一個(gè)半離散單調(diào)核的Hilbert型不等式

黃臻曉

(湛江師范學(xué)院基礎(chǔ)教育學(xué)院，廣東遂溪524300)

若 an，bn≥0，0 ＜∞，則有以下含有最佳常數(shù)因子的離散的Hilbert型不等式［1］:

以上兩類不等式是分析學(xué)的重要不等式，人們不斷推廣它們［2-7］．對于半離散、齊次核的 Hilbert型不等式，有以下結(jié)論［8］:若0 ＜Σ∞n=1a2n＜∞，則有

本文引入2個(gè)參數(shù)，給出一個(gè)新的半離散且單調(diào)核的Hilbert型不等式及其等價(jià)式．它是式(1)的一個(gè)最佳推廣．

1 引理

引理1 設(shè)A＞-1，0＜λ≤2，定義權(quán)函數(shù)和權(quán)系數(shù)如下:

則有以下不等式:

證明 作變換t=x/n，有

所以式(4)成立．

證明 由帶權(quán)的H?lder不等式和式(4)，有

所以式(5)成立．類似地，由H?lder不等式和式(2)～(4)，有

所以式(6)成立．

2 主要結(jié)果

這里的常數(shù)因子kλ依引理1定義，且kλ，kpλ和kqλ均為最佳值．

證明 由逐項(xiàng)積分定理，I有2種表示．由引理2和條件知，式(7)取嚴(yán)格不等號，所以式(10)成立．由 H?lder不等式，有

由式(10)得式(9)．反過來，設(shè)式(9)成立．取an=，根據(jù)式(9)，有

根據(jù)式(7)和條件易得 J1＜∞．如果 J1=0，則式(10)顯然成立;如果J1＞0，則式(9)所需的條件都具備，上式取嚴(yán)格不等號，且有

所以式(10)成立，因此式(9)和式(10)等價(jià)．

同理，根據(jù)條件，式(8)取嚴(yán)格不等號，所以式(11)成立．由 H?lder不等式，有

所以由式(11)可知式(9)成立．反過來，設(shè)式(9)成立．取

則由式(9)，有

由式(8)和條件可得J2＜∞．如果J2=0，則式(11)顯然成立;如果J2＞0，則式(9)所需的條件都具有，所以上式取嚴(yán)格不等號，且有

所以式(11)成立，從而式(9)和式(11)等價(jià)．因此式(9)、(10)與式(11)都等價(jià)．

另一方面，由遞減性和Fubini定理，又有

由式(12)及式(13)，有

再由Fatou引理，有

所以k=kλ是式(9)的最佳值．由等價(jià)性易知式(10)和式(11)的常數(shù)因子也是最佳值．證畢．

評注 (1)當(dāng)p=q=2，λ=1，A=0 時(shí)，式(9)變?yōu)槭?1);式(10)、(11)變?yōu)榕c式(1)等價(jià)的Hilbert型不等式:

(2)當(dāng) p=q=2，λ =1，A=1 時(shí)，式(9)變?yōu)?

致謝 作者衷心感謝楊必成教授的指導(dǎo)與幫助．

［1］YANG Bicheng．On a relation between Hilbert's inequality and a Hilbert-type inequality［J］．Appl Math Lett，2008，21:483-488．

［2］楊必成．算子范數(shù)與Hilbert型不等式［M］．北京:科學(xué)出版社，2009．

［3］黃臻曉，楊必成．一個(gè)含參數(shù)的零齊次核的Hilbert型積分不等式［J］．武漢大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版，2011，57(3):241-244．

［4］黃臻曉．一個(gè)具有混合核的新的Hilbert型積分不等式［J］．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2010，40(11):192-197．

［5］黃臻曉．一個(gè)-4齊次核的Hilbert型積分不等式［J］．華南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2009(2):20-23．

［6］楊必成，陳強(qiáng)．一個(gè)半離散且非單調(diào)核的Hilbert不等式［J］．吉林大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版，2012，50(2):167-172．

［7］楊必成．關(guān)于一個(gè)半離散的Hilbert不等式［J］．汕頭大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2011，26(4):5-10．

［8］楊必成．一個(gè)半離散的Hilbert不等式［J］．廣東第二師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，31(3):1-7．