拓撲系統(tǒng)的Lindel?f性質(zhì)

楊 慧，姜廣浩，肖 璨

(淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000)

1 預(yù)備知識

定義1.1[1]設(shè) X 是集，A 是一frame，其最大元與最小元分別記為1，0.又設(shè)╞是 X× A 的子集，記(x，a)∈╞為 x╞a(讀作 x 滿足 a).若╞具有性質(zhì):

(1)對任一有限集 S?A和點 x∈X，x╞∧S 當(dāng)且僅當(dāng)每一 a∈S，x╞a;

(2)對任一集 S?A和點 x∈X，x╞∨S 當(dāng)且僅當(dāng)存在 a∈S，x╞a.

則稱三元組(X，A，╞)為一拓撲系統(tǒng).A 中的元稱為拓撲系統(tǒng)的開元，X 中的元稱為拓撲系統(tǒng)的點.通常用大寫字母 D 表示拓撲系統(tǒng)(X，A，╞)，分別用 ptD和ΩD 表示拓撲系統(tǒng) D 的點集 X和開元集 A.

定義1.2[2]設(shè) D 是拓撲系統(tǒng)，X?ptD，≡是 ΩD 上的frame 同余.作 ΩD 上關(guān)于 X 上的等價關(guān)系≡x:? a，b∈ ΩD，a≡xb 當(dāng)且僅當(dāng) a≡ b 且任意 x∈ X，x╞ a? x╞ b，則≡x也為 ΩD 上的 frame 同余.此時拓撲系統(tǒng) D' = (X，ΩD/≡X，╞)稱為 D 的一個子拓撲系統(tǒng)，其中 x╞[ a]?x╞a.

定義 1.3[1]一簇拓撲系統(tǒng)｛Dλ｝的和系統(tǒng)∑λDλ定義為: pt∑λDλ= ∑λptDλ是點集的無交并，Ω∑λDλ=∏λΩDλ為 frame 的笛卡兒乘積，任意 x∈ ptDu，x╞〈aλ〉當(dāng)且僅當(dāng) x╞ au.其中〈aλ〉∈∏λΩDλ.

定義1.4[1]拓撲系統(tǒng) D和E 的積系統(tǒng) D× E 定義為:

(1)pt(D × E)= ptD × ptE，

(2)Ω(D × E)= ΩD?ΩE 為 frame 張量積，

(3)(x，y)╞∨i(ai?bi)當(dāng)且僅當(dāng)存在 i 使得 x╞ai且 y╞bi.

定義1.5[1]設(shè) D 是一個拓撲系統(tǒng)，任意開元 a∈ΩD 的內(nèi)容 ex(a)定義為 ex(a)= ｛x∈ptD: x╞a｝.全體開元的內(nèi)容形成 ptD 上的一個拓撲，記為 ΩptD，拓撲空間(ptD，ΩptD)稱為 D 的空間化，記為 spatD.

定義1.6[1]設(shè) D，E 是拓撲系統(tǒng)，D 到 E 的連續(xù)映射是指滿足下列條件(1)- (3)的一對映射(ptf，Ωf)，記(ptf，Ωf)為 f: D→E.

(1)ptf: ptD→ptE 為映射;

(2)Ωf: ΩE→ ΩD 為 frame 同態(tài);

(3)x╞Ωf(b)? ptf(x)╞ b.

定義1.7[3]設(shè) D 是拓撲系統(tǒng)，U，F(xiàn)?ptD.若存在 a∈ΩD，使 U= ex(a)，則稱 U 為拓撲系統(tǒng)的開集.若存在開集 U 使得 F= ptD/ U，則稱 F 為拓撲系統(tǒng)的閉集.

定義1.8[1-3](1)若任意一對點 x，y∈ptD，當(dāng) x≠y 時，存在 a∈ ΩD，使 x╞a 但 y╞a 不成立，或存在b∈ ΩD 使 y╞b 但 x╞b 不成立，則稱拓撲系統(tǒng) D 是 T0的.

(2)拓撲系統(tǒng) D 稱為 T1的，若任意一對點 x，y∈ptD，當(dāng) x≠y 時，有 a，b∈ΩD，使 x╞ a 但 y╞ a 不成立且 y╞b 但 x╞b 不成立.

(3)拓撲系統(tǒng) D 稱為 T2的，若任意一對點 x，y∈ptD，當(dāng) x≠y 時，有 a，b∈ ΩD，使 x╞a，y╞b 且 ex(a∧b)=?.

(4)拓撲系統(tǒng) D 稱為 T3的，若 D 是 T1的，且任意 x∈ptD，任意閉集 F?ptD，當(dāng) x?F 時，有 a，b∈ΩD，使 x╞a，F(xiàn)?ex(b)，且 ex(a∧b)=?.

