方程思想與判別式法

●王劍明 (嘉興市第一中學(xué) 浙江嘉興 314050)

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的好壞主要在于對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握程度.方程思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，高考成績(jī)的高低往往在于方程思想運(yùn)用能力的強(qiáng)弱.所謂方程思想是指從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，將問題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系通過適當(dāng)設(shè)元建立起方程(組)，然后通過解方程(組)使問題得到解決的思維方式.用方程思想解題的關(guān)鍵是利用已知條件或公式、定理中的已知結(jié)論構(gòu)造方程(組).這種思想在代數(shù)、幾何及生活實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用.本文主要是在方程思想的指導(dǎo)下利用判別式來處理有關(guān)不等(范圍、最值等)的問題和若干解題方向不明的問題.

1 判別式法在不等式中的應(yīng)用

例1 若正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是 ( )

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題)

此題的背景是2011年浙江省數(shù)學(xué)高考文科第16題和理科第16題：

(1)若實(shí)數(shù)x，y滿足 x2+y2+xy=1，則 x+y的最大值是_______;

(2)設(shè) x，y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=1，則2x+y 的最大值是_______.

當(dāng)然這2道題有眾多解法，但判別式法是最常規(guī)的方法，要熟練掌握.2012年繼續(xù)對(duì)方程思想與判別式法進(jìn)行考查.

解法1 令3x+4y=t，則3x=t-4y，代入 x+3y=5xy，得

將式(1)視為關(guān)于y的方程，方程有實(shí)數(shù)根，從而

由 x+3y=5xy，得

本題若利用基本不等式中的“逆代法”技巧，則更容易求解.

評(píng)注學(xué)生往往想不到這種特殊技巧，因此在方程思想指導(dǎo)下利用判別式不失為一種通法.盡管排除t≤有一定技巧，但對(duì)選擇題而言，不難選C.

2 判別式法在數(shù)列中的應(yīng)用

例2 設(shè)a1，d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足S5S6+15=0，則 d 的取值范圍是_______.

(2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

本題得分率僅為0.06，居22道高考試題的倒數(shù)第2位，完全出乎命題教師的意料.命題教師認(rèn)為該題是送分題，因?yàn)閷W(xué)生在學(xué)習(xí)解析幾何中，解了大量的直線與圓錐曲線關(guān)系的題目，都要構(gòu)建方程、考慮判別式，應(yīng)該熟悉掌握方程思想與判別式法. 學(xué)生答題后的反饋是:(1) 沒有關(guān)于d 的不等式，要求d的范圍，想不到往哪個(gè)方向思考;(2)化簡(jiǎn)后得到關(guān)于d的等式中含有另一個(gè)字母，其范圍也沒有限制，不知道接下來怎么辦.還有少部分學(xué)生看到問題與平常見過的題型不一致，直接放棄.由此可見學(xué)生解題的障礙主要是“想不到”，這與命題教師的“送分”產(chǎn)生了巨大的反差.

解因?yàn)镾5S6+15=0，所以

將式(2)視為關(guān)于a1的方程，方程有實(shí)數(shù)解，從而

評(píng)注運(yùn)用方程思想處理問題，建立方程是關(guān)鍵.因?yàn)榉匠瘫磉_(dá)了未知與未知、未知與已知之間的一種等量關(guān)系，所以未知與已知之間所具有相對(duì)的依附關(guān)系是建立方程的基礎(chǔ).因此，在建立方程時(shí)，首先要明確條件中各已知量和未知量相互之間的依附關(guān)系，然后根據(jù)條件及公式、定理、性質(zhì)等建立所需要的等式.

3 判別式法在平面向量中的應(yīng)用

(2009年安徽省數(shù)學(xué)高考理科試題)

圖1 圖2

本題可利用向量加法運(yùn)算構(gòu)建方程，也可利用向量模的運(yùn)算構(gòu)建方程.

解法1 過點(diǎn)C作OA，OB的平行線，交0A，OB于點(diǎn)M，N，則四邊形OMCN為平行四邊形，從而

在△OMC中，∠OMC=60°，由余弦定理得

設(shè)t=x+y，聯(lián)立方程x2+y2-xy=1，消去y后得

將式(3)視為關(guān)于x的方程，方程有實(shí)數(shù)解，從而

當(dāng)t=2時(shí)，x=y=1，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題設(shè).故x+y的最大值為2.

下與解法1相同(略).

