考慮荷載隨機(jī)性的人行橋人致振動(dòng)計(jì)算方法研究＊

李紅利，陳政清

（湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410082）

隨著現(xiàn)代人行橋逐漸向著大跨輕柔化的方向發(fā)展，人行橋在結(jié)構(gòu)動(dòng)力性能方面呈現(xiàn)出輕質(zhì)、低頻、弱阻尼等動(dòng)力特征.在行人動(dòng)荷載激勵(lì)下，具有這類動(dòng)力特征的人行橋更易出現(xiàn)大幅振動(dòng)現(xiàn)象.因此，人行橋人致振動(dòng)計(jì)算已被列入現(xiàn)代人行橋設(shè)計(jì)過程中的主要驗(yàn)算內(nèi)容之一.

在人行橋人致振動(dòng)計(jì)算中，行人步行力模型是基礎(chǔ)，其中又以單人步行力模型為核心.當(dāng)前，單人步行力模型主要包括時(shí)域模型與頻域模型兩大類[1]，其中，前者通常采用以動(dòng)載因子為主導(dǎo)的傅立葉級(jí)數(shù)形式進(jìn)行描述，后者則通常采用步行力功率譜密度函數(shù)的形式進(jìn)行描述.人群步行力模型則多以單人步行力模型為基準(zhǔn)、從等效觀點(diǎn)出發(fā)引入橋面有效行人數(shù)n′的概念，并提出人群作用下的橋梁響應(yīng)為單人作用效應(yīng)的n′倍[2].

根據(jù)行人步行力模型作用方式的不同，人行橋人致振動(dòng)時(shí)域分析法大致可以分為集中荷載跨中作用法[3]、集中荷載勻速移動(dòng)法[4]、集中荷載等步長(zhǎng)邁進(jìn)法[5]以及均布荷載模態(tài)振型加載法[6]等簡(jiǎn)化計(jì)算方法.人行橋人致振動(dòng)頻域分析法則采用經(jīng)典隨機(jī)振動(dòng)理論，從行人步行力功率譜出發(fā)直接計(jì)算人行橋人致振動(dòng)加速度均方值[7].相比較而言，頻域分析法則廣為國(guó)內(nèi)學(xué)者所采用，如宋志剛[8]、陳宇[9]等人分別提出了大跨度樓板的最大加速度響應(yīng)譜以及均方根加速度響應(yīng)譜計(jì)算方法，李泉[10]等人則結(jié)合虛擬激勵(lì)荷載法提出了人行橋均方根加速度響應(yīng)譜.

然而，與實(shí)際行人作用效應(yīng)相比，上述步行力模型及人致振動(dòng)分析方法主要存在以下方面的不足：（?。┈F(xiàn)有步行力模型忽視了行人步行力的隨機(jī)性影響，進(jìn)而將其描述成一完全的周期性荷載.事實(shí)上，行人步行力的隨機(jī)性不僅表現(xiàn)在不同行人間的步行力不相同，而且即便是同一步行主體，其每一步的步行力也存在些許差異；（ⅱ）無論是集中荷載勻速移動(dòng)法、集中荷載等長(zhǎng)邁進(jìn)法，還是連續(xù)分布荷載作用法，它們對(duì)行人步行力作用方式的描述都不夠準(zhǔn)確.行人步行力的根本特征在于荷載大小連續(xù)變化而作用點(diǎn)位置則發(fā)生階躍性突變，而受行人步長(zhǎng)隨機(jī)性的影響，這種步行力作用點(diǎn)的階躍大小同樣具有隨機(jī)性.這些特點(diǎn)決定了行人步行力荷載處理起來既不同于移動(dòng)車輛荷載，也不同于風(fēng)荷載；（ⅲ）對(duì)人群荷載缺乏真實(shí)的反映.對(duì)于規(guī)模大小為n的人群，其步行力荷載作用既不同于n個(gè)完全一致的行人步行力效應(yīng)，也不同于上述文獻(xiàn)中通常所假設(shè)的步頻相同、相位服從均勻分布的n個(gè)互不相干的行人步行力效應(yīng).

受以上問題的影響，不同計(jì)算方法得到人行橋人致振動(dòng)往往相差較大，并且大幅偏離實(shí)測(cè)值[11－12].本文從行人步行參數(shù)入手，對(duì)行人步行力時(shí)域隨機(jī)模型進(jìn)行了局部的改進(jìn)，利用模態(tài)疊加法建立了與行人步行過程相一致的人行橋人致振動(dòng)時(shí)域分析框架，并以43＃人行橋?yàn)槔?，通過數(shù)值模擬與試驗(yàn)結(jié)果相比較，說明了該方法的實(shí)用性與可靠性.

