軟集和模糊集的相互轉(zhuǎn)化

蔡曉波 劉用麟

（1.漳州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，福建 漳州 363000；2.武夷學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，福建 武夷山 354300）

一、軟集和模糊集的定義和同構(gòu)

美國學(xué)者Zadeh于1965年提出的模糊集理論[1]，以及Molodstov于 1999年提出的軟集理論[2]，都是用以處理研究不確定性的數(shù)學(xué)方法。

定義1[1]設(shè)U為論域，則U上的一個模糊集A由U上的一個實(shí)值函數(shù)uA:U→[0，1]來表示。對于u∈U，函數(shù)值uA（u）稱為u對于A的隸屬度，而函數(shù)uA稱為A的隸屬函數(shù)。

論域U上的所有模糊集的全體記為ζ（U），稱為模糊冪集。

由模糊集的分解定理以及表現(xiàn)定理[1]，我們不難發(fā)現(xiàn)可以用截集來定義一個模糊集。

定義3 設(shè)U為論域，則U上的一個模糊集A由一個由[0，1]到 P（U）映射 Aλ定義，如果 Aλ滿足其中，Aλ稱為 A 的 λ截集稱為元素u的隸屬度。

不難證明對于模糊集的兩種定義是等價的。在本文的討論中，我們將更傾向于使用后者。

假設(shè)U為所考慮的論域，E為參數(shù)集，A?E，按照Molodstov的理論可以如下定義一個軟集。

定義4[2]稱一個序?qū)Γ‵，A）為U上的軟集，其中F為A到U的冪集P（U）的一個映射。

比較定義3和定義4不難發(fā)現(xiàn)，模糊集是軟集的特殊形式，軟集可以認(rèn)為是模糊集的一般化。所以，在本文的研究中，我們將把模糊集作為軟集的同態(tài)或者同構(gòu)直接認(rèn)為是模糊集之間的同態(tài)或者同構(gòu)。

實(shí)際上，由于一般的軟集的元素之間并沒有定義運(yùn)算，所以對于一般軟集之間的同態(tài)和同構(gòu)的定義并沒有學(xué)者研究過。本文將借用H.Aktas和N.Cogman在對軟群的研究過程中提出的軟群同態(tài)和同構(gòu)的定義。

定義 5[3]設(shè)（F，A）和（H，B）分別是 G、K 上的軟集，如果映射f，g滿足以下條件：

（1）f是G到K的滿同態(tài)；

（2）g是A到B的滿射；

（3）? α∈ A ，f（F（α））=H （g（α）），

則稱（f，g）是一個軟集同態(tài)，稱（F，A ）同態(tài)于（H ，B），簡記（F，A）～（H ，B）。

如果 f是 G 到 K 的同構(gòu)，g是雙射，則稱（f，g）是一個軟集同構(gòu)，稱（F，A）同構(gòu)于（H ，B），簡記（F，A）≈（H ，B）。

對于兩個沒有定義任何運(yùn)算的集合之間的滿同態(tài)我們認(rèn)為其等同于滿射；對于兩個沒有定義任何運(yùn)算的集合之間的同構(gòu)我們認(rèn)為其等同于一一映射。這們的處理方便我們將一般的軟集和特殊的軟代數(shù)統(tǒng)一考慮，而不是將討論范圍限定為一般軟集或者某種特殊的軟代數(shù)，如軟群。

二、模糊集到軟集的轉(zhuǎn)化

前面已經(jīng)提到，模糊集是特殊的軟集。所以這里將要提到的模糊集對軟集的轉(zhuǎn)化實(shí)際上可以認(rèn)為是兩個軟集之間的同構(gòu)變化。

在不引起混淆的情況下，稱軟集（F，A）是由模糊集M生成的。

三、軟集到模糊集的轉(zhuǎn)化

本節(jié)將討論特殊軟集到模糊集的轉(zhuǎn)化方法，在本節(jié)的其它部分，我們將試圖使這一轉(zhuǎn)化方法在更一般的軟集上可用。

1、第一類軟集

第一類軟集可以看做是直接由模糊集生成的，其具體定義如下。

定理1 由模糊集生成的軟集是第一軟集。

證明：由第一類軟集的定義，顯然。

第一類軟集到模糊集的轉(zhuǎn)化是顯然的。

定義8 設(shè)（F，A）是第一類軟集，則模糊集M稱為由（F，A）φ-生成的，其中

在不引起混淆的情況下，稱模糊集M是由軟集（F，A）生成的。

2、第二類軟集

我們試圖將軟集到模糊集的轉(zhuǎn)化推廣到更一般的軟集上，由此產(chǎn)生了第二類軟集的概念。但是第二類軟集并不是第一類軟集的更一般形式，它只是為第一類軟集的一般化所做的一個鋪墊。