解法3 如圖2所示，以O(shè)為原點(diǎn)、直線OA為x軸建立直角坐標(biāo)系，則

因?yàn)辄c(diǎn)C在圓上，所以

下與解法1相同(略).

評(píng)注本題構(gòu)建方程的思路不少，關(guān)鍵在于利用條件.解法1是利用平行四邊形法則;解法2是利用整體處理，然后兩邊平方;解法3利用坐標(biāo)法.

4 判別式法在解三角形或三角變換中的應(yīng)用

(2009年全國(guó)數(shù)學(xué)高考試題)

本題把函數(shù)化為關(guān)于tan2x的二次方程，通過二次方程有實(shí)根來求解.

視式(4)為關(guān)于tan2x的二次方程，由于tan2x有實(shí)數(shù)解，從而判別式Δ≥0，即

評(píng)注三角函數(shù)的最值是三角函數(shù)中最基本的內(nèi)容，也是歷年來數(shù)學(xué)高考的熱點(diǎn)之一.求三角函數(shù)的最值沒有通法，只能依據(jù)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征來確定.本題也可利用基本不等式法和導(dǎo)數(shù)法來求解.

5 判別式法在函數(shù)或方程中的應(yīng)用

(2010年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題)

解易知函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1］.令 y=f(x)，則

兩邊平方去分母，得

視式(5)為關(guān)于x的二次方程，方程在［-1，1］上有實(shí)數(shù)根，從而

評(píng)注這是一道求無理函數(shù)值域的題目，看上去并不復(fù)雜，但很容易出錯(cuò).通過平方去掉根號(hào)，把無理函數(shù)轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)，再用判別式法求解，極容易遺漏考慮f(x)≥0.本題蘊(yùn)含著諸多的數(shù)學(xué)思想方法，如三角代換法、導(dǎo)數(shù)法也是常用的解法.

6 判別式法在解析幾何中的應(yīng)用

例6 點(diǎn)P在直線l：y=x-1上，若存在過點(diǎn)P的直線交拋物線 y=x2于點(diǎn) A，B，且|PA|=|AB|，則稱點(diǎn)P為“好點(diǎn)”.下列結(jié)論中正確的是( )

A.直線l上的所有點(diǎn)都是“好點(diǎn)”

B.直線l上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“好點(diǎn)”

C.直線l上的所有點(diǎn)都不是“好點(diǎn)”

D.直線l上有無窮多個(gè)點(diǎn)(不是所有的點(diǎn))是“好點(diǎn)”

(2009年北京市數(shù)學(xué)高考理科試題)

本題是一個(gè)存在性的問題，存在0個(gè)、有限個(gè)、無窮多個(gè)、所有“好點(diǎn)”，可聯(lián)想到用判別式法.

圖3

解如圖3所示，設(shè)A(m，n)，P(x，x-1)，則由 |PA|=|AB|及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得

因?yàn)辄c(diǎn)A，B在y=x2上，所以

消去n，整理得

視式(6)為關(guān)于x的二次方程，方程有實(shí)數(shù)根，從而

恒成立.因此該方程恒有實(shí)數(shù)根，故選A.

評(píng)注本題作為當(dāng)年北京高考數(shù)學(xué)理科選擇壓軸題，題目新穎，學(xué)生往往想不到構(gòu)建方程，利用判別式求解.

總之，利用方程思想處理數(shù)學(xué)問題，就是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，分析數(shù)學(xué)問題中的等量關(guān)系，從而建立方程(含有多個(gè)變量的等式可理解為方程，考慮方程有實(shí)數(shù)解的條件及解方程過程的合理性)，通過運(yùn)用方程的性質(zhì)(特別是判別式)去分析、轉(zhuǎn)化問題，達(dá)到解決問題的目的.以不同的問題情境呈現(xiàn)的有關(guān)范圍、最值、值域等問題，作為通性通法，應(yīng)該優(yōu)先考慮判別式法.而對(duì)于解題方向不明確的問題，如方程解的個(gè)數(shù)、“好點(diǎn)”的個(gè)數(shù)等非常規(guī)的問題，若能用方程的眼光來觀察，則柳暗花明.方程思想和判別式方法的融會(huì)貫通，必將提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.

［1］ 徐存旭.高考中的函數(shù)與方程思想［J］.中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2012(2)：12-15.

［2］ 瞿國(guó)華.關(guān)于“判別式”的探究式學(xué)習(xí)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2007(9)：31-34.