1 行人步行力模型及行人步行參數(shù)研究

1.1 改進(jìn)后的步行力隨機(jī)性時(shí)域模型

由于步行力曲線的非規(guī)則性，步行力一般難以用初等函數(shù)表示.因此，在行人步行力時(shí)域模型中，步行力通常采用以下傅立葉級(jí)數(shù)的形式進(jìn)行描述[13]，

式中：fp為行人步頻，Hz；αs為行人步行荷載第s階諧波動(dòng)載系數(shù)，定義為，其中，As為第s階諧波動(dòng)荷載幅值，W 為行人自重，一般取值為700～800N，本文在計(jì)算中取W ＝750N；θs為第s階諧波動(dòng)荷載的初相位，來自于實(shí)測(cè)觀測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)值；n為計(jì)算中所采用諧波項(xiàng)數(shù)，取決于模擬荷載所需要達(dá)到的近似程度，一般情況下取到n＝3即可滿足工程精度需求.

對(duì)于式（1）中諧波動(dòng)載系數(shù)以及初相位的取值，當(dāng)前可供參考的研究成果頗多，其中諧波動(dòng)載系數(shù)以Young[14]的研究成果最為突出，Young從統(tǒng)計(jì)角度指出諧波動(dòng)載系數(shù)為行人平均步頻的函數(shù)，如表1中第2列所示.此外，通過對(duì)比眾多學(xué)者的研究結(jié)論[15]可以發(fā)現(xiàn)，諧波初相位的分布具有相當(dāng)?shù)碾x散性，這恰好驗(yàn)證了Zivanovic[1]關(guān)于步行力諧波初相位服從均勻分布的研究結(jié)論，如表1中的第3列所示.

表1 步行力豎向諧波動(dòng)載系數(shù)及初相位Tab.1 Dynamic load factors and phase shift of walking force for vertical harmonics

結(jié)合式（1）以及表1中相關(guān)參數(shù)的取值情況可以看出，行人步頻不僅直接影響步行力的頻率成份，而且還影響到步行力幅值.然而，研究者在應(yīng)用式（1）時(shí)卻簡(jiǎn)單地以某個(gè)特定的頻率（一般情況下為結(jié)構(gòu)的某階固有振動(dòng)頻率）代替行人步頻fp，導(dǎo)致行人步行力為一絕對(duì)的周期荷載，從而忽略了步行力個(gè)體之間的差異性以及個(gè)體內(nèi)部變異性的影響.針對(duì)這一問題，本文提出采用行人瞬時(shí)步頻為基礎(chǔ)的行人步行力隨機(jī)性時(shí)域模型.

式中：fji為行人i第j步的瞬時(shí)步頻；為第j步行人步行力s階諧波瞬時(shí)動(dòng)載系數(shù)，具體以fji代替fp并參照表1進(jìn)行計(jì)算；為第s階諧波動(dòng)在第（j－1）步末時(shí)刻的相位，顯然：

其中：Tji為第j步瞬時(shí)步行周期，Tji＝1／fji.

依次遞推，也就是說，行人在第j步時(shí)的初相位完全可以由起始時(shí)刻的初相位代替，而的取值則可按照表1進(jìn)行確定.

經(jīng)過改進(jìn)后由式（2）確定的行人步行力模型不僅能夠反映不同行人之間步行力的差異性，而且還可以明確考慮同一個(gè)體內(nèi)部變異性的影響.但是，關(guān)于公式中涉及到的行人瞬時(shí)步頻fji如何取值這一問題，目前關(guān)于這一方面的研究卻鮮有報(bào)道.再考慮到在人行橋人致振動(dòng)時(shí)域分析中還要用到有關(guān)行人步長(zhǎng)、步行速度等物理量，接下來以行人步行參數(shù)（步頻、步長(zhǎng)及步行速度）為研究對(duì)象，通過實(shí)測(cè)的方法對(duì)行人步行參數(shù)分布特征展開調(diào)查.

1.2 行人步行參數(shù)研究

1.2.1 人群步行參數(shù)分布特性

1）行人流觀測(cè)方案

湖南大學(xué)風(fēng)工程試驗(yàn)研究中心于2008年9月期間對(duì)人群步行參數(shù)進(jìn)行了現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)研究，觀測(cè)對(duì)象主要為在校青年學(xué)生，觀測(cè)地點(diǎn)選擇在教學(xué)樓中樓入口處（與人行橋情況相似，這里沒有車輛經(jīng)過，并且雙向人流量較大，便于得到較多的觀測(cè)樣本），觀測(cè)區(qū)域長(zhǎng)為12.75m、寬約4m，觀測(cè)方法采用高分辨率攝像機(jī)在觀測(cè)區(qū)域范圍內(nèi)對(duì)行人步行全過程進(jìn)行秘密拍攝，從而避免拍攝過程中影響到行人固有步行特征，觀測(cè)時(shí)段選取在每天學(xué)生上下課進(jìn)出教學(xué)樓高峰期，整個(gè)觀測(cè)過程前后歷時(shí)約一個(gè)月.