定義 9 設(shè)（F，A）是一個軟集，φ：[0，1]→ A 是一個一一映射，且滿足

則稱（F，A）為第二類軟集。

定理2 第二類軟集能夠可逆轉(zhuǎn)化為第一類軟集。

證明：設(shè)（F，A）為第二類軟集，另設(shè)

則（G，A）是第一類軟集。另由第二類軟集的定義可知這一過程是可逆的。

3、第三類軟集

第三類軟集即是第一類軟集的更一般形式。

定義 10 設(shè)（F，A）是一個軟集，φ：[0，1]→A 是一個一一映射。則稱（F，A）是第三類軟集。

定理3 第三類軟集能夠可逆轉(zhuǎn)化為第二類軟集。

易證這一過程是可逆的。

定理4 第三類軟集能夠可逆轉(zhuǎn)化為第一類軟集。

證明：由定理2和定理3顯然。

四、模糊集和軟集相互轉(zhuǎn)化的可逆性討論

由于第三類軟集能夠可逆轉(zhuǎn)化為第一類軟集，所以在本節(jié)中，我們將主要討論模糊集合第一類軟集相互轉(zhuǎn)化的可逆性。

我們所要討論的可逆性將主要由以下四個定理給出。

綜上所述，M≈N。

在以上的證明過程中，我們不難發(fā)現(xiàn)以下的特殊情況。

定理 6 設(shè) M ∈ ζ（U），（F，A）是由 Mφ生成的模糊集，N 是由（F，A）ψ生成的模糊集，且 φ（λ）=ψ（λ），? λ∈[0，1]，則有 M=N。

證明：由定理5的證明過程，顯然。

以上兩個定理說明模糊集向軟集的轉(zhuǎn)化是可逆的。

定理7 設(shè)（F，A）是U上的第一類軟集，模糊集M 是（F，A）ψ-生成的，第一類軟集（G，B）是由 M φ-生成的，則（G，B）≈ （F，A）。

證明：設(shè)e為恒等映射；則e為U到U的同構(gòu)，即同構(gòu)的條件（1）成立。

由于 ψ是[0，1]到 A 的一一映射；φ是[0，1]到 B的映射，所以φ·ψ-1是A到B的一一映射，即同構(gòu)的條件（2）成立。

在以上的證明過程中，我們不難發(fā)現(xiàn)以下的特殊情況。

定理8 設(shè)（F，A）是U上的第一類軟集，模糊集M 是（F，A）ψ-生成的，第一類軟集（G，B）是由 M φ-生成的，且 ψ（λ）=φ（λ），? λ∈ [0，1]，則（G ，B）=（F，A）。

證明：由定理7的證明過程，顯然。

以上兩個定理說明第一類軟集向模糊集的轉(zhuǎn)化是可逆的。

五、其它的特殊軟集

本文主要討論了第一類軟集和模糊集之間相互轉(zhuǎn)化的可逆性，以此為基礎(chǔ)也可以證明第二類以及第三類軟集和模糊集之間相互轉(zhuǎn)化的可逆性。

實(shí)際上，我們感興趣的還有其它的一些特殊軟集。比如給定 U 上的一個軟集（F，A ）,如果 A={α1，α2，…}為一個可數(shù)集。那么我們可以構(gòu)造一個如下的二元函數(shù)

利用這一函數(shù)我們可以定義U上的一個模糊集M，其中

易證這一變化也是可逆的。

研究模糊集和軟集之間的相互轉(zhuǎn)化的目的是要利用模糊集的已有理論解決軟集中的問題，或者反過來利用軟集中的已有理論解決模糊集中的問題。不過本文將不會就此展開了。

[1]Zadeh L.A.Fuzzy Sets[J].Inform.Control,1965,8：338-353.

[2] Molodstov D.Soft sets theory-first results[J].Comput.Math.Appl.,1999,37：19-31.

[3] Aktas H.Soft Sets and Soft Groups[J].Inform.Sci.,2007,177：2726-2735.