內(nèi)部算子空間及其范疇

杜銀玲，盧 濤，朱潤(rùn)秋

(淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000)

范疇是從數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域中概括出來(lái)的一個(gè)高度抽象的數(shù)學(xué)系統(tǒng)，范疇理論的概念和方法對(duì)于解釋和闡述抽象概念，確定科學(xué)研究框架起重要作用.在拓?fù)鋵W(xué)中，由算子誘導(dǎo)出的拓?fù)淇臻g是一類很重要的拓?fù)淇臻g，內(nèi)部算子作為重要的算子起很關(guān)鍵的作用.文獻(xiàn)[1-2]表明，對(duì)于某一集合而言，其內(nèi)部運(yùn)算和拓?fù)涫且灰粚?duì)應(yīng)的.另外，崔艷麗和吳洪博[3]把拓?fù)淇臻g上的閉包算子成功推廣到閉包算子空間，并進(jìn)一步研究其范疇性質(zhì).基于對(duì)這些知識(shí)背景的思考和啟發(fā)，通過(guò)對(duì)拓?fù)淇臻g上的內(nèi)部算子及其性質(zhì)的研究，引入內(nèi)部算子空間，結(jié)合范疇理論去討論內(nèi)部算子空間范疇.本文通過(guò)對(duì)拓?fù)淇臻g上的內(nèi)部算子及其性質(zhì)的研究，給出內(nèi)部算子空間及其之間的連續(xù)映射的定義，討論以內(nèi)部算子空間為對(duì)象及其之間的連續(xù)映射為態(tài)射而構(gòu)成的內(nèi)部算子空間范疇，并證明內(nèi)部算子空間范疇中的(有限)積的存在性.

1 內(nèi)部算子空間與連續(xù)映射

定義1.1 設(shè) X是一非空集合，I:ξ(X)→ξ(X)是一集值映射，若 I滿足條件:

(1)I(X)=X; (2)?A，B∈ξ(X)，I(A∩B)=I(A)∩I(B);

(3)?A∈ ξ(X)， I(A)?A; (4)? A∈ ξ(X)，I(I(A))=I(A).則稱 I為 X上的一個(gè)內(nèi)部算子，(X，IX)或 X為內(nèi)部算子空間.

例1.1 設(shè)(X，τ)是一拓?fù)淇臻g，P(X)為 X的冪集，I:P(X)→P(X)的具體定義為:?A∈P(X)，I(A)=A°，則由文獻(xiàn)[1]中內(nèi)部運(yùn)算性質(zhì)知，I為 X上的一個(gè)內(nèi)部算子.

例1.2 設(shè) X是一非空集合，I0:ξ(X)→ξ(X)為一集值映射，如果對(duì)?A∈ξ(X)，I0(A)=A，則 I0為 X上的一個(gè)內(nèi)部算子.

定義1.2 設(shè)(X，IX)和(Y，IY)是兩個(gè)內(nèi)部算子空間，f:X→Y，如果 f為滿射且對(duì)于?A∈ξ(X)，IY(f(A))?f(IX(A))，則稱 f是從(X，IX)到(Y，IY)的一個(gè)連續(xù)映射，簡(jiǎn)稱 f連續(xù).特別地，當(dāng) X=Y時(shí)，稱 f為(X，IX)上的連續(xù)映射.

定理1.1 設(shè)(X，IX)，(Y，IY)，(Z，IZ)都是內(nèi)部算子空間，則

(1)內(nèi)部算子空間(X，IX)上的恒同映射 iX:X→X是一個(gè)連續(xù)映射;

(2)如果 f:X→Y和 g:Y→Z都是連續(xù)映射，則 g?f:X→Z也是連續(xù)映射.

證明由定義1.2中的內(nèi)部算子空間上的連續(xù)映射定義直接驗(yàn)證.

2 內(nèi)部算子空間范疇及其積

定義2.1[4]一個(gè)范疇 C由以下內(nèi)容組成:

(i)一個(gè)對(duì)象類 ob(C)，ob(C)的元稱為 C中的對(duì)象.

(ii)一個(gè)態(tài)射類 Mor(C)，Mor(C)的元稱為 C中的態(tài)射.對(duì)于 C中對(duì)象的每個(gè)有序偶(B，A)，對(duì)應(yīng)有唯一的一個(gè)集合 Hom(B，A).

(iii)對(duì)于 C中對(duì)象的每個(gè)有序三元組(B，A，C)對(duì)應(yīng)一個(gè)稱為復(fù)合(或合成)的映射:Hom(B，A)×Hom(A，C)→Hom(B，C)，(f ，g)→g ?f，則 g ?f稱為 f和 g 的復(fù)合(或合成).