2）人群步行參數(shù)統(tǒng)計(jì)分析

拍攝完畢后，將錄像資料陸續(xù)導(dǎo)入PC進(jìn)行播放，通過控制播放器的暫停與開始功能，記錄每個(gè)行人進(jìn)入和離開觀測(cè)區(qū)域的時(shí)間以及整個(gè)過程需要的步行數(shù)，進(jìn)而得到單個(gè)行人走過觀測(cè)段的總時(shí)間，然后根據(jù)關(guān)系式：步長(zhǎng)＝ 觀測(cè)段長(zhǎng)度／步數(shù)、步頻＝步數(shù)／時(shí)間，分別計(jì)算行人平均步長(zhǎng)及對(duì)應(yīng)步長(zhǎng)頻率.

按照上述方法，逐個(gè)提取所有樣本的步行參數(shù)，拍攝全過程累計(jì)樣本數(shù)最終多達(dá)12 293個(gè).對(duì)樣本空間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，圖1（a），（b）分別為行人平均步頻、步長(zhǎng)參數(shù)直方分布圖.為方便起見，各圖右軸中均疊加了各組樣本的正態(tài)分布擬合概率密度曲線.

從圖中不難看出，各組樣本對(duì)應(yīng)的直方分布圖與擬合出的概率密度曲線吻合程度相當(dāng)好，表明人群步行參數(shù)整體上符合正態(tài)分布，其中，行人平均步長(zhǎng)服從參數(shù)為N（0.715，0.078）m的正態(tài)分布；行人平均步頻則服從參數(shù)為 N（1.825，0.221）Hz的正態(tài)分布.

顯然，以上結(jié)論僅是從整體的角度描述了行人的兩個(gè)步行參數(shù)，它還不足以說明單個(gè)行人的步行參數(shù)特征，如步長(zhǎng)與步頻之間的匹配關(guān)系、步長(zhǎng)／步頻與步行速度之間的協(xié)調(diào)問題等.為了考慮這一問題，圖2為觀測(cè)樣本中步長(zhǎng)／步頻數(shù)據(jù)對(duì)的散點(diǎn)分布情況.根據(jù)關(guān)系式：步行速度＝步長(zhǎng)×步頻，圖中一并示出了步行速度位于0.638～2.550m／s之間的等速步行線.此外，在橫坐標(biāo)步頻軸上，圖中還示出了0.8～2.8Hz范圍內(nèi)、以0.4Hz增量為區(qū)間長(zhǎng)度的各子區(qū)間范圍內(nèi)的步長(zhǎng)分布直方圖.

圖1 人群步行參數(shù)直方分布圖Fig.1 Histogram of population walking gaits

圖2 行人等速步行線分布Fig.2 Isograms of pedestrian walking speed

首先，結(jié)合圖中的步頻／步長(zhǎng)散點(diǎn)分布情況以及各等速步行曲線的覆蓋范圍，直觀上可以發(fā)現(xiàn)，隨著步行速度的增加，行人步頻、步長(zhǎng)均呈現(xiàn)出同步增長(zhǎng)的趨勢(shì).其次，觀察所有步頻子區(qū)間內(nèi)的步長(zhǎng)分布直方圖可以發(fā)現(xiàn)，隨著步頻的增長(zhǎng)，區(qū)間內(nèi)步長(zhǎng)平均值整體上有向上增長(zhǎng)的趨勢(shì).

為了準(zhǔn)確地描述以上規(guī)律，進(jìn)一步揭示行人步行參數(shù)間的內(nèi)在關(guān)系，圖3為處理后的行人步長(zhǎng)／步頻－步行速度關(guān)系曲線圖，其中，步長(zhǎng)／步頻數(shù)據(jù)點(diǎn)（包含均值及標(biāo)準(zhǔn)差）均基于對(duì)應(yīng)等速步行曲線統(tǒng)計(jì)得到，并分別以符號(hào)“□”，“○”加以標(biāo)示，粗實(shí)線／粗虛線分別為采用冪函數(shù)形式擬合出的步頻／步長(zhǎng)－步行速度關(guān)系曲線.

圖3 基于等速步行曲線的行人步長(zhǎng)／步頻－速度關(guān)系曲線Fig.3 Isogram－determinedrelationship between step length／pacing frequency and walking velocity

圖4為最終擬合得到的行人步頻－步長(zhǎng)關(guān)系曲線圖；兩圖中相關(guān)擬合數(shù)學(xué)表達(dá)式分別為：

或者

式中：fs，Ls以及υ分別為行人平均步頻、步長(zhǎng)與步行速度，三者一起構(gòu)成一組具有匹配關(guān)系的行人步行參數(shù)組.

