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    完整系統(tǒng)Tzénoff方程的守恒規(guī)律

    2013-08-31 09:48:14鄭世旺
    山東工業(yè)技術(shù) 2013年5期
    關(guān)鍵詞:生成元鳳翔對(duì)稱性

    鄭世旺

    (商丘師范學(xué)院 物理與電氣信息學(xué)院,河南 商丘 476000)

    1953年保加利亞科學(xué)院院士Tzénoff構(gòu)造了經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)的一種新型動(dòng)力學(xué)函數(shù)稱為Tzénoff函數(shù),他建立了一類新型運(yùn)動(dòng)微分方程被稱為Tzénoff方程。我國學(xué)者梅鳳翔、程丁龍等把Tzénoff方程推廣到了可控力學(xué)系統(tǒng)[1]、變質(zhì)量系統(tǒng)[2]、變質(zhì)量高階非完整系統(tǒng)[3],在專著[4]中又推出了廣義Tzénoff函數(shù)和廣義Tzénoff方程.對(duì)稱性原理是物理學(xué)中更高層次的法則,動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中的守恒量更能揭示深刻的物理規(guī)律,動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱性與守恒量之間具有一定的內(nèi)在關(guān)系[5]。近年來,對(duì)稱性與守恒量的研究已經(jīng)成為力學(xué)、物理學(xué)、數(shù)學(xué)等領(lǐng)域的一個(gè)非?;钴S的課題,且已經(jīng)取得重要研究成果[6-21],這些成果大都是借助于動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)、Hamilton函數(shù)和Appell函數(shù)來求系統(tǒng)的守恒量,其實(shí)在分析力學(xué)中有多種運(yùn)動(dòng)微分方程,其中最為簡捷的是Tzénoff方程,只要給出系統(tǒng)的Tzénoff函數(shù),研究系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是比較方便的.目前,Tzénoff方程的對(duì)稱性與守恒量的研究也有了一些初步成果[22-29],得到了Tzénoff方程Mei對(duì)稱性和Mei對(duì)稱性間接導(dǎo)致的守恒量。研究了完整系統(tǒng)Tzénoff方程的對(duì)稱性及其守恒規(guī)律,給出了導(dǎo)出守恒量的必要條件和守恒量的函數(shù)表達(dá)式,最后舉例說明了研究結(jié)果的應(yīng)用.

    1 完整系統(tǒng)的Tzénoff方程

    設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的位形由 n個(gè)廣義坐標(biāo) qs(s=1,…,n)來確定,系統(tǒng)的 Tzénoff函數(shù)為[17]:

    通過(2)式可求出所有廣義加速度:

    2 Tzénoff方程的Noether對(duì)稱性及其守恒規(guī)律

    取時(shí)間和坐標(biāo)的群的無限小變換

    Noether對(duì)稱性是Hamilton作用量在無限小變換下的一種不變性,所以研究Noether對(duì)稱性必須知道系統(tǒng)的Lagrange函數(shù),而 Tzénoff方程中只給出 Tzénoff函數(shù),所以尋找 Tzénoff方程的Noether對(duì)稱性及其守恒量,必須將Tzénoff方程變換成Lagrange方程,以找出系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)。對(duì)給定的Tz-énoff函數(shù) K 有:

    采用文獻(xiàn)[6]的方法可求出Tzénoff方程所對(duì)應(yīng)的Lagrange函數(shù)

    于是有:

    定理1:對(duì)于Tzénoff方程所對(duì)應(yīng)的Lagrange函數(shù),如果存在規(guī)范函數(shù)G=G(t,q)使無限小生成元ξ0,ξs,滿足恒等式

    那么Tzénoff方程具有Noether對(duì)稱性,同時(shí)直接導(dǎo)致守恒量:

    3 Tzénoff方程的Mei對(duì)稱性及其守恒規(guī)律

    用變換后的動(dòng)力學(xué)函數(shù)代替變換前的動(dòng)力學(xué)函數(shù),若系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的形式保持不變,則稱系統(tǒng)具有Mei對(duì)稱性。于是有

    定義:如果用變換后的Tzénoff函數(shù)K*代替變換前的函數(shù)K時(shí),方程(2)的形式保持不變,那么這種不變性稱為Tzénoff方程的Mei對(duì)稱性。

    根據(jù)定義Tzénoff方程的Mei對(duì)稱性可以寫成下列形式:

    把(6)式代入方程(10)并注意方程(2)有

    判據(jù):對(duì)于完整力學(xué)系統(tǒng)的Tzénoff函數(shù)K,若無限小生成元 ξ0,ξs滿足方程

    則Tzénoff方程具有Mei對(duì)稱性。

    我國學(xué)者對(duì)Mei對(duì)稱性進(jìn)行了大量研究,一般是借助于動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)或Hamilton函數(shù)來求系統(tǒng)的守恒量。我們企圖利用Tzénoff方程和Tzénoff函數(shù)通過Mei對(duì)稱性來尋找一種新的守恒量.

    定理2:對(duì)于完整力學(xué)系統(tǒng)Tzénoff方程Mei對(duì)稱性的生成元ξ0,ξs,如果能找到規(guī)范函數(shù)G滿足如下結(jié)構(gòu)方程

    證明:對(duì)(14)式求導(dǎo)并考慮到在Mei對(duì)稱性情況下判據(jù)方程(11)成立,有:

    4 應(yīng)用例子

    例:已知完整力學(xué)系統(tǒng)的Tzénoff函數(shù)為:

    試研究該力學(xué)系統(tǒng)的Mei對(duì)稱性及其所對(duì)應(yīng)的新守恒量。

    解:把 Tzénoff函數(shù)代入完整力學(xué)系統(tǒng)的 Tzénoff方程(2)得:

    所以該力學(xué)系統(tǒng)有關(guān)系式:

    把 Tzénoff函數(shù)代入完整力學(xué)系統(tǒng)的 Tzénoff方程Mei對(duì)稱性的判據(jù)方程(12)得:

    可找到Mei對(duì)稱性的生成元

    由生成元(17),有 X(1)(K)=0,只能得到平凡守恒量 I=0。由生成元(18)并考慮到(15)式,有:

    把上面的各關(guān)系式代入結(jié)構(gòu)方程(13),又由于該系統(tǒng)有關(guān)系式(15),可得到規(guī)范函數(shù):

    把式(18)和式(19)代入式(14),并注意式(15)可得到系統(tǒng)Tzénoff方程的新守恒量:

    [1]程丁龍.ЦЕНОВ方程對(duì)變質(zhì)量非完整系統(tǒng)的推廣[J].北京理工大學(xué)學(xué)報(bào),1987,3:76-85.

    [2]梅鳳翔.非完整系統(tǒng)力學(xué)基礎(chǔ)[M].北京:北京工業(yè)學(xué)院出版社,1985.

    [3]梅風(fēng)翔.非完整動(dòng)力學(xué)研究[M].北京:北京工業(yè)學(xué)院出版社,1987.

    [4]梅鳳翔,劉端,羅勇.高等分析力學(xué)[M].北京:北京理工大學(xué)出版社,1991.

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    [9]Chen Xiangwei,Zhao Yonghong and LiYanmin.Conformal invariance and conserved quantities of dynamical system of relative motion[J].Chinese physics B,2009,18(8):3139-3144.

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    [11]梅鳳翔.約束力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱性與守恒量[M].北京:北京理工大學(xué)出版社,2004.

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    [29]鄭世旺,王建波,陳向煒,李彥敏,解加芳.變質(zhì)量非完整系統(tǒng)Tzénoff方程的Lie對(duì)稱性與其導(dǎo)出的守恒量[J].物理學(xué)報(bào),2012,61(11):111101-1~111101-5.

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