要求 C中對(duì)象和態(tài)射滿足下列公理:

(1)若(B，A)≠(D，C)，則 Hom(B，A)∩Hom(D，C)=?;

(2)若 f∈Hom(B，A)，g∈Hom(C，B)，h∈Hom(D，C)，則(f?g)?h=f?(g?h);

(3)? B∈ob(C)，? idB∈ Hom(B，B)使得? f∈ Hom(B，A)，?g∈Hom(C，B)，有 f ?idB=f，idB?g=g，idB稱為 B上的恒同態(tài)射.

定義2.2 以內(nèi)部算子空間作為對(duì)象，并以內(nèi)部算子空間之間的連續(xù)映射作為態(tài)射，構(gòu)成的系統(tǒng)，我們稱之為內(nèi)部算子空間范疇.

注1 定理1.1、映射性質(zhì)及定義2.1表明，內(nèi)部算子空間范疇的定義是合理的.

(2)對(duì)?A∈ξ(X)，由定理2.1中的條件直接可得 I(A)?A;

(3)對(duì)?A，B∈ξ(X)，令

因?yàn)?Q0? Q1， Q0? Q2，從而∨ Q0≤(∨ Q1∧∨ Q2)，因此，我們得到 I(A∩ B)? I(A)∩ I(B).而 I(A)∩ I(B)?I(A∩ B).故，I(A∩B)=I(A)∩ I(B).

(4)對(duì)? A∈ ξ(X)，另設(shè)

則 I(A)= ∨ Q1， I(I(A))= ∨ Q3.由(2)直接可得 Q3? Q1，另有? T∈ Q1， T? I(A)，則 T∈ Q3.故 Q1? Q3，即 Q1=Q3，從而 I(I(A))=∨Q3=∨Q1=I(A).

綜上(1)，(2)，(3)，(4)可知，I為 X 上內(nèi)部算子.

注2 定理 2.1中的內(nèi)部算子空間 X，對(duì)于每一個(gè) i(i=1，2，…，s)，自然投射 Pi:X→Xi也為連續(xù)映射.

引理2.1[2]設(shè)(X，IX)和(Y，IY)是兩個(gè)內(nèi)部算子空間，那么映射 f:X→Y連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)?B?Y，若 IY(B)=B，則 IX(f-1(B))=f-1(B).

定理2.2 設(shè)(X1，I1)，(X2，I2)，…，(Xs，Is)為 s(s≥1)個(gè)內(nèi)部算子空間，(X，I)為定理 2.1 中所定義的內(nèi)部算子空間，那么(X， I)是(X1，I1)，(X2， I2)，…，(Xs，Is)在內(nèi)部算子空間范疇中的積.

證明假設(shè)(Y，IY)為任意一內(nèi)部算子空間，對(duì)?i≤s，gi:Y→Xi連續(xù)，Pi:X→Xi為自然投射.我們只需證?i≤s，有唯一的連續(xù)映射 g:Y→X，使得 gi=Pi?g.

(1)(下證 g 的存在性)定義 g:Y→ X，使得? y∈ Y， g(y)=(gi(y))i∈｛1，2，…，s｝，則有? i≤ s， gi=Pi?g.對(duì)?A?Y，若有

(2)(下證 g的唯一性)設(shè)另有連續(xù)映射 g＊:Y→X使得 gi=pi?g＊，則?i≤s，?y∈Y，Pi(g＊(y))=gi(y)=Pi(g(y))，從而 g＊(y)=(Pi(g＊(y)))i∈｛1，2，…，s｝=(gi(y))i∈｛1，2，…，s｝=(Pi(g(y)))i∈｛1，2，…，s｝=g(y).由 y的任意性知 g＊=g.

綜上(1)、(2)可知，(X， I)是(X1，I1)，(X2，I2)，…，(Xs，Is)在內(nèi)部算子空間范疇中的積.

[1]熊金城.點(diǎn)集拓?fù)渲v義[M].北京:高等教育出版社，1998.

[2]ENGLKING R.General topology[M].Warzawa:Polish Scientific Publishers，1977.

[3]崔艷麗，吳洪博.閉包算子空間范疇及其性質(zhì)研究[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2010，46(27):54-56.

[4]鄭崇友，樊磊，崔宏斌.Frame與連續(xù)格[M].2版.北京:首都師范大學(xué)出版社，2000.

[5]龔家安，吳洪博.內(nèi)部算子與內(nèi)部系統(tǒng)[J].南陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，8(12):7-9.