圖4 基于等速步行曲線的行人步長(zhǎng)－步頻關(guān)系曲線Fig.4 Isogram－determinedrelation between step length and pacing frequency

至此，在行人基本步行參數(shù)的3個(gè)統(tǒng)計(jì)量中，只要任意給出其中一個(gè)（通常為步頻），就可以按照式（3）～（6）計(jì)算出與其相互協(xié)調(diào)的其它兩個(gè)參數(shù)（如步長(zhǎng)及步行速度）.

1.2.2 個(gè)體步行參數(shù)分布特性

利用了集成化的加速度計(jì)量?jī)x（下文簡(jiǎn)稱為L(zhǎng)ogger）對(duì)行人步行過程進(jìn)行跟蹤測(cè)試，并對(duì)加速度信號(hào)進(jìn)行峰值識(shí)別處理后最終獲取了行人瞬時(shí)步頻.

1）個(gè)體步行過程跟蹤測(cè)試

步行跟蹤測(cè)試中所用到的Logger裝置如圖5所示，其核心部件為電容式加速度計(jì)，當(dāng)其運(yùn)動(dòng)發(fā)生改變時(shí)，電容信號(hào)依次經(jīng)過放大、A／D轉(zhuǎn)換后最終輸出數(shù)字化加速度信號(hào).該裝置體積小、攜帶方便，它不僅能夠采集、存儲(chǔ)3個(gè)相互垂直方向的加速度信號(hào)，而且還可以通過網(wǎng)絡(luò)通訊接口進(jìn)行高精度（0.001s）的時(shí)間同步設(shè)置；裝置具有定時(shí)開啟與手動(dòng)控制兩種數(shù)據(jù)采集模式，兩種模式的最高數(shù)據(jù)采集頻率均為1 000Hz，并配有兩種可供選擇的最大量程范圍±6 g，±2 g.本次測(cè)試中最大量程設(shè)置為±2 g、數(shù)據(jù)采集頻率為200Hz，并采用了起步后2min開始采集數(shù)據(jù)的定時(shí)數(shù)據(jù)采集功能.

測(cè)試開始前，對(duì)供電后（2節(jié)5號(hào)電池）的Logger進(jìn)行時(shí)間同步、模式選擇等相關(guān)設(shè)定，并通過腰帶將設(shè)定好的Logger固定在受試者的后腰上（大約相當(dāng)于行人身體重心），確保其y軸鉛直向上、x軸橫向保持水平.Logger固定就緒后，拔掉上方啟動(dòng)插頭即可開始行人步行跟蹤測(cè)試，測(cè)試過程中行人可隨時(shí)插入插頭暫停加速度記錄.本次試驗(yàn)共征集了23名參與者，年齡均在25歲左右，測(cè)試中要求所有參與者分別以適合于自己的行走速度繞校園行走一周（距離約為2kg）.

圖5 步行過程跟蹤加速度Logger裝置Fig.5 Accelerometer device for monitoring walking process

2）個(gè)體步行參數(shù)提取及分析

眾所周知，行人步行過程由若干個(gè)步行周期組成，每個(gè)步行周期又包含若干個(gè)步行特征動(dòng)作（如腳跟著地、腳尖離地等等），步行過程中任意特征動(dòng)作前后兩次出現(xiàn)的時(shí)間間隔即為行人步行周期.與步行特征動(dòng)作相類似，在一個(gè)步行周期范圍內(nèi)，行人步行加速度信號(hào)同樣展現(xiàn)出若干項(xiàng)特征，如圖6所示，其中以y軸（豎向）、z軸（行進(jìn)方向）加速度波形特征最為明顯，分別表現(xiàn)為正峰值－單M型、負(fù)峰值－雙M型，x軸（行人側(cè)向）波形相對(duì)復(fù)雜，但仔細(xì)觀察后仍然可以發(fā)現(xiàn)，其準(zhǔn)半周期正峰值特性亦較為突出.

因此，行人瞬時(shí)步頻還可以從步行加速度信號(hào)中獲取，即提取步行加速度波形圖中相鄰特征點(diǎn)（正／負(fù)峰值）在時(shí)間上的間隔.以此為依據(jù)，在跟蹤測(cè)試過程結(jié)束后，將Logger中的加速度數(shù)據(jù)導(dǎo)入計(jì)算機(jī)，并利用自編程序PeakDetect進(jìn)行相應(yīng)信號(hào)峰值識(shí)別處理及行人瞬時(shí)步行參數(shù)計(jì)算.