(5)拓撲系統(tǒng) D 稱為 T4的，若 D 是 T1的，且任意閉集 A，B? ptD，當(dāng) A∩ B= ? 時，有 a，b∈ ΩD，使A?ex(a)，B?ex(b)且 ex(a∧b)= ?.

引理1.1[3]拓撲系統(tǒng) D 是 Ti拓撲系統(tǒng)當(dāng)且僅當(dāng) spatD 是 Ti拓撲空間，其中 i=1，2，3，4.

引入一個有用的記號∧C╞a.設(shè) D 是拓撲系統(tǒng)，C?ptD，a∈ΩD.用記號∧C╞a 表示“?x∈C，x╞a”.

定義1.9[1]設(shè) D 是拓撲系統(tǒng)，點集 C?ptD，開元集 S?ΩD.若∧C╞∨S，則稱 S 是 C 的一個開覆蓋.若 C 的任意開覆蓋有有限子覆蓋，則稱 C 是拓撲系統(tǒng) D 的緊子集.進一步地，若 ptD 是拓撲系統(tǒng) D 的緊子集，則稱 D 為緊拓撲系統(tǒng).

2 拓撲系統(tǒng)的Lindel?f性質(zhì)

定義2.1設(shè) D 是拓撲系統(tǒng)，點集 C?ptD，開元集 S?ΩD.若∧C╞∨S，則稱 S 是 C 的一個開覆蓋.稱 C 是拓撲系統(tǒng) D 的Lindel?f 子集，若 D 是 T3的，且 C 的任意開覆蓋有可數(shù)子覆蓋，即∧C╞∨S 蘊涵著存在可數(shù)子集 S0? S 使得∧ C╞∨ S0.稱 D 是 Lindel?f 拓撲系統(tǒng)或具有 Lindel?f 性質(zhì)，若 ptD 是 D 的Lindel?f 子集.

定理2.1拓撲系統(tǒng) D 具有Lindel?f 性質(zhì)?拓撲空間 spatD 具有Lindel?f 性質(zhì).

證明?:設(shè) S?ΩD 且 ptD?∪｛ex(a)| a∈S｝，則對?x∈ptD，?a∈S 使得 x╞a，故∧ptD╞∨S.由拓撲系統(tǒng) D 具有 Lindel?f 性質(zhì)知，存在可數(shù)子集 S0?S 使∧ptD╞∨S0，即對?x∈ptD，?a∈S0，使得x╞ a.從而 x∈ ex(a)?∪ ｛ex(a)| a∈ S0｝，進而 ptD?∪ ｛ex(a)| a∈ S0｝.由定義 2.1 知，spatD 具有Lindel?f 性質(zhì).

?:設(shè) S? ΩD 且∧ptD╞∨ S，則 ptD?∪｛ex(a)| a∈ S｝.由拓撲空間 spatD 具有 Lindel?f 性質(zhì)知，存在可數(shù)子集 S0?S 使得 ptD?∪｛ex(a)| a∈S0｝.從而∧ptD╞∨S0.

推論2.1若 S? ΩD 且任意可數(shù)集 S0?S 有∩｛ptD- ex(a)| a∈S0｝≠?，則

定義2.2[4]設(shè) D'是拓撲系統(tǒng)的 D 的子拓撲系統(tǒng).若 ptD'是 D 的閉子集，則稱 D'為 D 的閉子拓撲系統(tǒng).

定理2.2Lindel?f 拓撲系統(tǒng)的閉子拓撲系統(tǒng)是Lindel?f 拓撲系統(tǒng).

證明設(shè) D' = (ptD'，ΩD/≡，╞)是拓撲系統(tǒng) D 的閉子拓撲系統(tǒng)，其中 ptD'是 D 的閉子集，≡是ΩD中關(guān)于 ptD'的 frame 同余.?S'? ΩD/≡，若∧ ptD'╞∨ S'，則對? α∈ S'，α≠?，由選擇公理，設(shè) S'上的選擇函數(shù) f(α)= aα∈ α? ΩD.作 S= ｛aα| α∈S'｝? ΩD.由子拓撲系統(tǒng)的性質(zhì)易證，∧ ptD'╞∨ S.又 ptD'是 D 的閉子集，從而存在 b∈ΩD，使 ptD= ptD'∪ex(b)且 ptD'∩ex(b)=?，于是，∧ptD╞(∨S)∨b.由 D為 Lindel?f 拓撲系統(tǒng)知，存在 S 的可數(shù)子集 S0，使∧ ptD╞∨(S0∪｛b｝).注意到 ptD'∩ ex(b)= ?，故任一x∈ ptD'，有 x╞∨ S0，即∧ ptD'╞∨ S0.作 S0'= ｛[ aα]| aα∈ S0｝.則 S0'是 S'的可數(shù)子集且在 D'中∧ ptD'╞∨S0'，由定義 2.1 知，D'為 Lindel?f 拓撲系統(tǒng).

