可靠性測驗先驗分布超參數(shù)確定方法

甄昕，丁力軍

（1.中國人民解放軍92941部隊93分隊，遼寧 葫蘆島 125001；2.中國人民解放軍92493部隊98分隊，遼寧 葫蘆島 125001）

0 引言

一直以來，由于海軍戰(zhàn)術導彈的造價高昂，其設計定型試驗或者鑒定試驗都是在小樣本條件下進行的。在對導彈戰(zhàn)技術指標特別是一些可靠性指標作評定時，只依靠從定型試驗或鑒定試驗獲得的子樣信息通常是不夠的。為了解決設計定型試驗或鑒定試驗子樣不足的問題，目前常用的方法是：對于前期有研制試驗的（如設計定型試驗），從研制試驗中獲得先驗信息，結合定型試驗現(xiàn)場信息，采用Bayes小樣本理論對可靠性指標作出評定；對于沒有研制試驗的（如大部分鑒定試驗），可采用專家打分法來獲取先驗信息，結合鑒定試驗的現(xiàn)場信息，采用Bayes小樣本理論對可靠性指標作出評定。

Bayes小樣本理論的一個核心問題是如何從先驗信息中得到參數(shù)的先驗分布，然后結合現(xiàn)場信息利用Bayes公式得到后驗分布，最終依據(jù)參數(shù)的后驗分布進行統(tǒng)計推斷或決策。導彈飛行試驗可靠性參數(shù)概率分布一般分為兩類：1）（如飛行可靠度、單發(fā)命中概率等）服從二項分布，此類參數(shù)的先驗分布一般為β（a，b）分布；2）（如失效率λ等）服從指數(shù)分布，此類參數(shù)的先驗分布一般為Γ（c，d）分布。

在利用Bayes小樣本理論對導彈飛行試驗可靠性指標進行評定時，需要通過其先驗信息來確定先驗分布中的參數(shù)值，也就是需要確定所謂的 “先驗超參數(shù)”。工程上確定先驗分布超參數(shù)，可用分位數(shù)確定先驗超參數(shù)的方法和專家知識確定超參數(shù)的方法[1]。

1 分位數(shù)法

分位數(shù)法是根據(jù)不同的置信概率對于不同的參數(shù)是先驗分布分位數(shù)來確定先驗分布超參數(shù)值。

假設評定導彈上某一電子產(chǎn)品的失效率λ，進行有替換定時截尾試驗，總工作時間為τ，在工作期間共出現(xiàn)z次失效。

失效率λ的共軛先驗分布為Γ（c，d）[2]，即：

其中，λ＞0，c＞0，d＞0，c和 d 為先驗超參數(shù)，其確定方法如下：

a）給定不同的置信概率γ1和γ2，根據(jù)先驗信息確定產(chǎn)品的隨機化最優(yōu)置信上限λu1和λu2隨機化最優(yōu)置信上限λu，可依據(jù)不完全Γ函數(shù)的形式求解[3]，即有：

不完全Γ函數(shù)的定義為：

工程上一般取 u=0.5、 γ1=0.8 和 γ2=0.9，進行編程計算，具體的編程計算方法詳見參考文獻[3]的147頁。

b）通過解方程組來確定先驗超參數(shù)

已知λu1和λu2，并令它們分別等于失效率λ先驗分布的γ1和γ2分位數(shù)值，即有：

解方程組（4），得到先驗超參數(shù)c和d的具體數(shù)值。

例1 假設在定型試驗中用Bayes小樣本理論評定導彈上某電子產(chǎn)品的失效率λ，研制試驗中獲得其有替換定時截尾試驗數(shù)據(jù)（z，τ）=（1，200），且此數(shù)據(jù)已通過相容性檢驗，試根據(jù)此數(shù)據(jù)來確定失效率λ先驗分布的超參數(shù)c和d。