圖6 典型行人步行過程背部加速度圖式Fig.6 Typical back accelerationpattern for human walking

以行人步行豎向加速度分量為例，圖7和圖8說明了個(gè)體步行參數(shù)的提取過程.其中，圖7為39號(hào)試驗(yàn)者豎向步行加速度的峰值識(shí)別情況，從隨機(jī)抽取的樣本圖（分別為446～451s，1 339～1 344s之間）中可以看出，PeakDetect程序既能夠準(zhǔn)確地捕捉到行人步行加速度中的所有特征峰值，同時(shí)還完全拒絕了其它非特征性峰值，說明了行人步行加速度特征峰值識(shí)別算法的可靠性.圖8為基于豎向行人步行加速度特征峰值識(shí)別結(jié)果的39號(hào)行人瞬時(shí)步頻直方圖分布情況，圖的右軸部分疊加了正態(tài)分布擬合概率密度曲線，從瞬時(shí)步頻直方分布圖與概率密度曲線的吻合程度可以看出，以正態(tài)分布函數(shù)描述行人瞬時(shí)步頻的分布情況具有一定的合理性.因此，下文均以正態(tài)分布參數(shù)作為衡量行人瞬時(shí)步頻分布特征的主要統(tǒng)計(jì)量.

圖7 39號(hào)行人步行加速度（沿豎向）峰值識(shí)別結(jié)果Fig.7 Illustration of peak detecting efficiency for human walking acceleration signal in vertical direction

圖8 基于豎向步行加速度的39號(hào)行人瞬時(shí)步頻分布Fig.8 Instantaneous pacing frequency distribution derived with human walking acceleration signal in vertical direction

分析表明，39號(hào)行人的平均步頻為1.900 9 Hz，標(biāo)準(zhǔn)差為0.090 8Hz.事實(shí)上，39號(hào)行人在步行測(cè)試過程中前100步用時(shí)52′46″，對(duì)應(yīng)的平均步頻為1.906Hz，這與基于豎向步行力加速度得到的平均步頻1.900 9幾乎完全一致.

圖9為所有參與試驗(yàn)者的瞬時(shí)步頻統(tǒng)計(jì)參數(shù)分布圖，其中，圖左邊表示行人瞬時(shí)步頻標(biāo)準(zhǔn)差散點(diǎn)圖，“＊”與“o”分別表示該行人瞬時(shí)步頻是以步行加速度豎／縱向分量計(jì)算得到，而連接“＊”與“o”的短橫線表示該行人瞬時(shí)步頻時(shí)的計(jì)算同時(shí)用到豎／縱向分量；圖右邊為行人瞬時(shí)步頻標(biāo)準(zhǔn)差的直方分布圖.

圖9 行人瞬時(shí)步頻統(tǒng)計(jì)參數(shù)分布Fig.9 Distribution of statistical parameters for human instantaneous pacing frequency

仔細(xì)觀察圖9可以發(fā)現(xiàn)，行人瞬時(shí)步頻標(biāo)準(zhǔn)差的兩個(gè)特點(diǎn)：（?。┢浯笮∨c行人步頻平均值無明顯關(guān)聯(lián)趨勢(shì)；（ⅱ）其數(shù)值分布相對(duì)均勻.此外還可以看出，不同的加速度分量計(jì)算出的行人瞬時(shí)步行參數(shù)統(tǒng)計(jì)值也稍有差別，原因可能是由于在固定行人背部的加速度Logger裝置時(shí)，其y軸并沒有調(diào)到嚴(yán)格意義上的鉛直方向所致.

基于上述分析，可以對(duì)行人瞬時(shí)步頻作出以下結(jié)論，行人瞬時(shí)步頻總體上符合正態(tài)分布，其方差大小均勻分布在區(qū)間[0.06，0.12]Hz，與步頻均值無關(guān).

2 人行橋人致振動(dòng)時(shí)域分析

2.1 行人步行模態(tài)力

與其它類型的動(dòng)荷載（如單點(diǎn)正弦激勵(lì)荷載、隨機(jī)風(fēng)荷載）相比，行人步行力荷載的最大特點(diǎn)是時(shí)空雙重變化性，如圖10所示，即行人荷載隨著時(shí)間的變化一方面表現(xiàn)為荷載在數(shù)值上發(fā)生連續(xù)變化，另一方面體現(xiàn)在步行力荷載作用點(diǎn)位置發(fā)生間歇性的跳躍性變化，其中后一點(diǎn)使得行人動(dòng)力荷載在本質(zhì)上區(qū)別于車輛活載.這種集時(shí)空兩重性、離散連續(xù)性于一體的荷載多變性，使得行人動(dòng)力荷載模態(tài)力的集成方式不同于一般動(dòng)荷載作用下的模態(tài)力計(jì)算.