定理2.3可數(shù)個Lindel?f 拓撲系統(tǒng)的和系統(tǒng)是Lindel?f 拓撲系統(tǒng).

證明設(shè) D= ⊕t∈TDt，T 是可數(shù)集，且 ｛Dt｝t∈T具有 Lindel?f 性質(zhì).? S? ΩD 若∧ ptD╞∨ S，由具有 Lindel?f 性質(zhì)知，當(dāng)∧ ptDi╞∨ Si時，?可數(shù)子集，由定義 1.3 知即∧ptD╞∨S＊，其中為 S 的可數(shù)子集.

定理 2.4設(shè) D 是 Lindel?f 系統(tǒng)，E 是緊拓撲系統(tǒng)，則 D × E 是 Lindel?f 系統(tǒng).

證明若(x，y)∈ptD × ptE，(a?b)∈ ΩD × ΩE，(∧ptD，∧ptE)╞∨(a?b).由定義 1.4 知，∧ ptD╞∨a 且∧ptE╞∨b.由 D 是Lindel?f 系統(tǒng)知，存在可數(shù)子集 a0∈a 使得∧ptD╞∨a0，再由 E 是緊拓撲系統(tǒng)知，存在有限子集 b0∈b 使得∧ptE╞∨b0.即(∧ptD，∧ptE)╞(a0?b0)，得證.

定理2.5每個Lindel?f 拓撲系統(tǒng)都是 T4的.

證明設(shè) D 是 T3拓撲系統(tǒng)，任意閉集 A，B? ptD，A∩ B=? 且 A，B 具有 Lindel?f 性質(zhì).則? x∈ A，y∈ B，由 A∩B= ?，再由 D 是 T2拓撲系統(tǒng)知，? ax，by∈ ΩD，使得 x╞ ax，y╞ by，且 ex(ax∧ by)= ?.易知∧A╞∨｛ax| x∈ A｝，∧ B╞∨｛by| y∈ B｝.由 A，B 具有 Lindel?f 性質(zhì)可知，存在｛ax| x∈ A｝的可數(shù)子集 ax1，存在 ｛by| y∈ B｝可數(shù)子集 by1，by2，…，bys0使得注意到 ex則∧ A╞ a，∧ B╞ b，且 ex(a∧ b)=?.

定理 2.6設(shè) D 是 Lindel?f 系統(tǒng)，E 是 T3拓撲系統(tǒng)，f: D→ E 是滿的連續(xù)映射，則 E 是 Lindel?f 系統(tǒng).

證明設(shè) S?ΩE，f(ptD)= ptE，ptf(ptD)╞∨S.由 f 的連續(xù)性及 Ωf 是 frame 同態(tài)，則?x∈ptD，x╞Ωf(∨S)=∨Ωf(S)，從而∧ptD╞∨Ωf(S).由 D 是Lindel?f 系統(tǒng)知，存在 S 的可數(shù)子集 S0使得∧ptD╞∨Ωf(S0)，再由 f 的連續(xù)性知，∧ ptf(ptD)╞∨ S0，即∧ ptE╞∨ S0.再由定義 2.1 知，E 是 Lindel?f 系統(tǒng).

引理 2.1[4]設(shè) f= (ptf，Ωf): D→ E 是拓撲系統(tǒng)間的連續(xù)映射.任意 a，b∈ ΩE，a≡Ωfb? Ωf(a)= Ωf(b).則(ptf(ptD)，ΩE/≡Ωf)是拓撲系統(tǒng)的子拓撲系統(tǒng).

推論 2.2設(shè) D 是 Lindel?f 系統(tǒng)，E 是 T3拓撲系統(tǒng)，f: D→ E 是滿的連續(xù)映射，則(ptf(ptD)，ΩE/≡Ωf)是 Lindel?f 系統(tǒng).

[1]VICKERS S J.Topology via logic [M].Cambridge: Cambridge University Press，1989.

[2]陳儀香.拓撲系統(tǒng)范疇與子拓撲系統(tǒng)[J].陜西師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，1994，22(4):19 -24.

[3]李世倫.拓撲系統(tǒng)的分離性[J].四川大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2002，39(4):644 -648.

[4]李高林.拓撲系統(tǒng)的分離性，緊性和若干收斂結(jié)構(gòu)[D].揚州:揚州大學(xué)碩士學(xué)位論文，2006.