λi=ω2

i，ωi為第i個模態(tài)圓頻率;{u}i為第i階模態(tài)振型。外激勵力作用下的強迫振動響應(yīng)可由式(1)求出。本文采用工程中常用的Newmark直接積分法求解。

2 同倫識別法求解

2.1 同倫法基本原理［7］

結(jié)構(gòu)損傷識別問題可歸結(jié)為問題的逆向優(yōu)化求解，通過損傷模型獲得響應(yīng)反演系統(tǒng)局部損傷狀況。直接利用時域響應(yīng)數(shù)據(jù)反推系統(tǒng)結(jié)構(gòu)真實損傷狀況。損傷識別問題求解歸結(jié)為尋找損傷向量x=(x1，x2，…，xn)T，使目標函數(shù)J(x)=(w-w*)T(w-w*)/2取得極小值，w*=(w1，w2，…，wn)T為已測得的結(jié)構(gòu)測點響應(yīng)幅值，即損傷結(jié)構(gòu)真實響應(yīng)(可以是位移、速度、加速度等)。此處采用結(jié)構(gòu)響應(yīng)加速度，因其包含的結(jié)構(gòu)損傷信息量較多。w為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)計算響應(yīng)數(shù)據(jù)。損傷識別問題轉(zhuǎn)化為求解非線性方程組:

同倫法思想是對f(x)=0引入?yún)?shù)t構(gòu)造一簇映射K，當(dāng)t為某個特定數(shù)值:t=1，K變?yōu)槭?7)中的f(x)，t=0可得方程f0(x)=0的解x0，即構(gòu)造一簇映射使K滿足K(x，0)=f0(x)，K(x，1)=f(x)，其中f0(x)=0的解x0為已知，即初始迭代值。而方程K(x，1)=f(x)即為原非線性方程組。由此，結(jié)構(gòu)損傷識別問題轉(zhuǎn)化為求同倫方程K(x，t)=0解的問題。其解為x=x(t)。通過引入同倫參數(shù)t［0，1］，建立同倫方程為:

式中:x0為任意取定初值;f(x)為非線性方程組左邊向量函數(shù);t=0，t=1時式(5)變?yōu)?

參數(shù)t在區(qū)間［0，1］變化時，K(x，t)構(gòu)成一組同倫映射，對應(yīng)同倫方程(5)的解x=x(t)從而構(gòu)成空間曲線。曲線一端(t=0)表示f(x)-f(x0)=0的解;另一端(t=1)表示f(x)=0的解。因此只要控制參數(shù)t從0到1變化跟蹤曲線x=x(t)即能找到原問題的解。K(x，1)=0的每個孤立解至少一條由t=0時曲線跟蹤獲得，即函數(shù)曲線的起點為K(x，0)=0的解。構(gòu)造的同倫函數(shù)有該性質(zhì)時全部孤立解可通過跟蹤同倫函數(shù)路徑獲得。跟蹤曲線基本數(shù)學(xué)方法見文獻［7］，其基本思想為使同倫方程恒成立:

由于初值x0可任意選取，且在選取過程中未做任何假定，故同倫延拓法亦為大范圍收斂的非線性方法，式(5)的求解可采用牛頓迭代法。即將t在［0，1］區(qū)間上分為n份記作tr=r/N，(r=0，1，2......N)，當(dāng)r=0時，K(x，t)=K(x，0)=0 的解x(0)=x0已知，取r=0，1，2......N一個解為初始值，用牛頓法迭代公式為:

其中:r=0，1，2，3……，N-1。f'(xr)為計算中待求的雅克比矩陣，相當(dāng)于靈敏度矩陣［8］，表達式為:

K(x，t)=0可以有多種表達形式，如K(x，t)=tf(x)+(1-t)f(x-x0)等形式。同倫方程所取表達式不同，結(jié)果及求解速度也不同，本文采用K(x，t)=f(x)+(1-t)f(x0)形式，在計算迭代過程中，同倫參數(shù)等分數(shù)的劃分對計算結(jié)果收斂快慢程度影響較大:同倫參數(shù)取值較大時，模型對應(yīng)的雅克比矩陣趨近于奇異矩陣，使計算結(jié)果不能收斂。為避免該病態(tài)的出現(xiàn)，迭代時給雅克比矩陣增加一正則矩陣aI，I為單位矩陣，a為正則化參數(shù)［9］，以保證結(jié)果收斂。

3 數(shù)值算例

3.1 損傷識別

對圖1系統(tǒng)用有限元離散為10個均勻歐拉-伯努利梁單元。參數(shù)設(shè)為:楊氏模量E=3.4 GPa，密度p=2 800 kg/m3，橫向耦合彈簧剛度 2.7 ×109N/m，扭轉(zhuǎn)耦合彈簧剛度2.7×107N·m/rad，每跨長10 m，梁橫截面積 0.15×0.15 m2，作用于梁系統(tǒng)的外激勵P(t)=15 000［1+0.1sin(10πt)］N，計算響應(yīng)時假定移動力在梁左端以5 m/s速度勻速移動到右端，時間步長0.005 s，進行不同工況下?lián)p傷識別。

3.1.1 單一損傷識別

將單元9的剛度折減5%模擬局部小損傷，利用5號節(jié)點加速度響應(yīng)數(shù)據(jù)進行損傷檢測，取前4 s響應(yīng)數(shù)據(jù)進行識別。不考慮測量噪聲影響，經(jīng)9次迭代后識別結(jié)果見圖2。由圖2看出，本文方法能成功識別出系統(tǒng)局部損傷。即此方法可用于識別早期微小損傷。

3.1.2 多處損傷識別

設(shè)系統(tǒng)第2，3，7號單元剛度分別有2%，3%，5%的減少。移動力加速度響應(yīng)位置同單一損傷識別。設(shè)數(shù)據(jù)測量仍未包含噪聲影響。經(jīng)10次迭代后識別結(jié)果見圖3。由圖3看出，3個局部損傷位置及損傷程度均能準確識別出來。表明本文所用同倫法能成功識別出結(jié)構(gòu)的多個不同局部損傷，印證本文方法的有效性。

3.1.3 測量噪聲影響

圖2 耦合梁單一損傷識別Fig.2 Identification of a single damage

圖3 耦合梁多損傷識別Fig.3 Identification of multiple damages

圖4 耦合梁的多損傷識別(15% 噪聲水平)Fig.4 Identification of multiple damages(15%noise level)

4 結(jié)論

本文利用所提基于同倫迭代算法時域損傷識別新方法，對兩跨弱耦合歐拉-伯努利梁局部損傷位置及損傷程度進行有效識別。結(jié)論如下:

(1)基于同倫迭代算法，識別時解的收斂不依賴于初始值選擇。能有效解決重頻的多跨結(jié)構(gòu)損傷識別。

(2)此方法對程度較小損傷檢測可達到較好精度要求，收斂速度快、損傷識別效率高。

(3)由數(shù)值算例知，此方法對測量噪聲不敏感，說明具有一定工程實用潛力及應(yīng)用價值。

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