解：

1）取 γ1=0.8、 γ2=0.9，編程求解 λu1和 λu2

當z≥0.5時，式（2）可用下式取代：

利用Matlab語言，借鑒參考文獻[4]147頁介紹的方法，圍繞式（5）進行編程計算，可得：

2）解方程組得到c和d

將（6）式代入（4）式可得：

一般不直接求解方程組（7），而用試算法求解，可得 c=1.4，d=1/182，將 c、d值代入式（7），反算可得 γ1=0.8003，γ2=0.9001，γ1和 γ2的絕對誤差小于千分之一。

用分位數(shù)確定先驗超參數(shù)的方法同樣適用于二項分布參數(shù)的先驗超參數(shù)的確定。

2 專家打分法

專家打分法是根據(jù)專家經(jīng)驗或類似產(chǎn)品信息來確定先驗分布超參數(shù)值。

假設評定導彈單發(fā)命中概率指標R，沒有研制試驗信息，R的先驗信息由專家以連續(xù)區(qū)間形式給出。R的共軛先驗分布為β（a，b）分布，其概率密度為[2]：

β分布的均值和方差為：

根據(jù)專家經(jīng)驗或類似產(chǎn)品信息，可給出R的先驗信息即：R∈（RL，RH）。在確定先驗超參數(shù)時，首先以均勻分布描述產(chǎn)品的先驗信息，即均勻分布的均值和方差為：

利用一階矩與二階矩相等的原理[2]，求出與該均勻分布最接近的β分布作為先驗分布，同時求出先驗超參數(shù)a和b之值，即有：

在實際情況中，解方程組（11）有時得到的是負解，不滿足先驗超參數(shù)非負的要求。這時以先驗參數(shù)為變量，將均值作為約束，方差作為目標，利用最優(yōu)化方法求出與該均勻分布最接近的β分布作為先驗分布，同時求出先驗超參數(shù)a和b之值，即有：

例2假設在導彈鑒定性飛行試驗中利用Bayes小樣本理論評定導彈單發(fā)命中概率R，試驗前4位專家給出了R的4組數(shù)據(jù)，分別為（0.55，0.85）、（0.42，0.82）、（0.53，0.93）和（0.62，0.82），試根據(jù)專家數(shù)據(jù)確定R的先驗分布超參數(shù)a和b。

解：

1）根據(jù)式（13）整理專家數(shù)據(jù)，確定均勻分布的均值和方差[1]

其中，k為連續(xù)區(qū)間個數(shù)。

將 4組專家數(shù)據(jù)代入公式（13），可得 EU=0.69，VU=0.02。

2）根據(jù)式（11）或式（12）得出先驗超參數(shù)a和b之值

由公式（11）可得：

解方程組（14），可得先驗超參數(shù)a=6.55，b=2.94。

3 結束語

目前有很多確定先驗超參數(shù)的方法，包括無先驗信息可利用時的Box_Tiao方法、Jeffreys方法；有部分信息可利用的最大熵方法；參數(shù)經(jīng)驗Bayes方法和非參數(shù)經(jīng)驗Bayes方法等。綜合比較而言，它們有的不易理解，有的工程上應用很繁瑣。本文推薦的兩種方法屬于參數(shù)經(jīng)驗Bayes方法，它們的物理意義較明確，工程上也較容易實現(xiàn)，是兩種較好的確定先驗超參數(shù)的方法。

[1]明志茂，陶俊勇，陳循，等.動態(tài)分布參數(shù)的貝葉斯可靠性分析[M].北京：國防工業(yè)出版社，2011.

[2]周源泉，翁朝曦，可靠性評定[M].北京：科學出版社，1990.

[3]金星，洪延姬.系統(tǒng)可靠性評定方法[M].北京：國防工業(yè)出版社，2005.

[4]金星，洪延姬，沈懷英，等.可靠性數(shù)據(jù)計算及應用[M].北京：國防工業(yè)出版社，2003.