圖10 行人步行作用力學(xué)示意圖Fig.10 Mechanical sketch of human walking action

2.1.1 單人步行模態(tài)力計(jì)算

設(shè)人行橋第i階豎向最大位移歸一后的模態(tài)振型為φi（x），行人j踏上橋面的時(shí)刻記為t0j，第k步對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)步頻及步長(zhǎng)分別為fkj，Lkj，相應(yīng)瞬時(shí)步行周期則可表示為：Tkj＝1／fkj.根據(jù)行人步行參數(shù)的研究結(jié)果，其中瞬時(shí)步頻fkj可描述為：

式中：為該行人的平均步頻，Hz；服從N（，）的正態(tài)分布；為整體人均步頻；＝1.825Hz，為整體人均步頻標(biāo)準(zhǔn)差，＝0.221Hz；為該行人的個(gè)人平均步頻標(biāo)準(zhǔn)差，服從U（0.06，0.12）的均勻分布.瞬時(shí)步長(zhǎng)Lkj則按照式（6）進(jìn)行計(jì)算.

那么，行人j第k步的步行力Fkj（t）則直接按照式（2）計(jì)算，而其作用點(diǎn)位置Xkj為：

行人j第k步步行力荷載在全橋長(zhǎng)度范圍內(nèi)對(duì)應(yīng)的荷載集度可寫為：

相應(yīng)地，行人j第k步步行力對(duì)人行橋第i階模態(tài)力的貢獻(xiàn)可寫為：

根據(jù)式（10），逐次寫出行人j在不同振型φi下的步行模態(tài)力ijPk（t）.

2.1.2 人群步行過程模態(tài)力集成

在行人單步模態(tài)力的基礎(chǔ)上，人群步行過程模態(tài)力的集成主要涉及兩方面的問題.首先對(duì)于單個(gè)行人而言，模態(tài)力計(jì)算式（10）中的時(shí)間t與步行荷載作用點(diǎn)位置Xkj均是相對(duì)于該行人的第k步而言，因此行人每向前邁進(jìn)一步，時(shí)間t的取值范圍以及步行荷載作用點(diǎn)位置Xkj都要進(jìn)行相應(yīng)的更新；其次對(duì)于人群而言，還需要記錄下每一個(gè)行人進(jìn)入、走出橋面的具體時(shí)間，實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)橋面總行人數(shù)的變化情況.在此基礎(chǔ)上，人群步行過程的模態(tài)力可按以下基本步驟進(jìn)行計(jì)算.

（?。┳兞砍跏蓟簶蛏闲腥丝倲?shù)Np＝0、計(jì)算時(shí)間t＝0、設(shè)置時(shí)間增量Δt，將人群模態(tài)力Q（t）進(jìn)行初始化Q（t）＝0；

（ⅱ）更新計(jì)算時(shí)間t＝t＋Δt及橋面行人總數(shù)NP＝NP＋ΔN＋p，其中ΔN＋P為t時(shí)刻進(jìn)入橋面范圍的行人數(shù)，假設(shè)服從強(qiáng)度為λ的泊松分布；對(duì)于橋面新增的ΔN＋P行人，設(shè)置相應(yīng)的t0j＝t及步行力作用點(diǎn)位置X0j＝0，并將當(dāng)前步序號(hào)k初始化為k＝1，計(jì)算該行人第k步的結(jié)束時(shí)間tkj；

（ⅲ）對(duì)于橋面所有的Np個(gè)行人，逐一檢查計(jì)算時(shí)間t是否位于行人j當(dāng)前步（第k步）所界定的時(shí)間區(qū)間內(nèi)，并根據(jù)檢查情況執(zhí)行下列子步：

a）如果依然位于該范圍內(nèi)，按照式（10）計(jì)算當(dāng)前模態(tài)力并疊加到人群模態(tài)力總和表達(dá)式Q（t）＝Q（t）＋；

b）相反則表明行人需要向前邁出一步，此時(shí)更新行人j的當(dāng)前步數(shù)序號(hào)k＝k＋1，并按照式（8）計(jì)算該行人當(dāng)前步行荷載作用點(diǎn)位置Xjk，并判斷當(dāng)前作用點(diǎn)位置是否超于橋長(zhǎng)范圍；

c）若Xjk＞L0，表明行人已經(jīng)從橋面走下來，此時(shí)需要從橋面行人總數(shù)Np中劃去行人j，Np＝Np－1，并對(duì)涉及行人編號(hào)的物理量作相應(yīng)調(diào)整；若Xkj≤L0，則按照式（9）計(jì)算行人j當(dāng)前步的模態(tài)力并將計(jì)算結(jié)果疊加到人群模態(tài)力總和表達(dá)式中，即Q（t）＝Q（t）＋ijPk（t）；

（ⅳ）回到步驟（ⅱ）或根據(jù)最大計(jì)算時(shí)長(zhǎng)規(guī)定終止模態(tài)力集成運(yùn)算.

