重力向下延拓計算分析

劉 濤，余志奇，王建強

（1.武漢市政設(shè)計研究院有限責(zé)任公司，湖北 武漢430079；2.東華理工大學(xué) 測繪工程學(xué)院，江西 南昌330013）

隨著全球定位系統(tǒng)（GPS）定位精度的提高、慣性導(dǎo)航系統(tǒng)（INS）和重力測量系統(tǒng)的改進，航空重力測量在5～10km的空間分辨率尺度上能夠達到1～3mGal（1mGal＝10－5m／s2）的數(shù)據(jù)精度，所提供的重力場中、短波信息與地面重力測量和衛(wèi)星重力測量形成有效互補，特別是在地面重力測量難以達到的地區(qū)（如兩極、森林和山區(qū)等），航空重力測量更是無可替代。航空重力測量觀測值經(jīng)過數(shù)據(jù)預(yù)處理，可得到飛行高度處的重力異常或重力擾動，但大地測量領(lǐng)域需要的是大地水準(zhǔn)面上的重力值，因此，需將飛行高度處的重力異?；蛑亓_動向下調(diào)和延拓至大地水準(zhǔn)面上。航空重力向下延拓是一個數(shù)據(jù)噪聲放大的過程，屬于病態(tài)問題，若不采用合適的延拓方法，將無法得到穩(wěn)定可靠的重力延拓解。向下延拓的方法有多種，包括最小二乘配置［1］（LSC）、快速傅里葉變換［2］（FFT）、直接代表法［3］和求解球內(nèi) Dirichlet問題的直接法［4］。Poisson積分［5－8］法應(yīng)用最為廣泛。本文將對Poission積分方法進行研究，通過積分迭代計算過程實現(xiàn)重力向下延拓。作為對比分析，模擬區(qū)域選擇在高山區(qū)域和平原區(qū)域，通過數(shù)據(jù)模擬得出該方法的延拓性質(zhì)。

1 Poission積分

由于現(xiàn)代觀測技術(shù)的發(fā)展，重力數(shù)據(jù)多種多樣，但有時需要獲取特定位置的重力數(shù)據(jù)，這時需要對重力進行延拓，對于重力延拓的研究，可參考文獻［5］、［9］。假定在Bjerhammar球面上有連續(xù)分布的重力異常，以Bjerhammar球面為邊界的第三邊值問題基礎(chǔ)上，重力延拓的計算公式［10］

式（1）的解目前還沒有Poisson逆算子的封閉公式，可采用迭代法或?qū)⑦@一積分方程離散化，近似轉(zhuǎn)化成一個線性方程組求解。以迭代法作為試驗，式（1）可改寫為

式中：P為計算點，Q′為σ面上的積分面元流動點，DPQ′＝lPQ′／rp。利用直接積分法可得

式（4）即為求解Δg＊P′的迭代計算公式，取初始值

2 模擬計算

為了顧及地形對重力向下延拓的影響，試驗計算了2個地區(qū)的重力延拓，區(qū)域位置同重力歸算中的2個區(qū)域相同，分別為A區(qū)和B區(qū)，其中A區(qū)地勢復(fù)雜，位于高山區(qū)域，B區(qū)地勢平坦，位于平原區(qū)域。兩個區(qū)域均為4°×4°的方塊區(qū)域，計算結(jié)果如圖1、圖2所示，圖中的（a）圖為地面重力值，（b）圖為向下延拓值。從圖中可以看出，A區(qū)的重力異常比B區(qū)的重力異常范圍要大，原因是A區(qū)的地形海拔落差比B區(qū)大。2個區(qū)域的延拓迭代計算統(tǒng)計如表1所示，要達到限差要求，A區(qū)需要迭代計算13次，B區(qū)迭代計算7次。

表1 迭代計算統(tǒng)計

3 結(jié)束語

利用Poisson積分進行重力向下延拓需要迭代計算，迭代計算的次數(shù)同地形有關(guān)。地形復(fù)雜區(qū)域重力異常波動范圍大，重力向下延拓在保證相同精度下需要迭代的次數(shù)遠大于平坦區(qū)域。模擬實驗表明，地面觀測數(shù)據(jù)向下延拓至橢球面上，由于距離較小，數(shù)值變化不大。由于重力向下延拓是一個誤差放大的過程，因此，有必要對重力向下延拓的誤差特性進行分析。

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