基于橢圓擬合的隧道斷面監(jiān)測及其應用

趙兵帥，黃 騰，歐 樂

(河海大學 地球科學與工程學院，江蘇南京210098)

0 引 言

隨著我國現(xiàn)代城市軌道交通的迅速發(fā)展，城市軌道的安全保護監(jiān)測日趨重要。其中隧道的形變是安全保護內容的關鍵。地鐵隧道在長期運營過程中，車輛的通行、地面高層建筑以及土層的壓力等綜合因素極有可能引起隧道產(chǎn)生形變，這些形變緩慢而長期的累積是潛在的不安全因素，會造成嚴重的安全事故。例如，隧道附近在建大型建筑物深基坑的開挖施工階段會造成隧道位移、沉降等變化；隧道周圍土層壓力、荷載等變化會某種程度上影響隧道本身的穩(wěn)固趨勢[1](包括隧道各種應力的分布以及隧道管壁周圍的整體力學形態(tài))。因此，對地鐵隧道斷面進行實時、定期的監(jiān)測和分析預報，及時反饋其動態(tài)變化的穩(wěn)定性趨勢，根據(jù)反饋信息了解地鐵隧道的安全指標，是確保地鐵隧道安全通車、運營正常的重要手段，也是衡量隧道保護監(jiān)測質量的重要指標。

1 擬合算法

為了對隧道變形結果進行合理有效的分析，首先需要建立一個合適的監(jiān)測模型即斷面模型，然后對數(shù)據(jù)進行分析和處理。隧道斷面在外部荷載壓力不均勻的影響下，會產(chǎn)生微小的不均勻變形，可看成是離心率很小的橢圓[2]，通過測量隧道斷面上同等間距均勻分布的大量監(jiān)測點坐標，利用曲線擬合的方法得到隧道斷面的具體形狀及參數(shù)，了解隧道的形變情況，從而對隧道斷面健康狀況進行及時的診斷。

1.1 最小平方中值法(LMedS方法)[3]

最小平方中值法是G.Roth[4]等人在最小二乘方法的基礎上要求殘差平方的中值取最小值提出的，該方法在橢圓擬合的前提下可以表述為代數(shù)最小二乘法，要求滿足:

而最小平方中值法要求:

平面二次曲線方程一般可表示為:

寫成矩陣形式:

在求解的過程中，有可能因為誤差等原因導致求出的參數(shù)曲線不是橢圓而是其他曲線，為了保證擬合結果是橢圓，需對式(3)加一個約束條件:b2-4ac=1；

具體計算步驟如下:

(1)在所有待擬合的點中隨機的選取五個點(xj1，yj1)……(xj5，yj5)，j=1，……，m ；利用解線性方程組的方法解算出一組橢圓系數(shù) αj=(aj，bj，cj，dj，ej)；

(2)每個待擬合點對參數(shù)向量 αj=(aj，bj，cj，dj，ej)求誤差的平方:

1.2 改進的橢圓擬合算法

最小平方中值法是在最小二乘的基礎上提出的，但采用此法擬合出的橢圓無法判定其穩(wěn)健性，本文結合最小平方中值法提出了一種改進的擬合算法，可以很好的判斷橢圓擬合的好壞，其計算步驟如下:

(1)先按照最小平方中值的方法，得到一套最優(yōu)系數(shù)，并以此系數(shù)計算每個點的殘差，把所有點的殘差組成一個殘差向量[6]；

(2)由于這里的異常值通常多于一個，所以采用樣本中位數(shù)檢驗方法[7]，從殘差向量中找到異常值，然后把產(chǎn)生異常值所對應的粗差點剔除。

其中樣本中位數(shù)檢驗法原理如下:

設 x1，x2，………，xn是X 的獨立同分布樣本，而x(1)，x(2)，………，x(n)為它的順序統(tǒng)計量，用樣本中位數(shù)med{Xi}估計總體中心位置，X(m)med{Xi}和med{Xi}X1則為上下兩側極端值與中心位置的差異，將X(i)-med{Xi}再取中位數(shù)作為尺度，得到了關于異常值檢驗的檢驗統(tǒng)計量。

或者

其中

Tm和Tm*分別是樣本中位數(shù)檢驗法的上、下側異常值檢驗統(tǒng)計量，DTm是樣本中位數(shù)檢驗法的雙側異常值檢驗統(tǒng)計量。其中Tm和Tm*分別用于檢驗X(m)和X(1)是否異常值。

此方法的優(yōu)點是可以利用最小平方中值法找到一套具有穩(wěn)健性的擬合系數(shù)，然后利用樣本中位數(shù)可以找出異常值，剔除異常值后，再利用最小平方中值法擬合，得到最優(yōu)擬合效果。