2.2 人行橋人致振動(dòng)動(dòng)力方程

設(shè)人行橋第i階豎向特征頻率為fib，對(duì)應(yīng)模態(tài)質(zhì)量及等效剛度分別為Mib，Kib（設(shè)橋梁振型中最大位移為一），橋梁固有阻尼比為ζib，模態(tài)坐標(biāo)記為yi（t）.基于強(qiáng)迫振動(dòng)理論，行人步行作用將被視為外荷載直接施加于橋梁結(jié)構(gòu)上，因此人群作用下的人行橋運(yùn)動(dòng)方程可寫為：

由于上述方程為常系數(shù)二階微分方程，因此可采用結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中常用的Newmark－β法、Wilson－θ法等數(shù)值方法進(jìn)行求解.

根據(jù)式（10），式（11），依次算出行人步行荷載作用下人行橋的各階模態(tài)響應(yīng).那么，按照模態(tài)疊加理論，取前n階模態(tài)計(jì)算，人行橋上任意點(diǎn)x處的實(shí)際響應(yīng)y（x，t）可寫為：

3 人行橋人致振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算算例

3.1 人行橋人致振動(dòng)現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)

43＃人行橋是某高速公路的跨線人行橋，結(jié)構(gòu)形式為預(yù)應(yīng)力混凝土四跨連續(xù)梁，全長(zhǎng)80.03m（11.4＋24.58＋32.65＋10.95），橋面凈寬4.0m，主梁截面形式為淺肋板式，橫截面積A＝1.82m2，截面抗彎慣性矩EI＝2.80×109Nm2，主梁線密度ˉm＝4 556kg／m.根據(jù)有限元分析以及現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試結(jié)果，該人行橋僅有前兩階豎向振動(dòng)頻率fd＜5Hz，其對(duì)應(yīng)模態(tài)振型及參數(shù)分別如圖11和表2所示，其中，模態(tài)質(zhì)量對(duì)應(yīng)于最大振型分量為1的模態(tài)振型，模態(tài)阻尼比為實(shí)測(cè)平均值.

為了測(cè)量橋梁在隨機(jī)人群荷載作用下的豎向振動(dòng)響應(yīng)，試驗(yàn)前首先將三軸加速度傳感器固定在人行橋右主跨跨中橋面上.試驗(yàn)中共有41名行人參與橋面步行過程，所有參與者均要求以適合自己的步行方式重復(fù)性地從橋梁一側(cè)走過并從另一側(cè)返回，最終形成閉合、穩(wěn)定的行人流.與此同時(shí)，操作人員使用機(jī)械計(jì)數(shù)器記錄下每10s內(nèi)通過左側(cè)邊墩墩頂?shù)耐敌腥藬?shù)ni，以便確定橋面雙向行人流強(qiáng)度及分布.

上述試驗(yàn)在整個(gè)試驗(yàn)中共進(jìn)行了兩次，持續(xù)時(shí)長(zhǎng)分別為500s，420s.以第一次試驗(yàn)過程為例，其行人人流強(qiáng)度均值為：

圖11 43＃人行橋前兩階豎向振動(dòng)模態(tài)Fig.11 The first two vertical vibration mode shape of 43＃pedestrian bridge

根據(jù)行人步行參數(shù)之間的相互關(guān)系，行人平均步行速度為υP＝1.825×0.715＝1.30m／s.考慮到行人在橋梁兩端需要繞行，行人在橋面上行走一周的實(shí)際距離為L(zhǎng)＝80.03＋2×4＝88.03m.那么在穩(wěn)態(tài)行人流下橋面上的理論行人數(shù)Np＝0為：

與橋面實(shí)際行人數(shù)完全吻合.根據(jù)第三跨跨中加速度計(jì)的測(cè)量信號(hào)，圖12給出了橋面跨中加速度的時(shí)程變化曲線，其中豎向虛線表示第一、二次試驗(yàn)的分隔線.根據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，跨中加速度最大值及均方差分別為＝0.435m／s2，σ¨ω＝0.104m／s2.

表2 43＃人行橋前兩階豎向振動(dòng)模態(tài)參數(shù)Tab.2 Vertical vibration modal parameters of 43＃pedestrian bridge

圖12 43＃號(hào)人行橋人致振動(dòng)跨中加速度響應(yīng)Fig.12 Acceleration response at the mid span of 43＃pedestrian bridge under human walking

3.2 人行橋人致振動(dòng)數(shù)值分析

以43＃人行橋?yàn)槔捎帽疚牡挠?jì)算方法對(duì)該橋的人致振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值模擬，其中橋梁基本參數(shù)見表2所示，行人流強(qiáng)度行人流強(qiáng)度λ＝0.61Ped／s.由于第三、四階模態(tài)頻率 （分別為5.72Hz，10.08Hz）遠(yuǎn)高于行人步頻，因此人行橋人致振動(dòng)模態(tài)疊加響應(yīng)計(jì)算中僅采用前兩階豎向振動(dòng)模態(tài).圖13為橋面行人隨時(shí)間的變化情況以及第三跨跨中加速度響應(yīng)的數(shù)值模擬結(jié)果，其中，橋面平均行人數(shù)約為40人，加速度最大值¨ωmax＝0.427 5 m／s2，σ¨ω＝0.107 8m／s2，與實(shí)測(cè)值非常吻合.

為了便于進(jìn)一步比較，表3依次列出了按照歐洲規(guī)范EuroCode－5、法國(guó)規(guī)范Setra－2006、歐盟設(shè)計(jì)指南HIVOSS－2008、英國(guó)國(guó)家補(bǔ)充規(guī)范UK－NA以及國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)組織ISO－10137等計(jì)算出的43＃人行橋跨中加速度響應(yīng).

從表中的比較結(jié)果中可以看出，無論是加速度峰值還是均方值，本文提出的人行橋人致振動(dòng)計(jì)算方法均能夠給出滿意的計(jì)算結(jié)果.相比較而言，法國(guó)Setra－2006指南、英國(guó)UK－NA也值得推薦.至于兩者計(jì)算結(jié)果具有一定差異，其主要原因在于兩者所采用的峰值置信度水平不一致，其中前者對(duì)應(yīng)于4倍標(biāo)準(zhǔn)差，后者則對(duì)應(yīng)于2.5倍標(biāo)準(zhǔn)差.對(duì)于其它規(guī)范，如歐洲規(guī)范 EC－5、歐盟 HIVOSS－2008的譜方法、國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)組織ISO－10137的簡(jiǎn)化分析法等，其計(jì)算結(jié)果誤差則相對(duì)較大，其中 EC－5，ISO－10137高估橋梁加速度響應(yīng)的直接原因在于這些規(guī)范采用了行人共振步行力模型，忽略了荷載隨機(jī)性的影響；有趣的是，同樣基于共振力模型，HIVOSS－2008譜方法給出的計(jì)算結(jié)果卻大幅偏小，其可能原因在于該方法是一種基于特定數(shù)值模擬結(jié)果的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ停瑢?duì)于不同橋梁結(jié)構(gòu)具有很大的局限性.

圖13 43＃人行橋跨中加速度響應(yīng)數(shù)值模擬結(jié)果Fig.13 Numerical acceleration response at the mid span of 43＃pedestrian bridge

表3 43＃號(hào)人行橋人致振動(dòng)加速度響應(yīng)對(duì)比Tab.3 Comparison on the acceleration response at the mid span of 43＃pedestrian bridge

4 結(jié) 論

為了真實(shí)模擬行人步行荷載效應(yīng)，考慮行人荷載隨機(jī)性的影響，本文從行人步行力模型入手，以實(shí)際觀測(cè)為主要手段，系統(tǒng)研究了模型中行人步行參數(shù)的分布特征，著重闡述了行人步行過程模態(tài)力的集成方法，建立了人行橋人致振動(dòng)的理論分析框架，并以43＃人行橋?yàn)槔ㄟ^與現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，證實(shí)了本文計(jì)算方法的準(zhǔn)確性.

1）以瞬時(shí)步行參數(shù)為參量的行人步行力模型能夠全面反映行人步行力的雙重隨機(jī)性，即個(gè)體間差異性以及個(gè)體內(nèi)部變異性.

2）人群步行參數(shù)整體上服從正態(tài)分布，其中，平均步長(zhǎng)及步頻分別服從參數(shù)為N（0.715，0.078）m以及參數(shù)為N（1.825，0.221）Hz的正態(tài)分布，但對(duì)于個(gè)體而言，兩者間仍需要滿足步長(zhǎng)－步頻協(xié)調(diào)條件，即滿足表達(dá)式Ls＝3.659f－1.266s.

3）單個(gè)行人瞬時(shí)步頻總體也服從正態(tài)分布，但其方差大小與步頻均值無關(guān)，均勻分布在區(qū)間[0.06，0.12]Hz.

4）行人步行過程模態(tài)力的集成既不同于移動(dòng)車輛荷載，也不同于其它分布性荷載（如風(fēng)荷載），需要充分考慮到其間斷性的跳躍特征.

5）本文提出的人行橋人致振動(dòng)時(shí)域分析法完全考慮了行人步行荷載各種隨機(jī)性的影響，并且該方法不受橋梁結(jié)構(gòu)形式限制，應(yīng)用面廣.對(duì)43＃橋而言，其計(jì)算結(jié)果較部分規(guī)范更為可靠，但其普適性有待更多試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證.

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