2 斷面點數(shù)據(jù)的采集、后處理及精度分析

在需要進行斷面、收斂監(jiān)測的里程點上，使用帶有自動馬達的全自動全站儀進行測量，數(shù)據(jù)的采集一般采取非接觸式[1]的。隧道斷面本身的形變非常小，這決定了測量的高精度要求，因此在測量中常采取自由設站、分站式測量的方法，要求固定儀器高、固定步長或角度、固定設站點，每次測量的點位一致。為達到此目的，應在墻壁上埋設固定點進行定向，從而與測站點建立一自由坐標系。隧道斷面數(shù)據(jù)點的采集通常采用貼反光片或無反射棱鏡全站儀進行測量。

數(shù)據(jù)的后處理主要是剔除一些明顯偏離曲線的粗差點，這些數(shù)據(jù)點的偏差是由隧道內管線、照明系統(tǒng)、電器、螺栓孔洞、螺帽、泥漿、管片縫隙等干擾物[8]造成的。

2.1 斷面擬合精度

斷面擬合的精度可以依據(jù)誤差理論分析方法中的標準差來表示:

其中vi是指殘差向量，n為測量點數(shù)。

2.2 橢圓形狀誤差[9]

橢圓的形狀誤差計算方法如下:

以最小二乘橢圓的中心為原點，以橢圓的長、短軸分別為X 、Y軸建立坐標系。測量點pi(xi，yi)偏離最小二乘橢圓的偏差 Δ ri為:

其中 :αi=tan-1(yi/xi)

橢圓形狀誤差為:

3 收斂比例的計算

收斂比例是指通過橢圓中心的直線與隧道斷面兩交點形成的線段與隧道內徑的差值除以隧道斷面的外徑。計算公式如下:

式中:r、R分別是隧道內徑、隧道外徑；L為收斂長度。

計算收斂比例是為了了解隧道斷面上任意一對收斂點間隧道的收斂變形情況并反映其變形趨勢。根據(jù)采集的數(shù)據(jù)、擬合的圖形計算兩點的收斂，是為了對任一部分隧道斷面進行形變分析。判斷隧道形變是因為隧道滲水導致泥沙流失還是因為隧道受其他外力所致。將采集的數(shù)據(jù)導入AutoCAD中進行收斂計算，可以將圓四分或者八分，取其中任一部分進行分析，也可以計算收斂比例的變化。此外還可以用圖表分析其變化趨勢:利用EXCEL計算累計收斂量、本次收斂、收斂速度與時間的關系的函數(shù)圖像來反映整個隧道的變化量。

4 工程應用實例

為了進一步驗證本文提出的算法的可行性、可靠性以及穩(wěn)定性，在南京地鐵一號線新模范馬路站——玄武湖站隧道區(qū)間保護監(jiān)測中，采集了幾期隧道斷面實測數(shù)據(jù)。該段隧道內徑設計為5.5 m的標準圓。按照以上所述的方法進行數(shù)據(jù)的采集、數(shù)據(jù)粗差的剔除，利用Matlab軟件對本文提出的方法進行橢圓的擬合，并與利用最小平方中值法擬合的結果進行比較。

4.1 采集斷面數(shù)據(jù)并進行粗差的剔除

利用徠卡全自動全站儀TM30內置的斷面程序采集監(jiān)測里程點上的管片斷面數(shù)據(jù)，并把數(shù)據(jù)投影到空間平面上面，剔除明顯偏離曲線的點，并在7號點和12號點加入粗差。數(shù)據(jù)見表1。

表1 空間平面內點坐標 單位:m

4.2 橢圓的擬合

利用上述數(shù)據(jù)進行最小平方中值法和改進的最小平方中值法進行橢圓的擬合，并進行擬合精度、橢圓形狀誤差的比較:

(1)最小平方中值法擬合橢圓

擬合出的二次曲線方程為:

(2)改進的最小平方中值法擬合橢圓

①先進行最小平方中值法擬合得到上述(1)中的方程；

②計算樣本中位數(shù):

判斷出7號點和12號點為異常值；刪除7號點和12號點后，其它無異常值。

③最小平方中值法擬合出的二次橢圓曲線為:

上述兩種方法二次曲線擬合的精度和橢圓形狀誤差見表2。

4.3 收斂比例的計算及各期的變化表

從表3中可以得出每次收斂相差很小，變化趨勢平緩；每期監(jiān)測收斂的變化趨勢，也可以通過圖表預測下一期收斂值。

表2 模型擬合精度與形狀誤差對比表

表3 各期水平直徑和收斂比例

5 結 語

本文詳細介紹了隧道斷面收斂測量及后處理的模型與算法，并通過工程實例驗證了算法的可靠性，實驗中一個斷面的收斂數(shù)據(jù)采集耗時很短，達到了快速、理想的效果。運用多次測量某一斷面點的坐標均值進行擬合計算，每次監(jiān)測數(shù)據(jù)代入前面擬合的曲線方程，可以求出監(jiān)測點的變化量，具有較高的精度，可以達到毫米級。本算法簡單、易于編程的實現(xiàn)。通過引入并計算橢圓的擬合形狀誤差與擬合精度，可以很好的判斷橢圓擬合的好壞。收斂比例的提出，可以很好的判斷斷面收斂的變化。此方法在實際工程中得到廣泛的應用，并可以推廣到各種隧道監(jiān)測中。

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